利用分類(lèi)討論思想研究二次函數(shù)與等腰三角形結(jié)合問(wèn)題

田　雯

利用分類(lèi)討論思想研究二次函數(shù)與等腰三角形結(jié)合問(wèn)題

田雯

（蘇州市田家炳實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)，江蘇蘇州215000）

二次函數(shù)與等腰三角形結(jié)合問(wèn)題是二次函數(shù)與幾何綜合下的一大問(wèn)題專(zhuān)題，這一類(lèi)問(wèn)題的解答關(guān)鍵之一在于學(xué)生對(duì)等腰三角形的分類(lèi)討論，學(xué)生需要在解題的過(guò)程中考慮幾何知識(shí)與代數(shù)知識(shí)的相互轉(zhuǎn)換。教師在教學(xué)實(shí)際中需要重視問(wèn)題的展示與學(xué)生的引導(dǎo)，幫助學(xué)生研究問(wèn)題，提煉方法。

分類(lèi)討論；二次函數(shù)；等腰三角形；問(wèn)題探究

函數(shù)幾何題目是中考中的?？紗?wèn)題，其對(duì)學(xué)生多種數(shù)學(xué)思想的掌握程度有較深度的考查。為了幫助學(xué)生有效地掌握這一類(lèi)題目的解法，教師需要想辦法構(gòu)建有效的教學(xué)過(guò)程，讓學(xué)生結(jié)合分析進(jìn)行獲得實(shí)際解題技能的有效發(fā)展。為此，教師在教學(xué)開(kāi)始前需要明確教學(xué)的目標(biāo)是幫助學(xué)生掌握二次函數(shù)背景下等腰三角形的分類(lèi)討論問(wèn)題的方法與步驟，讓學(xué)生掌握幾何問(wèn)題與代入問(wèn)題相互轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)化思想。

一、分類(lèi)討論思想的價(jià)值簡(jiǎn)析

分類(lèi)討論是一種邏輯方法。在分類(lèi)討論中進(jìn)行分類(lèi)的原則主要為三點(diǎn)：1.分類(lèi)的每一部分是相互獨(dú)立的；2.一次分類(lèi)按一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)；3.分類(lèi)討論應(yīng)逐級(jí)進(jìn)行。這三點(diǎn)原則是實(shí)現(xiàn)有效分類(lèi)的關(guān)鍵。當(dāng)學(xué)生掌握了分類(lèi)討論的思想，其就可以實(shí)現(xiàn)多種情況問(wèn)題的有效解決。而本文討論的二次函數(shù)與等腰三角形結(jié)合的問(wèn)題，其分類(lèi)主要體現(xiàn)在等腰三角形坐標(biāo)的三種情況，若學(xué)生缺乏分類(lèi)討論思想的有效認(rèn)知，其在解答相關(guān)題目時(shí)就很容易出現(xiàn)“漏考慮”的情況。而為了幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)這一類(lèi)題目的有效解答，教師就需要結(jié)合實(shí)際例題的展現(xiàn)，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)題目中涉及的多種情況，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類(lèi)計(jì)算。

二、實(shí)際的教學(xué)開(kāi)展方法

（一）結(jié)合目標(biāo)展示，展現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容

二次函數(shù)與等腰三角形結(jié)合問(wèn)題是中考的?？紗?wèn)題，這一問(wèn)題相較于其他題目而言具有較強(qiáng)的綜合性，學(xué)生需要熟練地掌握幾何和代數(shù)知識(shí)，并能有效地將相關(guān)知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)換應(yīng)用。為了確保自己的專(zhuān)題教學(xué)切實(shí)有效，教師在進(jìn)行正式內(nèi)容的教學(xué)前需要結(jié)合教學(xué)目標(biāo)展示的方式為學(xué)生簡(jiǎn)要地展現(xiàn)本課所要講授的教學(xué)內(nèi)容，幫助學(xué)生明確所要學(xué)習(xí)知識(shí)內(nèi)容的構(gòu)成。這樣一來(lái)，在教師完成相關(guān)內(nèi)容的簡(jiǎn)介后，學(xué)生就可以明確本課需要學(xué)習(xí)哪些知識(shí)，了解他們又需要掌握到哪些程度。

例如，在教學(xué)實(shí)際中，教師就可以使用多媒體教學(xué)工具展示的方式為學(xué)生展現(xiàn)本課所要學(xué)習(xí)的二次函數(shù)與等腰三角形內(nèi)容。其中，教師首先需要為學(xué)生簡(jiǎn)要地展示中考對(duì)于相關(guān)問(wèn)題的考查頻次，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到這一類(lèi)問(wèn)題在中考中的重要性；其次教師可以進(jìn)行這一類(lèi)題目的簡(jiǎn)要解析，讓學(xué)生明確這一類(lèi)題目考查的是二次函數(shù)和等腰三角形兩方面知識(shí)，解決這一類(lèi)問(wèn)題則需要融合二次函數(shù)和等腰三角形的知識(shí)內(nèi)容；最后，教師則需要為學(xué)生簡(jiǎn)要地介紹一下這一類(lèi)題目的分類(lèi)考查情況，讓學(xué)生對(duì)其達(dá)成一個(gè)基本的內(nèi)容認(rèn)知。這樣，通過(guò)簡(jiǎn)單的教學(xué)展示和展現(xiàn)引導(dǎo)進(jìn)行，學(xué)生就可以對(duì)當(dāng)課的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容有一個(gè)認(rèn)識(shí)，其學(xué)習(xí)動(dòng)力也可以在一定程度上得到提升與調(diào)動(dòng)。

（二）運(yùn)用媒體工具，做出分類(lèi)解析

教學(xué)工具的有效選用會(huì)對(duì)教學(xué)的效果產(chǎn)生直接的影響。教師需要預(yù)先考慮要使用的教學(xué)工具，構(gòu)建教學(xué)流程的設(shè)計(jì)。通過(guò)分析可以發(fā)現(xiàn)，二次函數(shù)與等腰三角形問(wèn)題是涉及函數(shù)與幾何兩方面的綜合問(wèn)題，而這兩方面知識(shí)又都具有較強(qiáng)的抽象性，需要在教學(xué)的過(guò)程中進(jìn)行繪圖展示，相應(yīng)的教師就可以選擇使用多媒體繪圖軟件進(jìn)行教學(xué)展示，為學(xué)生清晰地展現(xiàn)多種情況。在明確了所用的教學(xué)工具后，教師可以使用多媒體教學(xué)工具從分類(lèi)討論的概念解析入手，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)分類(lèi)解析的價(jià)值。點(diǎn)明本課專(zhuān)題教學(xué)的內(nèi)容與重點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)分類(lèi)討論對(duì)于二次函數(shù)與等腰三角形綜合問(wèn)題的解答價(jià)值。

例如，在教學(xué)實(shí)際中，教師可以先為學(xué)生系統(tǒng)地解釋數(shù)學(xué)思想的概念，讓學(xué)生明確數(shù)學(xué)思想對(duì)數(shù)學(xué)解題和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要價(jià)值。在學(xué)生達(dá)成系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)后，教師就可以再使用多媒體展示的方式為學(xué)生展示本課教學(xué)涉及的分類(lèi)討論、方程、數(shù)形結(jié)合三方面數(shù)學(xué)思想。在教學(xué)展示過(guò)程中，教師需要對(duì)分類(lèi)討論思想進(jìn)行強(qiáng)調(diào)，讓學(xué)生明確分類(lèi)討論思想是實(shí)現(xiàn)二次函數(shù)與等腰三角形綜合問(wèn)題解答的關(guān)鍵這一重要信息。當(dāng)學(xué)生對(duì)分類(lèi)討論有了深刻的認(rèn)知，教師就可以通過(guò)多媒體展示的方式展現(xiàn)一道例題，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)分類(lèi)討論在相關(guān)問(wèn)題中的解答體現(xiàn)。

（三）給出分析例題，引導(dǎo)學(xué)生探究

二次函數(shù)與等腰三角形題目的問(wèn)法較多樣，較為常見(jiàn)的主要有三種：形成等腰三角形的關(guān)鍵動(dòng)點(diǎn)在坐標(biāo)軸上；形成等腰三角形的關(guān)鍵動(dòng)點(diǎn)在拋物線(xiàn)上；求形成等腰三角形的關(guān)鍵動(dòng)點(diǎn)是否存在，并探討存在或不存在的情況。這三種問(wèn)法從難度上來(lái)看依次遞增，相應(yīng)的考慮到學(xué)生的基本認(rèn)知規(guī)律，教師在進(jìn)行教學(xué)題目展現(xiàn)時(shí)也可以依次進(jìn)行展現(xiàn)。對(duì)于動(dòng)點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上這一情況，教師可以給出一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P在x軸上的例題，借助該例題和其變?cè)囶}引導(dǎo)學(xué)生對(duì)等腰三角形的分類(lèi)方法進(jìn)行認(rèn)知，確定問(wèn)題的基本解決思路。在進(jìn)行該類(lèi)題目的教學(xué)解析時(shí)，教師要盡可能鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)散思維，拓寬解題的有效思路。

例如，教師在教學(xué)實(shí)際中就可以向?qū)W生展示如下習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究思考：

在直角坐標(biāo)平面中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，二次函數(shù)y=-x2+（k-1）x+4的圖像與y軸相交于點(diǎn)A，與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B，且S△OAB=6。

（1）求點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）求此二次函數(shù)的解析式；

（3）如果點(diǎn)P在x軸上，且△ABP是等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

解析：在該題目中，第（1）和第（2）的問(wèn)題是簡(jiǎn)單的函數(shù)坐標(biāo)系求解，這兩個(gè)問(wèn)題并不是二次函數(shù)與等腰三角形專(zhuān)題問(wèn)題的重點(diǎn)，且難度也較低，所以教師可以讓學(xué)生根據(jù)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行求解。而在第三個(gè)問(wèn)題中，教師需要強(qiáng)調(diào)的重點(diǎn)是點(diǎn)P在x軸上時(shí)會(huì)出現(xiàn)的情況。通過(guò)研究可以明確，當(dāng)△ABP是等腰三角形，且點(diǎn)P在x軸上，此時(shí)點(diǎn)P的位置會(huì)出現(xiàn)三種不同的情況。

簡(jiǎn)略過(guò)程：

在展示了上述題目后，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)該題目的解答流程進(jìn)行簡(jiǎn)要概況和思考，讓其嘗試著分析動(dòng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)解題的有效方法。而為了進(jìn)一步幫助學(xué)生進(jìn)行了解和認(rèn)知，教師還可以在該題目中做出拓展，變更條件，讓學(xué)生嘗試著求出P點(diǎn)在y軸上時(shí)的幾種坐標(biāo)情況。

問(wèn)題變式：如果點(diǎn)P在y軸上，且△ABP是等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

（四）改變題目條件，實(shí)現(xiàn)深度思考

在完成上述題目的教學(xué)展示后，學(xué)生對(duì)點(diǎn)在x軸上這一種情況的題目解答方法已經(jīng)有所認(rèn)知，為了進(jìn)一步揭示二次函數(shù)與等腰三角形題目的解題思路，教師就可以變更題目的基本條件，為學(xué)生展示復(fù)雜性較高的第二種條件：動(dòng)點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上。在展現(xiàn)了相關(guān)問(wèn)題后，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行進(jìn)一步的深度思考，想辦法引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)歸納。在完成P在拋物線(xiàn)上的展示后，為了進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)全面認(rèn)識(shí)，教師還可以給學(xué)生展示P點(diǎn)在二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸上的情況。

例如，在實(shí)際的教學(xué)中，教師就可以為學(xué)生做出如下的題目展示：

如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像交于點(diǎn)A（-1,0）、B（3,0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0,3），D為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)。

（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求△CDB的面積；

（3）若對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)P，使△PDC是等腰三角形，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是多少？

解析：在該題目中，教師仍可以讓學(xué)生獨(dú)立完成（1）（2）兩個(gè)問(wèn)題，確保學(xué)生正確解答即可，針對(duì)第三個(gè)問(wèn)題，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)該題目涉及的兩種情況“以CD為底邊”和“以CD為一腰”進(jìn)行分類(lèi)討論，進(jìn)而解出對(duì)應(yīng)的題目。

簡(jiǎn)略過(guò)程：

由（1）得二次函數(shù)的表－式為-x2+2x+3，可以得到D點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,4），對(duì)稱(chēng)軸x=1，

若以CD為一腰，因?yàn)辄c(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)拋物線(xiàn)上，故通過(guò)拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)性可以明確，點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,3）

在上述題目的教學(xué)展示中，教師需要讓學(xué)生明確分類(lèi)討論的重要性，并引導(dǎo)學(xué)生對(duì)每個(gè)情況下出現(xiàn)的數(shù)值進(jìn)行分析，根據(jù)題意進(jìn)行排除。除了P點(diǎn)在拋物線(xiàn)上的情況，教師還可以為學(xué)生展示P點(diǎn)在二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸上的題目，幫助學(xué)生加以認(rèn)知。

具體習(xí)題：

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1,0），B（3,0），與y軸交于點(diǎn)C，直線(xiàn)y=x+2與y軸交于點(diǎn)D，交拋物線(xiàn)與E，F(xiàn)兩點(diǎn)，點(diǎn)P為線(xiàn)段EF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與E，F(xiàn)重合），PQ∥y軸與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)Q。

（1）求拋物線(xiàn)解析式；

（2）若拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)P，使△MAC為等腰三角形，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)。

問(wèn)題：第一問(wèn)易求得拋物線(xiàn)解析式為y=-x2+2x+3，第二問(wèn)則需要分類(lèi)討論線(xiàn)段AC為底和線(xiàn)段AC為腰的兩種情況。

簡(jiǎn)略過(guò)程：

改變問(wèn)題內(nèi)容，達(dá)成理解探究（動(dòng)點(diǎn)P是否存在）中考情況是中考中考查較多的一種情況，這一情況的問(wèn)法一般為：?jiǎn)栐趚軸（拋物線(xiàn)）上是否存在點(diǎn)P，使得△PBC是等腰三角形（BC為拋物線(xiàn)上的兩個(gè)點(diǎn)，題目中會(huì)給出相關(guān)的信息），如果存在，請(qǐng)求出所有滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。在展示這一類(lèi)問(wèn)法時(shí)，教師需要結(jié)合教學(xué)的進(jìn)行讓學(xué)生明確，這一類(lèi)問(wèn)題的易錯(cuò)點(diǎn)是P點(diǎn)坐標(biāo)漏求，而從題目總體上分析，P點(diǎn)存在的題目數(shù)量較多，也有少量題目會(huì)出現(xiàn)P點(diǎn)不存在的情況。

例如，在實(shí)際的教學(xué)中，教師就可以為學(xué)生展示如下題目：

如圖，已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx-3，與x軸交于A（1,0）、B（-3,0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C。點(diǎn)P是線(xiàn)段BC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P做x軸的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D。

（1）求拋物線(xiàn)表達(dá)式；

（2）連接CD、DB。當(dāng)△BDC的面積最大時(shí)，求△BDC面積的最大值以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）是否存在點(diǎn)P，使得△PCD為等腰三角形，若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

解析：第一問(wèn)中易求得拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y=x2+2x-3。第二問(wèn)則引導(dǎo)學(xué)生鞏固作答即可。在第三問(wèn)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)P點(diǎn)的存在性論證，而后通過(guò)計(jì)算的方法加以驗(yàn)證并求出相應(yīng)的坐標(biāo)。在這一問(wèn)題中，也存在DC=PC、PC=CD、PC=PD三種情況。

（五）結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，引領(lǐng)學(xué)生總結(jié)

總結(jié)是實(shí)現(xiàn)學(xué)生知識(shí)歸納與內(nèi)化的重要途徑。在教學(xué)實(shí)際中，教師需要當(dāng)教學(xué)內(nèi)容完成后，讓學(xué)生對(duì)當(dāng)課所學(xué)的知識(shí)內(nèi)容與解題方法進(jìn)行研究分析，嘗試著將相關(guān)的知識(shí)內(nèi)化吸收。而為了幫助學(xué)生進(jìn)行歸納，教師可以在學(xué)生歸納完成后用多媒體展現(xiàn)的方式展示當(dāng)課講授的關(guān)鍵內(nèi)容，并針對(duì)性地點(diǎn)明哪些知識(shí)內(nèi)容是重點(diǎn)，需要學(xué)生特別進(jìn)行記憶。

例如，在實(shí)際的教學(xué)完成后，教師就可以針對(duì)性引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行課堂小結(jié)。在其中，教師可以做出以下提問(wèn)：“同學(xué)們，通過(guò)這一課的學(xué)習(xí)，你們都掌握了哪些內(nèi)容呢？”而后教師就可以再根據(jù)學(xué)生做出的回答引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行回顧總結(jié)。一般而言，總結(jié)的內(nèi)容包含包涵過(guò)程與方法，即以下三點(diǎn)內(nèi)容：1.根據(jù)題目中拋物線(xiàn)條件，準(zhǔn)確計(jì)算；2.根據(jù)條件，對(duì)等腰三角形進(jìn)行分類(lèi)討論；3.數(shù)形結(jié)合，選擇適當(dāng)方法靈活解題。

（六）給出中考真題，開(kāi)展解題訓(xùn)練

學(xué)生訓(xùn)練進(jìn)行也是專(zhuān)題訓(xùn)練必不可少的構(gòu)成部分，這一部分教師可以放在課上進(jìn)行，也可以放在課下以作業(yè)的形式讓學(xué)生完成。在教學(xué)實(shí)際中，為了確保學(xué)生練習(xí)題目的有效架構(gòu)，教師需要利用課下時(shí)間預(yù)先準(zhǔn)備一些中考真題，并將其進(jìn)行分類(lèi)設(shè)置。在教學(xué)展示的同時(shí)，教師也就選擇性地給出部分題目引導(dǎo)學(xué)生鞏固練習(xí)。當(dāng)所有教學(xué)內(nèi)容完成后，教師就可以把其他題目交給學(xué)生，讓學(xué)生嘗試著利用所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行解題訓(xùn)練。例如，在教學(xué)實(shí)際中，教師就可以利用課下時(shí)間訪問(wèn)一些資源網(wǎng)站，以各地的中考題為關(guān)鍵詞搜集相關(guān)的中考題目，從中挑選出考查二次函數(shù)與等腰三角形相關(guān)知識(shí)的問(wèn)題。

綜上所述，分類(lèi)討論思想是實(shí)現(xiàn)二次函數(shù)與等腰三角形問(wèn)題有效解決的重要方法，故教師在進(jìn)行專(zhuān)題解題教學(xué)時(shí)，需要強(qiáng)調(diào)分類(lèi)討論思想的應(yīng)盡可能地讓的讓學(xué)生進(jìn)行實(shí)際解題分析。在教學(xué)實(shí)際中，教師就可以聯(lián)系教學(xué)情況為學(xué)生分類(lèi)的展出各種習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生加以分析認(rèn)知。

[1] 楊文金.分類(lèi)討論思想精讀[J].中學(xué)生數(shù)理化(初中版.中考版),2015(06):2-4.

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