基于不完備信息系統(tǒng)的三支沖突分析

楊文聽，易黃建，陳 躍，李小南

(1 西安電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，陜西 西安 710126；2 西北大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，陜西 西安 710127)

Pawlak提出的粗糙集理論是一種處理不確定性問題的有效工具，此外，概率粗糙集[1-2]和決策粗糙集[3-5]作為經(jīng)典粗糙集模型的重要推廣，也是處理不確定問題的一種有效方法。Yao等在粗糙集和決策粗糙集的基礎(chǔ)上提出三支決策理論[6-7]，作為粗糙集的一個有效改進(jìn)模型，三支決策同樣是處理不確定性和復(fù)雜問題的有效工具且得到廣泛應(yīng)用。Hu等在三支決策空間中提出了2種新型的三支決策，并討論了參數(shù)變化及三支決策的性質(zhì)等問題[8]；Sun等研究了在論域上基于多粒度模糊決策理論粗糙集的三支群決策[9]；Li等將包含關(guān)系推廣至一般評價函數(shù)，研究了雙論域上的三支決策，提出了一種計算閾值的方法[10]；Li等將三支決策模型從0-1表推廣到一般的信息表，研究了現(xiàn)有相關(guān)模型間的聯(lián)系，提出加權(quán)信息熵這一測度來確定閾值和最優(yōu)的三劃分[11]。

沖突是反映支持與反對的一種對立狀態(tài)，為更好地解釋沖突問題，Pawlak提出了基于粗糙集理論的沖突分析，而沖突分析與三支決策之間存在著某些天然的聯(lián)系[12-13]。因此，部分學(xué)者開始將三支決策的思想用于沖突分析的研究中[14-16]。如Lang等在決策粗糙集和三支決策理論的基礎(chǔ)上，通過推廣Pawlak沖突分析模型，引入了沖突分析的概率模型，使用一對閾值而不是Pawlak模型中的閾值0.5來定義聯(lián)盟、沖突和中立關(guān)系[17]；Sun等提出了一種基于粗糙集逼近算子的沖突分析方法[18]；Fan等以基于評價的三支決策模型為基礎(chǔ)，并運用形式概念分析中的求導(dǎo)算子研究了沖突分析的定量模型[19]；Yao等將Pawlak的沖突分析模型進(jìn)行推廣重構(gòu)，通過一個距離函數(shù)定義代理間的三支沖突模型[20]。

在分析沖突原因和尋求沖突解決辦法時，通常需要統(tǒng)計各個代理對問題的態(tài)度值，并整理成信息表。理想情況下，我們假設(shè)每個代理對問題都給出支持、中立或反對態(tài)度，即每個代理的態(tài)度值都是可獲取的，不存在缺失的情況。這樣理想狀態(tài)下獲得的態(tài)度值表，稱之為完備信息表。目前，大多數(shù)學(xué)者對沖突分析所做的研究也正是基于完備信息表，如Lang等提出基于畢達(dá)哥拉斯模糊集理論的三支群沖突分析[21]；Sun等提出基于概率粗糙集的沖突分析[22]，Yao等提出基于Pawlak模型拓展的三支沖突分析[20]；Li等提出將一般的信息系統(tǒng)推廣到三角模糊信息系統(tǒng)中，用相對面積來定義代理對問題的態(tài)度，再對問題賦予模糊權(quán)重，最后根據(jù)決策理論粗糙集計算閾值得到代理的三劃分，從而建立了三角模糊信息系統(tǒng)的沖突分析模型[23]；Bashir等提出了用博弈論和粗糙集來解決沖突[24]。但是，人類社會的沖突往往是動態(tài)復(fù)雜的，代理對問題的態(tài)度受各種因素的影響，代理可以給出明確的態(tài)度，也可以保持沉默，這就很有可能造成部分代理態(tài)度值暫時或永久的缺失，從而得到的是不完備信息系統(tǒng)[25]。Liu等提出了在不完備信息系統(tǒng)中一種新的三支決策模型[26]；Luo等提出了基于相似性和滿意度的不完備信息三支決策[27]。因此，將沖突分析從完備的信息系統(tǒng)推廣到不完備的信息系統(tǒng)是十分有意義的。本文將在不完備信息系統(tǒng)背景下，重新建立一個新的三支沖突分析模型進(jìn)行問題研究。首先，介紹了完備信息系統(tǒng)下的沖突分析，在此基礎(chǔ)上將其推廣至不完備的信息系統(tǒng)中。其次，通過處理信息表中的缺失值定義了代理之間的沖突相似距離，進(jìn)一步定義了代理之間的沖突關(guān)系，從而建立了不完備信息系統(tǒng)上的三支沖突分析模型。最后，基于決策理論粗糙集，并運用貝葉斯最小風(fēng)險決策原理得到了該模型中代理三劃分所需的閾值，從而得到最為合理的決策結(jié)果。

1 相關(guān)知識

1.1 完備信息系統(tǒng)下的沖突分析

定義1[12](三值信息系統(tǒng))三值信息系統(tǒng)是一個四元組S=(U,A,Va,f)，其中U={x1,x2,…,xn}是一個非空有限代理集，A={a1,a2,…,am}是一個非空有限問題集，a(∈A)的值集Va={-1,0,+1}，f:U×A→Va是一個二元映射。

注1在以上三值信息系統(tǒng)中，用二元映射f表示代理對問題所持的態(tài)度，即?xi∈U,aj∈A，若f(xi,aj)=-1，表示代理xi對問題aj持反對態(tài)度；f(xi,aj)=0，表示代理xi對問題aj持中立態(tài)度；f(xi,aj)=+1，表示代理xi對問題aj持肯定態(tài)度。

表1是一個三值信息系統(tǒng)，其中每個代理對問題都給出了清晰明確的態(tài)度，不存在態(tài)度值缺失或暫時不明晰的情況，因此這是一個完備信息系統(tǒng)。下面介紹一個輔助函數(shù)來描述一對代理間的關(guān)系。

表1 完備三值信息系統(tǒng)

定義2[12]對每個a∈A，代理間的一個二元關(guān)系φa:U2→{-1,0,1}定義為

若φa(x,y)=1，則代理x和y對問題a持相同的態(tài)度，即代理x和y在問題a上是聯(lián)盟的；若φa(x,y)=0，則x和y至少有一個對問題a持中立態(tài)度，即代理x和y在問題a上是中立的；若φa(x,y)=-1，則x和y對問題a持有相反的意見，即代理x和y在問題a上是沖突的。

以表1為例，對于問題a1，可得

定義3[12]設(shè)S=(U,A,Va,f)是一個三值信息系統(tǒng)，問題集?≠B?A,代理x與y的距離函數(shù)

其中

定義4[17]設(shè)S=(U,A,Va,f)是一個三值信息系統(tǒng)，問題集?≠B?A,α、β是一對給定閾值且滿足0≤β<α≤1，則代理對(x,y)∈U2在問題集B上的關(guān)系如下:

定義5[17]設(shè)S=(U,A,Va,f)是一個三值信息系統(tǒng)，問題集?≠B?A,α、β是一對給定閾值且滿足0≤β<α≤1，定義代理x的聯(lián)盟、中立和沖突集如下:

1.2 概率粗糙集近似

定義6[2]設(shè)S=(U,A,Va,f)是一個信息系統(tǒng)，α、β是一對給定閾值且滿足0≤β<α≤1，則X(?U)的上下近似定義為

r(α,β)(X)={x∈U|P(X|[x])≤β}。

定義7[2]設(shè)S=(U,A,Va,f)是一個信息系統(tǒng)，α、β是一對給定閾值且滿足0≤β<α≤1，X(?U)的概率正、負(fù)以及邊界域P(α,β)(X)、N(α,β)(X)、B(α,β)(X)為

P(α,β)(X)={x|U|P(X|[x])≥α};

N(α,β)(X)={x∈U|P(X|[x])≤β};

B(α,β)(X)={x∈U|β

注2由上述定義可知，正域、邊界域以及負(fù)域的三劃分與閾值的大小密切相關(guān)。因此，可以將其運用在不完備信息系統(tǒng)的沖突分析中，從而可以得到在不完備信息系統(tǒng)中閾值的大小以確定代理的三劃分。

2 不完備信息系統(tǒng)下的沖突分析

2.1 不完備信息系統(tǒng)下的沖突相似距離

定義8[25]不完備信息系統(tǒng)是一個四元組S=(U,A,Va∪{*},f)，其中U={x1,x2,…,xn}是一個非空有限代理集，A={a1,a2,…,am}是一個非空有限問題集，a(∈A)的值集Va={-1,0,+1,*},f:U×A→Va是一個二元映射。

注3在不完備信息系統(tǒng)中，-1、0、+1表示的含義與完備信息表相同，*表示信息缺失。

對于缺失值*，它表示代理對于問題的態(tài)度，且對決策起著十分重要的作用。缺失值*可能為Va的子集，即Bai?Va,|Bai|>0。從而將不完備的信息表轉(zhuǎn)換為完備的信息表，即表2、表3。

表2 不完備信息表

表3 混合信息表

定義9設(shè)S=(U,A,Va∪{*},f)是一個不完備信息系統(tǒng)，問題集?≠B?A，則代理x和y的相似距離函數(shù)為

S(ai)(x,y)=

S(ai)(x,y)=1表示代理x和y對問題ai的態(tài)度一致且不缺失的情況下，二者間的相似程度；

S(ai)(x,y)=0表示代理x和y對問題ai的態(tài)度不一致，且其中一個代理對問題持中立態(tài)度，另外一個代理對問題的態(tài)度缺失情況下，二者間的相似程度；

S(ai)(x,y)=-1表示代理x和y對問題ai的態(tài)度不一致，一個代理對問題持支持，另外一個代理對問題持反對態(tài)度的情況下，二者間的相似程度；

定義10設(shè)S=(U,A,Va∪{*},f)是一個不完備信息系統(tǒng)，問題集?≠B?A，則代理x和y的沖突相似距離為

式中：|B|表示問題集B的基數(shù)；SB(x,y)表示代理x和y面對多個問題時，二者間的平均相似程度。

注4該定義的沖突相似距離表示的是兩個代理之間相似程度的大小。若兩個代理的沖突相似距離越大，則聯(lián)盟機(jī)率越大；反之，若沖突相似距離越小，則具有沖突的機(jī)率越大。

由以上的沖突相似距離，可得以下性質(zhì)。

性質(zhì)1(1)0≤S(x,y)≤1;

(2)S(x,y)=S(y,x);

(3)S(x,y)=1,當(dāng)且僅當(dāng)x=y。

例1在不完備信息系統(tǒng)中(如表2)，對缺失值進(jìn)行處理可重新得到一個完整的混合信息系統(tǒng)，如表3。代理間對單個問題的態(tài)度相似程度可以通過定義9的沖突相似距離計算得到：

Sa3(x1,x2)=1,Sa4(x1,x2)=1。

表4 代理對多個問題的沖突相似距離

采用政治選舉問題表示這個不完備信息表，U={x1,x2,x3,x4,x5,x6}代表6個選民，即代理集，A={a1,a2,a3,a4}代表4個黨派，即問題集。在不完備信息系統(tǒng)的背景下，研究選民對黨派的支持與否，從而得到選民間的聯(lián)盟、中立以及沖突關(guān)系，并且它是根據(jù)以上得到的沖突相似距離而確定的。沖突相似距離越大，說明選民對黨派所表明的態(tài)度一致，因此可以判斷為聯(lián)盟機(jī)率較大；沖突相似距離越小，說明選民對黨派所表明的態(tài)度不一致，因此二者之間的沖突較大；其余則為中立者。

2.2 不完備信息系統(tǒng)下的三支沖突分析

將Pawlak模型這一完備信息系統(tǒng)推廣至不完備信息系統(tǒng)上，從而研究不完備狀態(tài)下的沖突分析情況。在不完備信息系統(tǒng)中，將沖突相似距離這個相似度作為沖突函數(shù)，從而得到代理之間的聯(lián)盟、中立以及沖突關(guān)系。

定義11設(shè)S=(U,A,Va∪{*},f)是一個不完備信息系統(tǒng)，問題集?≠B?A，?x,y∈U，則代理x與y之間的沖突函數(shù)為

沖突函數(shù)的大小在一定程度上表示了代理x與y的沖突程度。

定義12設(shè)S=(U,A,Va∪{*},f)是一個不完備信息系統(tǒng)，?x,y∈U,α、β是一對給定閾值且滿足0≤β<α≤1，x與y的沖突函數(shù)為S(x,y)，則x與y在問題集B上的關(guān)系如下:

(1)S(x,y)≥α，表示代理x與y是聯(lián)盟關(guān)系；

(2)β

(3)S(x,y)≤β，表示代理x與y是沖突關(guān)系。

定義13設(shè)S=(U,A,Va∪{*},f)是一個不完備信息系統(tǒng)，?x,y∈U,α、β是一對給定閾值且滿足0≤β<α≤1，則可定義代理的沖突、中立以及聯(lián)盟集:

(1)AL(x)={y∈U|S(x,y)≥α};

(2)NE(x)={y∈U|β

(3)CO(x)={y∈U|S(x,y)≤β}。

由定義12、13可知，所得到的聯(lián)盟、中立及沖突集與閾值有關(guān)。閾值的大小決定著代理間的關(guān)系，但當(dāng)α=1時，代理間的沖突最小，聯(lián)盟意愿最強(qiáng)；β=0時，代理間的沖突最大，聯(lián)盟意愿幾乎沒有。

定理1設(shè)S=(U,A,Va∪{*},f)是一個不完備信息系統(tǒng)，根據(jù)定義13可知，

(1)y∈AL(x)?x∈AL(y);

(2)y∈NE(x)?x∈NE(y);

(3)y∈CO(x)?x∈CO(y)。

證明：(1)由y∈AL(x)，得S(x,y)≥α，又由性質(zhì)1得S(x,y)=S(y,x)，所以得到S(y,x)≥α，即得到AL(y)={x∈U|S(y,x)≥α}，所以x∈AL(y)。

(2)由y∈NE(x)，得β

(3)由y∈CO(x)，得S(x,y)≤β，又由性質(zhì)1得S(x,y)=S(y,x)，所以得到S(x,y)≤β，即得到CO(y)={x∈U|S(y,x)≤β}，所以x∈CO(y)。

例2根據(jù)表4的沖突相似距離結(jié)果，得到以下結(jié)果。

在表4中，由于知道每個代理對多個問題的沖突相似距離，根據(jù)定義13可得每個代理對多個問題的聯(lián)盟集、沖突集以及中立集。

若取定閾值α=0.55,β=0.4，每個代理對應(yīng)的聯(lián)盟集、沖突集以及中立集如表5。

表5 每個代理在多個問題中的聯(lián)盟集、沖突集以及中立集

以上例子表明，通過沖突相似距離以及給定的閾值得到了關(guān)于每個選民的聯(lián)盟集、中立集以及沖突集，但由于給定的閾值具有隨機(jī)性，導(dǎo)致在一定的程度上可能存在著決策的風(fēng)險。因此，下面通過決策理論粗糙集來確定閾值的大小，從而得到風(fēng)險較小的決策結(jié)果。

3 基于決策粗糙集理論的沖突分析

3.1 代理的三劃分

決策理論粗糙集是在2個狀態(tài)和3個行動中運用的，特征狀態(tài)集Ω={X,┐X)，這里X表示屬于X的代理對問題持支持態(tài)度，而┐X表示不屬于┐X的代理對問題持反對或者否定的態(tài)度。D={aP,aB,aN}表示行動集，這里P、B、N表示在決策中的3種行動方式，分別決定x∈AL(X),x∈NE(X),x∈CO(X)。關(guān)于3種行為在2種狀態(tài)下的風(fēng)險或成本的損失函數(shù)由一個3×2矩陣(表6)給出。

表6 不同狀態(tài)下的損失函數(shù)矩陣

在這個矩陣中，λPP、λBP、λNP表示代理在支持狀態(tài)下，在3種行動aP、aB、aN下遭受的損失。同樣，λPN、λBN、λNN表示代理在反對或者中立狀態(tài)下，在3種行動aP、aB、aN下遭受的損失。由于本文研究的是不完備信息系統(tǒng)的三值表，因此在本文中所涉及的損失函數(shù)考慮采用單值函數(shù)。

由定義9可得在不完備信息系統(tǒng)上的相似性關(guān)系。

a∈B}。

這里h表示一個閾值，只有在沖突相似距離大于h時，才會確定代理間的相似關(guān)系，從而得到兩代理之間較高的相似程度。

定義15設(shè)S=(U,A,Va∪{*},f)是一個不完備信息系統(tǒng)，對?≠B?A,則?x∈B，相似類可定義為

在不完備信息系統(tǒng)中，根據(jù)相似關(guān)系得到代理的相似類，對某一類問題可以得到代理間意見相對一致的集合，這在根據(jù)粗糙集決策理論進(jìn)行三支沖突分析中更具有理論價值。

定義16設(shè)S=(U,A,Va∪{*},f)是一個不完備信息系統(tǒng)，?X?U,可基于相似關(guān)系得到條件概率

定義17設(shè)S=(U,A,Va∪{*},f)是一個不完備信息系統(tǒng)，?X?U，?≠B?A,且0≤β<α≤1。X?U的上下近似可定義為

定義18設(shè)S=(U,A,Va∪{*},f)是一個不完備信息系統(tǒng)，α、β是一對給定閾值且滿足0≤β<α≤1，則X?U的概率正域、負(fù)域、中立，即聯(lián)盟、沖突以及中立為

由定義17可知，若給定的代理集X在代理xi相似類的條件概率大于等于α?xí)r，可知代理U的某些代理是聯(lián)盟的；若給定的代理集X在代理xi相似類的條件概率在α、β之間時，可知代理U的某些代理是中立的；若假設(shè)給定的代理集X在代理xi相似類的條件概率小于等于β時，可知代理U的某些代理是沖突的。

在不完備信息系統(tǒng)中，假設(shè)λPP、λBP、λNP、λPN、λBN和λNN是損失函數(shù)，滿足λPP≤λBP≤λNP,λNN≤λBN≤λPN，則?x∈U，得到在3種行動aP、aB、aN下的期望損失如下:

根據(jù)貝葉斯最小風(fēng)險決策理論可得定理2。

定理2設(shè)S=(U,A,Va∪{*},f)是一個不完備信息系統(tǒng)， ?x∈U，在3種行動aP、aB、aN下的期望損失為R(aP|x)、R(aB|x)和R(aN|x)，則

證明根據(jù)貝葉斯最小風(fēng)險決策原理有

(P)R(aP|x)≤R(aB|x)?

λPN-λBN≤[(λBP-λBN)+

R(aP|x)≤R(aN|x)?

同理，得到

(B)R(aB|x)≤R(aP|x)?

R(aB|x)≤R(aN|x)?

(N)R(aN|x)≤R(aP|x)?

R(aN|x)≤R(aB|x)?

令

得到β≤γ≤α。即得到

所以，定理成立。

3.2 實例分析

例3根據(jù)例1中的政治選舉問題來分析代理之間的沖突關(guān)系，表7為政治選舉的決策損失矩陣，即λPP、λBP、λNP、λPN、λBN和λNN是損失函數(shù)，且滿足λPP≤λBP≤λNP,λNN≤λBN≤λPN。

表7 政治選舉決策損失函數(shù)

若取定h=0.3，可得每個代理的相似類，即在閾值確定的情況下得到每個代理的相似類集合

給定X={x1,x4,x5}，且X?U，由定義14得

根據(jù)定理2，由政治選舉決策損失函數(shù)可得閾值

再由定義18與定理2決策規(guī)則可得聯(lián)盟集、中立集以及沖突集

對于政治選舉，由于選民對問題所持態(tài)度不同，選民間會引起不必要的矛盾沖突。通過以上模型得到，當(dāng)α=0.545、β=0.467時，選民間有一個較為合理的劃分:聯(lián)盟集為{x4,x5}，這表明選民x4、x5面對整個事件持有積極的態(tài)度；中立集{x6}，這表明選民x6對整個事件持有中立的態(tài)度；沖突集{x1,x2,x3}，這表明選民x1、x2、x3面對整個事件持有消極的態(tài)度。因此，在此事件中，以得到的選民三劃分為基礎(chǔ)，應(yīng)充分考慮積極者面對整個事件所持有的信息數(shù)據(jù)，以預(yù)測選民間沖突演化的結(jié)果，從而為決策者提供有效的信息，這有效地避免了在信息缺少情況下出現(xiàn)的問題，也大大減小了所出現(xiàn)的決策風(fēng)險，具有一定的應(yīng)用價值。

4 結(jié)語

本文基于Pawlak的沖突分析模型，將Pawlak模型中完備的三值情況推廣至不完備的信息系統(tǒng)中，提出了不完備信息系統(tǒng)中的沖突分析模型。在不完備信息表中，通過對缺失值的處理，將不完備的信息系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為完備的信息系統(tǒng)，進(jìn)而研究代理間的聯(lián)盟沖突關(guān)系。本文定義了一個沖突相似距離，根據(jù)這個函數(shù)來判定代理間的沖突情況。閾值是沖突分析中一個重要的研究對象，本文根據(jù)決策理論粗糙集和貝葉斯最小風(fēng)險決策原理，確定了閾值的大小，進(jìn)而得到了最為合理的聯(lián)盟集、中立集和沖突集。本文是在不完備三值信息表中進(jìn)行的研究，下一步的工作將推廣至模糊集中來討論研究。