2021 年江蘇省數(shù)學(xué)中考優(yōu)秀題例

優(yōu)秀試題一

【原題呈現(xiàn)】

（2021 年鹽城卷）3.北京2022年冬奧會會徽如圖1 所示，組成會徽的四個圖案中是軸對稱圖形的是（）

（圖1）

（2021 年徐州卷）8.如圖2，一枚圓形古錢幣的中間是一個正方形孔，已知圓的直徑與正方形的對角線之比為3∶1，則圓的面積約為正方形面積的（）

A.27倍 B.14倍 C.9倍 D.3倍

【試題評析】

考查目標(biāo)方面，兩題分別考查了學(xué)生對軸對稱圖形的理解及對稱圖形性質(zhì)的認(rèn)識，要求學(xué)生能根據(jù)生活中的圖案正確識別軸對稱圖形，利用對稱圖形的性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)數(shù)量關(guān)系的認(rèn)定，從而計(jì)算簡單圖形的面積。情境呈現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美，滲透了中國現(xiàn)代與古代的文化。

素養(yǎng)導(dǎo)向方面，兩題蘊(yùn)含了對學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的考查，要求學(xué)生對圖案的對稱性作出直觀判斷，并根據(jù)圓與正方形的對稱屬性抽象出基本圖形的數(shù)量關(guān)系。

（圖2）

教學(xué)建議方面，教學(xué)中要結(jié)合時(shí)代特色和中國文化，選擇能引發(fā)學(xué)生興趣、激發(fā)學(xué)生思考的情境，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去思考問題，用數(shù)學(xué)的方法去研究問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

優(yōu)秀試題二

【原題呈現(xiàn)】（2021年南京卷）

21.某市在實(shí)施居民用水定額管理前，對居民生活用水情況進(jìn)行了調(diào)查。通過簡單隨機(jī)抽樣，獲得了100 個家庭去年的月均用水量數(shù)據(jù)，將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，其中部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：

序號月均用水量/t 1 2 1.3 1.3……25 4.5 26 4.5……50 6.4 51 6.8……75 11 76 13……99 25.6 100 28

（1）求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為9.2t，你對它與中位數(shù)的差異有什么看法？

（2）為了鼓勵節(jié)約用水，要確定一個用水量的標(biāo)準(zhǔn)，超出這個標(biāo)準(zhǔn)的部分按1.5 倍價(jià)格收費(fèi)。若要使75%的家庭水費(fèi)支出不受影響，你覺得這個標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)該定為多少？

【試題評析】

考查目標(biāo)方面，本題考查了學(xué)生對中位數(shù)和平均數(shù)概念的理解，以及如何利用數(shù)據(jù)分析結(jié)果作出決斷。本題情境是生活中真實(shí)的場景，沒有設(shè)置煩瑣的計(jì)算，注重考查學(xué)生對統(tǒng)計(jì)量的理解，使學(xué)生感悟統(tǒng)計(jì)量的本質(zhì)內(nèi)涵。

素養(yǎng)導(dǎo)向方面，本題蘊(yùn)含了對學(xué)生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的考查，答案較為開放，意在考查學(xué)生數(shù)據(jù)分析的意識與能力；要求學(xué)生將內(nèi)在信息相聯(lián)系，從中看出關(guān)聯(lián)性，考查學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光和思維分析現(xiàn)實(shí)世界的能力，體現(xiàn)了數(shù)據(jù)分析的基本思想方法。

教學(xué)建議方面，統(tǒng)計(jì)教學(xué)的有效方法是讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)據(jù)收集、整理、分析的全過程，教師可創(chuàng)設(shè)學(xué)生身邊的真實(shí)情境，在教學(xué)活動中讓學(xué)生形成讀懂?dāng)?shù)據(jù)的意識，掌握數(shù)據(jù)的分析方法，并能用數(shù)據(jù)分析的結(jié)果進(jìn)行合理決策與判斷。

優(yōu)秀試題三

【原題呈現(xiàn)】（2021年連云港卷）

6.關(guān)于某個函數(shù)表達(dá)式，甲、乙、丙三位同學(xué)都正確地說出了該函數(shù)的一個特征。甲：函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（-1，1）。乙：函數(shù)圖象經(jīng)過第四象限。丙：當(dāng)x＞0 時(shí)，y隨x的增大而增大。則這個函數(shù)表達(dá)式可能是（）

【試題評析】

考查目標(biāo)方面，本題考查了學(xué)生對正比例函數(shù)、反比例函數(shù)及簡單的二次函數(shù)的理解，要求學(xué)生在充分掌握三種函數(shù)圖象與性質(zhì)的相關(guān)知識下進(jìn)行解答。

素養(yǎng)導(dǎo)向方面，本題蘊(yùn)含了對學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的考查，要求學(xué)生能用數(shù)學(xué)符號語言（函數(shù)表達(dá)式）準(zhǔn)確描述數(shù)學(xué)對象，將碎片化的信息抽象成數(shù)學(xué)對象，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的養(yǎng)成。

教學(xué)建議方面，數(shù)學(xué)抽象一般要經(jīng)歷尋找屬性、特征概括、數(shù)學(xué)表達(dá)、納入系統(tǒng)的過程。教學(xué)中，要注重讓學(xué)生學(xué)習(xí)不同函數(shù)的共同主線，結(jié)合數(shù)形理清函數(shù)學(xué)習(xí)的線索，形成知識的網(wǎng)格；合理設(shè)計(jì)抽象活動，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)概念的生成過程中抽象出數(shù)學(xué)結(jié)論。

優(yōu)秀試題四

【原題呈現(xiàn)】（2021年鹽城卷）

21.如圖，點(diǎn)A是數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)a的點(diǎn)。

【試題評析】

考查目標(biāo)方面，考查了學(xué)生對尺規(guī)作圖、實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)一一對應(yīng)關(guān)系、實(shí)數(shù)的大小比較等知識的掌握程度，要求學(xué)生在掌握尺規(guī)作圖的方法及在理解無理數(shù)概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行解答。

素養(yǎng)導(dǎo)向方面，本題蘊(yùn)含了對學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的考查，要求學(xué)生能夠識別復(fù)雜情境中的數(shù)學(xué)概念，根據(jù) 2 的意義與圖形表達(dá)間的聯(lián)系，借助數(shù)軸進(jìn)行實(shí)數(shù)大小的直觀比較。

教學(xué)建議方面，數(shù)學(xué)抽象應(yīng)貫穿于課堂教學(xué)的全過程，教學(xué)中要以某一抽象活動為主線，讓學(xué)生感知無理數(shù)出現(xiàn)的必然性與必要性。教學(xué)中要合理采用不同的抽象方法，如基于概念的抽象、基于規(guī)則的抽象、基于方法的抽象等。

優(yōu)秀試題五

【原題呈現(xiàn)】（2021年鎮(zhèn)江卷）

16.如圖，輸入數(shù)值1921，按所示的程序運(yùn)算（完成一個方框內(nèi)的運(yùn)算后，把結(jié)果輸入下一個方框繼續(xù)進(jìn)行運(yùn)算），輸出的結(jié)果為（）

A.1840 B.1921 C.1949 D.2021

【試題評析】

考查目標(biāo)方面，本題以數(shù)值轉(zhuǎn)換器為依托，考查了學(xué)生對有理數(shù)混合運(yùn)算及算理算法理解的掌握情況，要求學(xué)生能根據(jù)程序列出算式，并進(jìn)行正確的運(yùn)算和判斷。

素養(yǎng)導(dǎo)向方面，本題蘊(yùn)含了對學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的考查，要求學(xué)生能夠正確理解程序的表述，正確、迅速完成運(yùn)算。在解題的過程中，學(xué)生要經(jīng)歷分析運(yùn)算對象、嘗試運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算規(guī)則、計(jì)算并判斷結(jié)果等環(huán)節(jié)，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)運(yùn)算也是數(shù)學(xué)思考的重要方式。

教學(xué)建議方面，正確、靈活、合理、簡潔是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的四個特征，教學(xué)中教師要結(jié)合具體情境，幫助學(xué)生理解“為什么這樣算”和“怎樣算”，要重視引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)算法則的生成過程，讓學(xué)生感受法則的合理性。幫助學(xué)生理解算理、掌握算法是教學(xué)的關(guān)鍵。

優(yōu)秀試題六

【原題呈現(xiàn)】（2021年泰州卷）

23.（1）如圖①，O為AB的中點(diǎn)，直線l1、l2分別經(jīng)過點(diǎn)O、B，且l1//l2。以點(diǎn)O為圓心，OA長為半徑畫弧交直線l2于點(diǎn)C，連接AC。求證：直線l1垂直平分AC。

（圖①）

（2）如圖②，平面內(nèi)直線l1//l2//l3//l4，且相鄰兩直線間距離相等，點(diǎn)P、Q分別在直線l1、l4上，連接PQ。用圓規(guī)和無刻度的直尺在直線l4上求作一點(diǎn)D，使線段PD最短。（兩種工具分別只限使用一次，并保留作圖痕跡）

（圖②）

【試題評析】

考查目標(biāo)方面，解決本題所運(yùn)用的知識有等腰三角形三線合一、一條直線垂直于平行線中的一條則必然垂直于另一條直線等，都是學(xué)生必須理解與掌握的基本定理。

素養(yǎng)導(dǎo)向方面，本題將幾何推理與尺規(guī)作圖有機(jī)結(jié)合，具有源于教材、方法遷移、幾何推理等特點(diǎn)，突出考查了邏輯推理的核心素養(yǎng)。

教學(xué)建議方面，本題設(shè)計(jì)精巧，兩個小問之間存在遞進(jìn)關(guān)系，第一問考查基礎(chǔ)知識與基本方法，其圖形結(jié)構(gòu)、作圖與證明方法為第二問的探究積累了活動經(jīng)驗(yàn)，提供了探究思路。本題的圖形及結(jié)論在教材中有多處原型，充分挖掘和利用教材資源命制試題，可引導(dǎo)教師重視教材在教學(xué)中的作用。

優(yōu)秀試題七

【原題呈現(xiàn)】（2021年蘇州卷）

18.如圖，射線OM、ON互相垂直，OA=8，點(diǎn)B位于射線OM的上方，且在線段OA的垂直平分線l上，連接AB，AB=5。將線段AB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到對應(yīng)線段A′B′，若點(diǎn)B′恰好落在射線ON上，則點(diǎn)A′到射線ON的距離d=____。

【試題評析】

考查目標(biāo)方面，本題以圖形的旋轉(zhuǎn)為設(shè)問背景，考查了勾股定理、相似三角形、銳角三角函數(shù)等知識點(diǎn)，不同的學(xué)生有不同的解法，思維深刻的學(xué)生運(yùn)算量很小，是一道體現(xiàn)“少算深思”的好題。

素養(yǎng)導(dǎo)向方面，本題在分析構(gòu)圖的基礎(chǔ)上需要考生有較強(qiáng)的邏輯推理能力，能根據(jù)條件推導(dǎo)出旋轉(zhuǎn)前后哪些對應(yīng)線段或角是相等的。

教學(xué)建議方面，作為一道填空題的較難題，本題較好地體現(xiàn)了區(qū)分選拔功能，教學(xué)時(shí)教師可安排學(xué)生交流不同的解法，然后讓學(xué)生在對比中找到更好的解法，積累解題經(jīng)驗(yàn)，感悟旋轉(zhuǎn)變換中的“變與不變”。

優(yōu)秀試題八

【原題呈現(xiàn)】（2021年揚(yáng)州卷）

28.甲、乙兩汽車出租公司均有50 輛汽車對外出租，下面是兩公司經(jīng)理的一段對話。

甲公司經(jīng)理：如果我公司每輛汽車月租費(fèi)3000 元，那么50 輛汽車可以全部租出；如果每輛汽車的月租費(fèi)每增加50 元，那么將少租出1輛汽車；另外，公司為每輛租出的汽車支付月維護(hù)費(fèi)200元。

乙公司經(jīng)理：我公司每輛汽車月租費(fèi)3500元，無論是否租出汽車，公司均需一次性支付月維護(hù)費(fèi)共計(jì)1850元。

說明：①汽車數(shù)量為整數(shù)；②月利潤=月租車費(fèi)-月維護(hù)費(fèi)；③兩公司月利潤差=月利潤較高公司的利潤-月利潤較低公司的利潤。

在兩公司租出的汽車數(shù)量相等的條件下，根據(jù)上述信息，解決下列問題：

（1）當(dāng)每個公司租出的汽車為10 輛時(shí)，甲公司的月利潤是____元；當(dāng)每個公司租出的汽車為____輛時(shí)，兩公司的月利潤相等。

（2）求兩公司月利潤差的最大值。

（3）甲公司熱心公益事業(yè)，每租出1 輛汽車捐出a元（a＞0）給慈善機(jī)構(gòu)，如果捐款后甲公司剩余的月利潤仍高于乙公司月利潤，且當(dāng)兩公司租出的汽車均為17 輛時(shí)，甲公司剩余的月利潤與乙公司月利潤之差最大，求a的取值范圍。

【試題評析】

考查目標(biāo)方面，本題綜合考查一元二次方程、一次函數(shù)、二次函數(shù)等初中代數(shù)核心知識。

素養(yǎng)導(dǎo)向方面，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要求學(xué)生會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，在現(xiàn)實(shí)生活中構(gòu)建普適的數(shù)學(xué)模型，形成合理的判斷和決策，這道考題主要考查的是分析生活情境、選取數(shù)學(xué)模型（方程、函數(shù)）進(jìn)行判斷和決策的能力。

教學(xué)建議方面，教學(xué)時(shí)教師要讓學(xué)生對現(xiàn)實(shí)生活問題充分審題與分析，恰當(dāng)設(shè)出未知數(shù)、分析不同未知量之間的數(shù)量關(guān)系是列出方程或函數(shù)關(guān)系式的關(guān)鍵。此外，如果構(gòu)建函數(shù)解決實(shí)際問題，還應(yīng)特別注意自變量的取值范圍。

優(yōu)秀試題九

【原題呈現(xiàn)】（2021年南通卷）

25.如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上（不與端點(diǎn)A、D重合），點(diǎn)A關(guān)于直線BE的對稱點(diǎn)為點(diǎn)F，連接CF，設(shè)∠ABE=α。

（1）求∠BCF的大?。ㄓ煤恋氖阶颖硎荆?。

（2）過點(diǎn)C作CG⊥直線AF，垂足為G，連接DG。判斷DG與CF的位置關(guān)系，并說明理由。

（3）將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBH，點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，連接BF、HF。當(dāng)△BFH為等腰三角形時(shí)，求sinα的值。

【試題評析】

考查目標(biāo)方面，本題綜合考查了翻折、旋轉(zhuǎn)、銳角三角函數(shù)等知識點(diǎn)，是一道幾何綜合題。

素養(yǎng)導(dǎo)向方面，本題以正方形為問題背景，從軸對稱出發(fā)，漸次探究角度、直線位置關(guān)系，最后安排學(xué)生探究旋轉(zhuǎn)變換后的等腰三角形的存在性問題，有效地考查了學(xué)生的幾何直觀、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

教學(xué)建議方面，本題的亮點(diǎn)是解法多樣，比如前兩問，學(xué)生可以運(yùn)用八年級的知識與技能解答，也可利用“四點(diǎn)共圓”獲得簡潔的解法，體現(xiàn)了針對經(jīng)典問題的深刻理解和初等方法的求解追求。教師在開展該題的解題教學(xué)時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解法展示與對比分析。

優(yōu)秀試題十

【原題呈現(xiàn)】（2021年常州卷）

26.【閱讀】通過構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膱D形，可以對線段長度、圖形面積大小等進(jìn)行比較，直觀地得到一些不等關(guān)系或最值，這是“數(shù)形結(jié)合”思想的典型應(yīng)用。

【理解】（1）如圖①，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分別為C、D，E是AB的中點(diǎn)，連接CE。已知AD=a，BD=b（0＜a＜b）。

①分別求線段CE、CD的長（用含a、b的代數(shù)式表示）；

②比較大小：CE____CD（填“＜”、“=”或“＞”），并用含a、b的代數(shù)式表示該大小關(guān)系。

（圖①）

（圖②）

①當(dāng)m=1，n=2 時(shí)，l=____；當(dāng)m=3，n=3 時(shí)，l=____；

②通過歸納猜想，可得l的最小值是____。請利用圖②構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膱D形，并說明你的猜想成立。

【試題評析】

考查目標(biāo)方面，本題主要考查了垂線最短、勾股定理、反比例函數(shù)、數(shù)式變形與化簡等關(guān)鍵能力。本題構(gòu)思精巧，融“數(shù)、形”于一體，是一道華羅庚先生所說的“數(shù)缺形時(shí)少直觀”的好題。

素養(yǎng)導(dǎo)向方面，本題以“數(shù)形結(jié)合”作為鮮明的命題主線，兩個問題串由易及難、漸次生長，突出了對直觀想象素養(yǎng)的考查。第一問先給出學(xué)生熟悉的基本圖形，讓學(xué)生簡要運(yùn)算比較、確認(rèn)“垂線段最短”；第二問從特殊到一般，讓學(xué)生先猜想結(jié)論，再構(gòu)圖驗(yàn)證。

教學(xué)建議方面，這道試題彰顯了數(shù)學(xué)中的“合情猜想—構(gòu)圖驗(yàn)證”的研究方法。教學(xué)中，教師要重視對基本圖形及其性質(zhì)的研究路徑的引導(dǎo)；要注重培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般、類比轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)基本思想方法。