基于Tracker分析磁阻尼下的單擺運(yùn)動

方明月，郭瑞雪，謝翠婷

(華南師范大學(xué) 物理與電信工程學(xué)院，廣東 廣州 510006)

由電磁感應(yīng)原理可知，當(dāng)閉合的導(dǎo)體切割磁感線時，導(dǎo)體內(nèi)部會在感生電動勢下形成電流及渦流，從而產(chǎn)生阻礙導(dǎo)體相對運(yùn)動的力，這個力就是電磁阻尼。磁阻尼系統(tǒng)由于其無源、耐久性好等特點(diǎn)，在高層建筑的抗風(fēng)抗震、汽車制動、航空航天等方面擁有廣泛的應(yīng)用[1-4]。單擺是一種簡單方便的物理實驗裝置，在物理教學(xué)中充當(dāng)著重要的物理模型[5,6]。阻尼現(xiàn)象在生活中隨處可見，但在傳統(tǒng)的教學(xué)中，單擺的阻尼現(xiàn)象演示大都使用在細(xì)線上粘貼紙片的方法[7,8]。實際上，磁阻尼系統(tǒng)能夠有效地抑制單擺的運(yùn)動，使單擺產(chǎn)生明顯的欠阻尼振蕩[9]。

如果在教學(xué)實驗中設(shè)計探究單擺磁阻尼現(xiàn)象的實驗，演示單擺的磁阻尼現(xiàn)象[10]，將更好地調(diào)動學(xué)生對電磁學(xué)的興趣，為學(xué)生后面進(jìn)一步學(xué)習(xí)電磁知識做鋪墊[12，13]。

1 理論模型

在不考慮空氣阻力和小擺角的情況下，常規(guī)的單擺運(yùn)動可以看作簡諧運(yùn)動。如圖1所示。此時單擺的運(yùn)動周期為：

(1)

式中，ω為單擺的角頻率，l為擺長，g為重力加速度。若考慮空氣阻尼，則小角度下單擺的運(yùn)動振幅與周期的關(guān)系式為：

y(t)=y0e-btcos(ωt+φ)

(2)

小角度下單擺的振幅與擺角的關(guān)系可表示為：

y(t)=lsinθ(t)≈lθ(t)

(3)

因此，單擺的運(yùn)動擺角與時間的關(guān)系為：

θ(t)=θ0e-btcos(ωt+φ)

(4)

實際上，空氣阻尼一般比較小，在一定時間范圍內(nèi)單擺的運(yùn)動可以近似為簡諧運(yùn)動，但磁阻尼系統(tǒng)可以有效地抑制擺的運(yùn)動。在磁阻尼的作用下，單擺會呈現(xiàn)出較為明顯的欠阻尼振蕩，公式(4)仍然適用。

2 實驗裝置

圖2即為單擺的磁阻尼的實驗裝置，儀器簡單小巧。擺球是永磁體(鐵氧體)，導(dǎo)體選用鋁盤。永磁體擺球在非磁體鋁盤附近運(yùn)動時，相當(dāng)于鋁盤在不斷地切割永磁體所產(chǎn)生的磁感線。相應(yīng)地將出現(xiàn)感應(yīng)電動勢，導(dǎo)體內(nèi)部形成電渦流，從而產(chǎn)生抑制單擺運(yùn)動的磁阻尼力。若擺球的運(yùn)動角度較小(θ<5°)，則擺的運(yùn)動可近似平行于鋁盤。

通過該裝置探討小角度下單擺的運(yùn)動情況和擺球大小、擺長以及擺球與鋁盤之間距離的關(guān)系。

3 實驗探究

3.1 磁擺運(yùn)動情況與擺球到鋁盤距離的關(guān)系

固定擺長為30 cm，選取擺球直徑為16 mm，分別設(shè)置擺球中心至鋁盤表面的距離為d=1.0，1.5，2.0 cm?？刂茢[球以小角度開始擺動，用手機(jī)錄制單擺運(yùn)動情況并將視頻導(dǎo)入Tracker軟件進(jìn)行處理。

從圖3中可以清晰看到，當(dāng)擺球中心與鋁盤間距d<2.0 cm時，磁阻尼的作用十分明顯，單擺表現(xiàn)出明顯的欠阻尼振蕩。當(dāng)d=2.0 cm時，單擺的阻尼振蕩變得不明顯。此時，單擺和鋁盤之間的磁阻尼作用力變小，擺球已經(jīng)基本不受磁阻尼的制約。

(b) d=1.5 cm時,單擺的擺動角度與時間的關(guān)系圖

(c) d=2 cm時,單擺的擺動角度與時間的關(guān)系圖圖3 擺球中心至鋁盤表面不同距離時，單擺擺動角度與時間的關(guān)系圖

實驗過程中，如果鋁盤十分靠近小球，將看到小球很快停止擺動，現(xiàn)象十分有趣。

3.2 磁擺運(yùn)動情況與單擺擺長的關(guān)系

固定擺球直徑為16 mm和擺球最底端至鋁盤表面的間距d=0.7 cm，分別設(shè)置擺長l=25，30，35 cm。控制擺球以小角度開始擺動，用手機(jī)錄制單擺運(yùn)動情況并導(dǎo)入Tracker軟件進(jìn)行視頻處理。

如圖4所示，在不同的擺長下，小球都表現(xiàn)出明顯的欠阻尼振蕩。其中，當(dāng)擺長l=25，30，35 cm時，小球由1°的擺角運(yùn)動至停止所用的時間分別為35，29，24 s。可以說明，擺長越長，小球由相同擺角運(yùn)動至停止的時間越短。

此結(jié)論與理論分析相符合。由單擺的周期公式可知，擺長越長，單擺的運(yùn)動周期越長。因此小球在一個周期的運(yùn)動過程中受到磁阻尼作用的時間越長，在磁阻尼的作用下經(jīng)歷較少的周期擺動就會停止下來。

(a)l=25 cm時.單擺的擺動角度與時間的關(guān)系圖

(b)l=30 cm時.單擺的擺動角度與時間的關(guān)系圖

(c)l=35 cm時.單擺的擺動角度與時間的關(guān)系圖圖4 不同擺長時，單擺的擺動角度與時間的關(guān)系圖

3.3 磁擺運(yùn)動情況與擺球直徑的關(guān)系

固定擺長l=30 cm，擺球最底端至鋁盤表面的間距為0.7 cm，分別設(shè)置擺球直徑D=10，16，25 mm?？刂茢[球以小角度開始擺動，用手機(jī)錄制單擺運(yùn)動情況并導(dǎo)入Tracker軟件進(jìn)行視頻處理。

由圖5可以看到，其中，當(dāng)擺球直徑D=10，16，25 mm時，小球由1.5°的擺角運(yùn)動至停止所用的時間分別為37，33，24 s?？梢哉f明，擺球直徑越大，小球由相同擺角運(yùn)動到靜止的時間越短。

在忽略空氣阻力的作用時，越大的小球磁力也越大，其所受的磁阻尼力相應(yīng)的越大，因此小球越容易停止。此外，由于磁阻尼的增大，大直徑的小球的運(yùn)動周期也越少。

(a)D=10 mm時,單擺的擺動角度與時間的關(guān)系圖

(b)D=16 mm時,單擺的擺動角度與時間的關(guān)系圖

(c)D=25 mm時,單擺的擺動角度與時間的關(guān)系圖圖5 不同擺球直徑時，單擺的擺動角度與時間的關(guān)系圖

4 結(jié) 語

搭建簡易的平臺，探究磁阻尼作用下單擺的運(yùn)動情況，實驗效果明顯。此外，該裝置的拓展應(yīng)用較多。利用簡單的裝置探究單擺在不同情況下受磁阻尼的影響，有助于拓展物理教學(xué)，打破學(xué)生對傳統(tǒng)單擺阻尼的認(rèn)知局限，拓寬學(xué)生的視野。另外，當(dāng)鋁盤下面有鐵塊時，磁球在擺動過程中會發(fā)生有趣的自旋現(xiàn)象，這可用于激發(fā)學(xué)生對物理現(xiàn)象的思考。該裝置還可用于簡單判別不同廠家磁球的磁力大小。