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    函數(shù)與方程思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

    2022-06-06 21:29:59陳華
    速讀·下旬 2022年2期
    關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué)解題

    陳華

    ◆摘? 要:函數(shù)與方程思想是解決數(shù)學(xué)問題的一種常用思想。在解題過(guò)程中,學(xué)生可以利用變量與函數(shù)之間的關(guān)系,把未知轉(zhuǎn)化為已知,通過(guò)分析和探究的方式來(lái)解決問題。學(xué)生在探究中需要主動(dòng)思考各種數(shù)學(xué)變量,在邏輯思考中建構(gòu)方程和方程組,明確函數(shù)關(guān)系,找到解題思路。

    ◆關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué);函數(shù)與方程思想;解題

    函數(shù)知識(shí)在高中數(shù)學(xué)中具有重要的地位,是高考熱點(diǎn),也是考試重點(diǎn)。為了順利解決函數(shù)問題,學(xué)生就要學(xué)會(huì)函數(shù)與方程思想來(lái)分析問題,找到相關(guān)數(shù)據(jù)靈活轉(zhuǎn)化,在梳理中理順?biāo)悸?,解決問題。學(xué)生通過(guò)主動(dòng)思考會(huì)感受到函數(shù)的變化和變量的動(dòng)態(tài),在分析中學(xué)會(huì)運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)來(lái)分析解題思路,找到解題方法,提高解題能力。

    一、運(yùn)用函數(shù)與方程思想進(jìn)行邏輯思考

    為了使學(xué)生快速而準(zhǔn)確地解決問題,教師要引導(dǎo)學(xué)生在解題過(guò)程中學(xué)會(huì)邏輯思考。數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯性很強(qiáng),通過(guò)一步步推理和分析的方式,學(xué)生會(huì)了解各種數(shù)量之間的邏輯關(guān)系,在思考中把握數(shù)量關(guān)系,理順解題思路。例如:二次函數(shù)y=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-∞,1]上時(shí)減函數(shù),則 求實(shí)數(shù)a的取值范圍。在解題過(guò)程中,學(xué)生很容易把二次函數(shù)的對(duì)稱軸理解為x=-=1-a,所以1-a=1,a=0。這種思考方向是錯(cuò)誤的,學(xué)生要避免這種錯(cuò)誤的思考方向要認(rèn)真考慮單調(diào)區(qū)間的區(qū)域及端點(diǎn)是否使函數(shù)有意義,通過(guò)邏輯思考的方式進(jìn)行判斷。

    學(xué)生通過(guò)一步步思考,會(huì)找到解決問題的方法,學(xué)會(huì)把函數(shù)知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)榉匠?,通過(guò)解方程的方式來(lái)解決問題,提高解題能力。

    二、利用函數(shù)與方程思想客觀推理判斷

    《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)推理判斷,調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性,促進(jìn)學(xué)生通過(guò)主動(dòng)思考的方式來(lái)理解知識(shí),提高運(yùn)算能力,學(xué)會(huì)建構(gòu)模型,提高空間想象能力。學(xué)生通過(guò)主動(dòng)推理判斷會(huì)成為課堂的主人,在思考中結(jié)合自己的能力進(jìn)行分析判斷,通過(guò)主動(dòng)思考的方式提高學(xué)習(xí)能力。學(xué)生運(yùn)用函數(shù)與方程的思想進(jìn)行推理,會(huì)快速找到解題思路,明確各種數(shù)量關(guān)系,提高解題效率。例如函數(shù)f(x)=2x--a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是多少?分析中,學(xué)生通過(guò)推理判斷會(huì)認(rèn)識(shí)到,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2x--a在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增,又函數(shù)f(x)=2x--a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi),則有f(1)·f(2)<0,所以(-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,解得0<a<3。有了函數(shù)思想作為解題的指導(dǎo),學(xué)生會(huì)快速形成解題思路,把數(shù)學(xué)思想和方法運(yùn)用到具體的解題過(guò)程中,提高學(xué)生的分析能力和探究能力,促進(jìn)學(xué)生在對(duì)數(shù)據(jù)的加工中靈活轉(zhuǎn)化,構(gòu)造出函數(shù)的表達(dá)式,快速解題。

    三、巧用函數(shù)與方程思想進(jìn)行發(fā)散思維

    函數(shù)與方程思想在解題中的應(yīng)用會(huì)實(shí)現(xiàn)化繁為簡(jiǎn),化難為易,讓學(xué)生在建構(gòu)函數(shù)關(guān)系時(shí)活躍思維,在發(fā)散思考中提煉出有效數(shù)據(jù),形成對(duì)知識(shí)的客觀性認(rèn)識(shí)。學(xué)生在探究中會(huì)把抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)具體化、形象化,把握各種數(shù)據(jù)之間的千絲萬(wàn)縷關(guān)系。通過(guò)函數(shù)與方程思想,學(xué)生會(huì)拓展思路,學(xué)會(huì)從不同角度分析問題,探究解題方法,在主動(dòng)思考中解決問題。例如:某景區(qū)提供自行車出租,該景區(qū)有50輛自行車供游客租賃使用,管理這些自行車的費(fèi)用是每日115元.根據(jù)經(jīng)驗(yàn),若每輛自行車的日租金不超過(guò)6元,則自行車可以全部租出;若超出6元,則每超過(guò)1元,租不出的自行車就增加3輛.為了便于結(jié)算,每輛自行車的日租金x(元)只取整數(shù),并且要求租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費(fèi)用,用y(元)表示出租自行車的日凈收入。

    (1)求函數(shù)y=f(x)的解析式;

    (2)試問當(dāng)每輛自行車的日租金為多少元時(shí),才能使一日的凈收入最多?

    在解答第一問時(shí),學(xué)生會(huì)從題目中的已知信息進(jìn)行思考和分析,把生活中的實(shí)際應(yīng)用知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)知識(shí),通過(guò)數(shù)學(xué)的方式解決問題。思考中,學(xué)生會(huì)認(rèn)識(shí)到當(dāng)x≤6時(shí),y=50x-115,令50x-115>0,解得x>2.3。因?yàn)閤為整數(shù),所以3≤x≤6,x∈Z.當(dāng)x>6時(shí),會(huì)得到y(tǒng)=[50-3(x-6)]x-115=-3x2+68x-115。經(jīng)計(jì)算認(rèn)識(shí)到6<x≤20,x∈Z.函數(shù)的值為y=在解答第二問時(shí),可以看到y(tǒng)=50x-115(3≤x≤6,x∈Z),顯然當(dāng)x=6時(shí),ymax=185;而對(duì)于y=-3x2+68x-115=-32+(6<x≤20,x∈Z),當(dāng)x=11時(shí),ymax=270。通過(guò)比較和分析,可以看到日租金定為11元時(shí),收益最多。在分析中,學(xué)生會(huì)主動(dòng)思考,通過(guò)思維活動(dòng)的方式了解各種數(shù)據(jù)之間的關(guān)系,形成客觀性認(rèn)識(shí)。學(xué)生通過(guò)思考和分析會(huì)了解隱藏在題目中的各種數(shù)據(jù)之間的千絲萬(wàn)縷的關(guān)系,促進(jìn)學(xué)生提高理解,快速解題。

    總之,教師要鼓勵(lì)學(xué)生在解題過(guò)程中靈活地應(yīng)用函數(shù)與方程的思想。學(xué)生了解了函數(shù)與方程的思想,在解題過(guò)程中會(huì)充分地發(fā)揮主觀能動(dòng)性,建構(gòu)函數(shù)關(guān)系,梳理未知量之間的關(guān)系,在分析中簡(jiǎn)化問題,建構(gòu)出知識(shí)規(guī)律。學(xué)生了解了解題方法會(huì)主動(dòng)建模,掌握解題方法,在實(shí)踐中提高解題能力,落實(shí)核心素養(yǎng)。

    參考文獻(xiàn)

    [1]王海青.巧用函數(shù)思想妙解數(shù)學(xué)問題[J].名師在線,2018(36):28-29.

    [2]劉海東.巧妙運(yùn)用函數(shù)思想,打造高中數(shù)學(xué)解題中的萬(wàn)能鑰匙[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究(華南師范大學(xué)版),2016(23):44-45.

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