牛頓環(huán)實驗中一些問題的探討

葉 紫，馬文姣，孟子碩，陸振幫

(1.武漢紡織大學 電子與電氣工程學院，湖北 武漢 430200；2.武漢紡織大學 數(shù)理科學學院，湖北 武漢 430200)

利用牛頓環(huán)法測量平凸透鏡的曲率半徑是一個典型的等厚干涉實驗。該實驗原理清晰，現(xiàn)象直觀，裝置簡單，能讓學生更好地認識光的波動性，理解光學方法在長度測量中的應用。牛頓環(huán)實驗原理中，有一個重要推導步驟是把理論公式變形為實際測量表達式，而變形原因一般用“中心和級次無法確定”一句帶過，未做詳述。很多學生在學習本實驗時，通常會把它理解為“中心或級次無法確定”，因而會認為教材上用的“和”字有誤。本文將詳細闡述為什么是“和”而不是“或”，以厘清部分學生的誤解。另外，通過對原理公式的分析，本文還指出了線性擬合法在本實驗數(shù)據(jù)處理中的可行性。

1 實驗原理簡述

1.1 等厚干涉

如圖1所示，凸面AB是平凸透鏡的下表面，平面CD為平板玻璃的上表面，二者間有一空氣薄層。由光源S發(fā)出的光線，在AB上的點P處分為兩束：一束直接反射回平凸透鏡中；另一束折射后進入空氣層，在下方CD面上的點R處反射回空氣層，最后在AB面上的點T處折射進入平凸透鏡中。兩束光線在透鏡中一點Q相遇，從而發(fā)生干涉現(xiàn)象。由于待測凸面曲率半徑較大，因而面AB與CD近似平行，故實驗中T、Q兩點與P點的水平位置基本一致，從而可認為干涉點Q位于凸面AB上?？紤]到在CD面上的反射存在半波損失，兩束光線的光程差為

圖1 等厚干涉示意圖

(1)

(2)

1.2 幾何關系

如圖2所示，平凸透鏡的凸面所在球的圓心為O點，N點為其最低點，P點為凸面上一點，則半徑R=ON=OP。若P點處觀察到k級暗條紋，則條紋半徑rk=MP。H=MN為P點所在平面與頂點N的距離。由于△OMP為直角三角形，故有

(3)

當凸面與平板玻璃相切于N點時，P點處空氣層厚度與P點所在平面到N點的距離相等，h=H。將形成k級暗紋的厚度條件(2)式與上式聯(lián)立，可得

(4)

若已知光的波長λ，測出k級暗紋半徑rk即可算出平凸透鏡的曲率半徑R。

1.3 測量表達式

多數(shù)教材在此處都會提一句由于牛頓環(huán)的中心和級次無法測定，故(4)式無法直接用于測量[1-5]。需要將式中的半徑轉(zhuǎn)換為直徑、級次轉(zhuǎn)換為級次差，從而得到最終測量表達式

(5)

筆者所了解到的情況是，很多學生對“中心和級次無法測定”的理解是有偏差的。他們通常的理解是：若凸面懸空放置，不與平板玻璃接觸，則環(huán)中間的級次無法確定；若凸面與平板玻璃緊密接觸，則干涉圖案中心是一個大暗斑，從而導致中心無法測定。而凸面與平板玻璃要么不接觸，要么緊密接觸，兩種情形不可能同時發(fā)生，故而結(jié)論應該是“中心或級次無法測定”。那么，是教材用字不嚴謹嗎？下面我們將對此做出詳細說明。

2 中心與級次問題

2.1 中心無法測定的原因

為了弄清這個問題，我們可以做出干涉情況下光強隨水平位置變化的圖。圖3顯示的是凸面與平板玻璃相切時的光強分布圖?？梢悦黠@看出，在中心處干涉相消的不是一個點，而是一個圓形區(qū)域。也就是說，無論凸面與平板玻璃是否接觸，牛頓環(huán)中央都不會是一個暗點(或亮點)，而只會是一個圓斑。這其實是由凸面的幾何特性決定的。

在凸面最低點(即圖2中N點)處，曲面沿任意方向的斜率為零，要產(chǎn)生明顯的厚度變化需要較大的水平距離才行。這就導致了中間部分厚度變化小，干涉光強的變化不明顯，從而導致中央處只會是圓斑，而不會是圓點。因此，無論凸面與平板玻璃是相切、緊密接觸，還是懸空不接觸，牛頓環(huán)的中心都是無法確定的。

圖2 幾何關系圖

圖3 光強分布圖

2.2 級次無法確定的問題

(6)

圖4 凸面與平板玻璃不相切時h與H的關系

與(4)式對照可知，不相切帶來的問題是公式中的級次k變成了“有效級次”k-c。h0未知，即常數(shù)c未知，導致的是有效級次無法確定，也就無法使用(5)式計算出曲率半徑R的值。

綜合2.1和2.2可知，無論凸面與平板玻璃是懸空不接觸還是緊密接觸，都存在著牛頓環(huán)中心和級次無法確定的問題。教材的表述并無不當，認為是“或”的同學需要加深對原理的理解。

3 問題的解決方案

公式(6)中，在給定波長λ時，需要知道rk和k-c才能算出曲率半徑R的值。當中心無法確定時，由半徑的定義可知半徑無法直接測量。解決辦法是改測直徑(因為測量直徑并不需要知道圓心位置)，公式(6)變?yōu)?/p>

(7)

對于級次無法確定(即c未知)的問題，解決方案有二種：消除法與線性擬合法。

圖5 直徑與弦長關系

實際測量中，由于讀數(shù)顯微鏡的叉絲中心不一定經(jīng)過牛頓環(huán)的圓心，因而所測的dk可能并不是直徑，而是弦長。由圖5可知，半徑OP與弦長PT之間有如下關系

(OP)2=(PT/2)2+(OR)2，

(2OP)2=(PT)2+(2OR)2.

由于實驗中叉絲中心沿直線移動，故OR為一常數(shù)。即直徑平方與弦長平方只相差一個常數(shù)項(2OR)2，這只會給(7)式右端增加一個常數(shù)項。無論是對消除法還是線性擬合法，這都不會影響到對曲率半徑的測量。

4 結(jié) 語

在本文中，我們介紹了牛頓環(huán)法測曲率半徑的原理，并詳細分析了實際過程中的中心和級次問題，說明了在懸空和不接觸兩種情形下中心和級次都無法確定的原因。另外，還分析了在本實驗數(shù)據(jù)處理中應用線性擬合法的可行性，證明了叉絲中心不過圓心并不會對測量結(jié)果帶來影響。