不同測量位置對牛頓環(huán)儀曲率半徑大小的影響探究

厲桂華，趙文麗，叢曉燕，馬 超，孫豐偉，張 紅

(山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，山東 泰安 271000)

1675年，牛頓首次在實(shí)驗(yàn)中觀測到一些明暗相間的同心圓環(huán)，故稱為牛頓環(huán)。牛頓環(huán)是光學(xué)中研究等厚干涉現(xiàn)象的典型實(shí)驗(yàn)方法，它可以用來測量平凸透鏡的曲率半徑、光波波長、檢測光學(xué)表面平整度等，在科學(xué)研究中有著廣泛的應(yīng)用[1]。本文從牛頓環(huán)干涉原理及其干涉圖像出發(fā)，討論了不同測量位置對平凸透鏡的曲率半徑的影響。由于平凸透鏡的凸面和平板玻璃的平面不是理想的點(diǎn)接觸，而接觸壓力會引起局部彈性形變，使接觸處成為一個(gè)圓形暗斑，這導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)測得的暗環(huán)半徑與干涉級次無法精確對應(yīng)[2-5]。為避免由尋找暗環(huán)中心帶來的誤差，我們通常會把測量暗環(huán)半徑改為測量暗環(huán)直徑。但是，十字叉絲與暗環(huán)的相切位置一直沒有統(tǒng)一的規(guī)定。

本文中以牛頓環(huán)中心為暗斑，首先令十字叉絲分別與暗環(huán)的外側(cè)、內(nèi)側(cè)相切，經(jīng)多次測量采集大量數(shù)據(jù)，然后計(jì)算出平凸透鏡的曲率半徑。經(jīng)對比發(fā)現(xiàn)外切采集數(shù)據(jù)的計(jì)算結(jié)果最接近標(biāo)準(zhǔn)值，所以建議讀取數(shù)據(jù)時(shí)，一律采用十字叉絲與暗環(huán)外側(cè)相切。

1 牛頓環(huán)干涉原理

如圖1所示，牛頓環(huán)儀的平凸透鏡球面AOB與平面玻璃CD面相切于O點(diǎn)，在平凸透鏡球面與平板玻璃之間形成一個(gè)以接觸點(diǎn)O為中心向四周逐漸增厚的空氣劈尖。當(dāng)單色平行光束近似垂直地向AB面入射時(shí)，一部分光在AOB面上反射，一部分繼續(xù)前進(jìn)，到達(dá)COD面上再次發(fā)生反射。這兩束反射光在AOB面相遇，互相干涉形成明暗條紋。由于AOB面是球面，與O點(diǎn)等距的各點(diǎn)對O點(diǎn)是對稱的，因而上述明暗條紋排成如圖2所示的明暗相間的圓環(huán)圖樣，這些花紋稱為牛頓環(huán)。

圖1 牛頓環(huán)裝置圖

圖2 牛頓環(huán)干涉圖樣

設(shè)透鏡的曲率半徑為R，與接觸點(diǎn)O相距為r處空氣層的厚度為e，由圖1所示幾何關(guān)系可推導(dǎo)得出第k級暗環(huán)的半徑為

(1)

由(1)式可知，如果單色光源的波長λ已知，只需測出第k級暗環(huán)的半徑rk，即可算出平凸透鏡的曲率半徑R[6,7]。由于平凸透鏡的凸面和平板玻璃的平面不是理想的點(diǎn)接觸，其接觸壓力會引起局部彈性形變，使干涉環(huán)中心為一暗斑，這導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)測得的rk與k無法精確對應(yīng)；又因?yàn)榭諝忾g隙層中存在塵埃，會給測量帶來較大的系統(tǒng)誤差，為消除附加光程差帶來的誤差，可以通過兩個(gè)暗環(huán)半徑的平方差來解決。對牛頓環(huán)的第m級和第n級，對應(yīng)半徑為rm和rn，則由(1)式可得

(2)

所以透鏡的曲率半徑為

(3)

又因?yàn)榘淡h(huán)的中心不易確定，故取暗環(huán)的直徑來代替，于是有

(4)

這就是本實(shí)驗(yàn)測量平凸透鏡的曲率半徑公式。

2 實(shí)驗(yàn)過程

觀察牛頓環(huán)儀，若環(huán)中心不是暗斑或暗斑偏離中心太遠(yuǎn)，可以輕輕對牛頓環(huán)框架螺釘進(jìn)行調(diào)節(jié)。啟動(dòng)鈉光燈，調(diào)節(jié)反射片的傾斜度，使顯微鏡視場中亮度最大。將顯微鏡對準(zhǔn)牛頓環(huán)儀正表面調(diào)焦，找到清晰的牛頓環(huán)，并使牛頓環(huán)圓心處在視場正中央。

3 數(shù)據(jù)處理及分析

我們針對不同的牛頓環(huán)測量了很多數(shù)據(jù)，按照前面公式計(jì)算出平凸透鏡的曲率半徑大小從0.727 m到1.074 m。這是由于牛頓環(huán)上下兩塊玻璃長期擠壓，接觸面會發(fā)生形變，從而導(dǎo)致測得的曲率半徑偏大。為避免上述情況，我們用了一個(gè)新采購的牛頓環(huán)作為參考標(biāo)準(zhǔn)，其曲率半徑標(biāo)注為855.5 mm。表1展示了十字叉絲與暗環(huán)內(nèi)側(cè)相切所測得的數(shù)據(jù)，表2展示的是十字叉絲與暗環(huán)外側(cè)相切所測得的數(shù)據(jù)。

表1 十字叉絲與暗環(huán)內(nèi)側(cè)相切所測得數(shù)據(jù)

表2 十字叉絲與暗環(huán)外側(cè)相切所測得數(shù)據(jù)

由兩個(gè)表格的數(shù)據(jù)可知，暗環(huán)的直徑變化規(guī)律完全符合我們看到的花紋形狀，呈現(xiàn)內(nèi)疏外密的特點(diǎn)。再看兩組數(shù)據(jù)的對比結(jié)果：當(dāng)十字叉絲與暗環(huán)內(nèi)側(cè)相切時(shí)，由對應(yīng)數(shù)據(jù)計(jì)算得出的曲率半徑為0.728 m，與標(biāo)準(zhǔn)值的相對誤差為14.9%；而第二組數(shù)據(jù)計(jì)算得出的曲率半徑為0.862 m，與標(biāo)準(zhǔn)值的相對誤差僅為3.39%，小于5%，處于我們可接受的誤差范圍內(nèi)。此外我們還分別測量了10組數(shù)據(jù)，并與標(biāo)準(zhǔn)值進(jìn)行對比，如圖3所示?？梢姡瑑?nèi)切時(shí)所得曲率半徑普遍比外切時(shí)所得數(shù)據(jù)偏離標(biāo)準(zhǔn)值更多，并且后者所得數(shù)據(jù)浮動(dòng)較小。

圖3 內(nèi)切位置與外切位置所得的曲率半徑

4 結(jié) 語

在實(shí)際操作中，由于暗環(huán)寬度逐漸變小，眼睛極易疲勞，我們觀察十字叉絲與暗環(huán)的外切比內(nèi)切的情況更容易。因此，在該實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，可以統(tǒng)一要求學(xué)生采用十字叉絲與暗環(huán)外側(cè)相切來采集數(shù)據(jù)，得到的結(jié)果更為準(zhǔn)確。