“運(yùn)用導(dǎo)數(shù)證明不等式”教學(xué)設(shè)計(jì)

摘要：數(shù)學(xué)證明的真諦不在于能證明命題真假，而在于它能啟發(fā)人們對(duì)命題有更深刻的理解，并能促進(jìn)新發(fā)現(xiàn)，這就突破了傳統(tǒng)教學(xué)中對(duì)數(shù)學(xué)證明的觀念.根據(jù)這樣的認(rèn)識(shí)，我們認(rèn)為對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說，數(shù)學(xué)證明的教育價(jià)值主要體現(xiàn)在幫助學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、培養(yǎng)學(xué)生思維能力、提升學(xué)生核心素養(yǎng)等幾個(gè)方面.

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)證明;設(shè)計(jì)明暗線;問題;方法

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）15-0038-03

收稿日期：2022-02-25

作者簡(jiǎn)介：金玉明（1977.1-），男，江蘇省南京人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

1 近5年《運(yùn)用導(dǎo)數(shù)證明不等式》全國卷高考考查情況調(diào)查2016年在新課標(biāo)全國卷Ⅰ、Ⅱ（理科）21、新課標(biāo)全國卷Ⅲ（文科）21、浙江卷（文、理科）20、山東卷（理科）20考查.2017年在新課標(biāo)全國卷Ⅱ（理科）21、新課標(biāo)全國卷Ⅲ（文科）21、（理科）21（數(shù)列不等式）、天津卷（理科）20、（文科）19、江蘇卷20、浙江卷22（Ⅱ）（數(shù)列不等式）考查.2018年在新課標(biāo)全國卷Ⅰ（文科）21、（理科）21、新課標(biāo)全國卷Ⅱ（理科）21、新課標(biāo)全國卷Ⅲ（文科）21、（理科）21、浙江卷22（Ⅰ）考查.2019年在北京卷（理科）19、（文科）20、天津卷（理科）20、（文科）20考查.2020年在天津卷20、浙江卷22考查.近五年考查非常密集.

2 教學(xué)設(shè)計(jì)思路

本節(jié)課內(nèi)容按照“情境→問題→方法和思路→運(yùn)用”的路徑安排學(xué)習(xí)過程，體現(xiàn)了知識(shí)運(yùn)用問題轉(zhuǎn)化的一般思路，有利于學(xué)生形成系統(tǒng)、普適的數(shù)學(xué)思維模式.有利于提升學(xué)生透過問題看本質(zhì)的能力，使學(xué)生學(xué)會(huì)以簡(jiǎn)馭繁，養(yǎng)成一般性思考問題的好習(xí)慣，從而發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，提升邏輯思維素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

3 教學(xué)設(shè)計(jì)明線

明線一：知識(shí).運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解最值、提升至運(yùn)用導(dǎo)數(shù)證明命題.

明線二：題型.解答題、證明題之間的互相轉(zhuǎn)換，會(huì)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)證明不等式.

4 教學(xué)設(shè)計(jì)暗線

暗線一：思維方式.構(gòu)造函數(shù)，求最值.

暗線二：核心素養(yǎng)提升.邏輯思維能力、抽象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

5 課堂教學(xué)設(shè)計(jì)

5.1 教學(xué)目標(biāo)

（1）體會(huì)導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性，同時(shí)感受和體會(huì)數(shù)學(xué)自身發(fā)展的一般規(guī)律;

（2）體會(huì)數(shù)形結(jié)合的作用，能運(yùn)用導(dǎo)數(shù)方法嚴(yán)格論證代數(shù)關(guān)系.

教學(xué)重點(diǎn)

運(yùn)用導(dǎo)數(shù)證明不等式.

教學(xué)準(zhǔn)備

PPT、GGB或者幾何畫板作圖演示（圖形更加直觀，但是不能作為證明方法）.

5.2 教學(xué)過程

5.2.1 問題情境

問題1.說明函數(shù)f（x）=e與函數(shù)g（x）=x+1之間的大小關(guān)系.

引例：求函數(shù)f（x）=e-（x+1）的最小值.

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

本情境的提出使學(xué)生明確：導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)，可以使我們對(duì)函數(shù)最值的研究方法更加豐富，而最值求出后，就得出了不等關(guān)系.那么不等關(guān)系的證明也可以看作是最值的求解，這需要作合理的轉(zhuǎn)換.引出本節(jié)課主題：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)證明不等式.

問題與方法總結(jié)

函數(shù)單調(diào)性研究的一個(gè)重要作用是依據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值，而導(dǎo)數(shù)的重要作用是可以研究函數(shù)單調(diào)性，特別是研究超越函數(shù)單調(diào)性.求出函數(shù)最值后可以比較兩個(gè)函數(shù)大小關(guān)系，就可以出現(xiàn)證明題，所以引出本節(jié)課題《運(yùn)用導(dǎo)數(shù)證明不等式》.所證明的不等式應(yīng)該是有超越函數(shù)存在的不等式形式，否則不一定需要用導(dǎo)數(shù)方法證明，體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)方法證明不等式的必要性.

當(dāng)然，選擇本情境還因?yàn)槭沁@兩個(gè)函數(shù)的大小關(guān)系也是很多不等式證明時(shí)經(jīng)常用來放縮的一個(gè)背景，需要給予足夠的重視.

5.2.2 學(xué)生活動(dòng)與師生互動(dòng)

問題2.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，證明不等式.

例1求證：對(duì)于x∈R，e≥x+1.

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

通過本題的研究，確立導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法，同時(shí)明確一個(gè)常見不等關(guān)系.在方法層面上，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)作差法與作商法進(jìn)行比較，明確一題多解的必要性.厘清用導(dǎo)數(shù)法證明不等式的基本方法和步驟.思維上提升邏輯思維素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

研究方案

（1）通過GGB（或者幾何畫板）演示，首先讓學(xué)生有一定的直觀感受，明確有不等關(guān)系的兩個(gè)函數(shù)圖像之間應(yīng)當(dāng)可以被一條線分割開.

（2）師生共同完成該問題，并研究方法.

5.2.3 建構(gòu)數(shù)學(xué)

問題與方法總結(jié)

含超越函數(shù)的不等式證明問題，主要方法是：構(gòu)造函數(shù)，求最值.而構(gòu)造函數(shù)的方法可以是作差或者是作商.

方法一：作差，構(gòu)造函數(shù)f（x）=e-（x+1），求出函數(shù)最小值為0，證明不等式.

方法二：作商，構(gòu)造函數(shù)f（x）=x+1/e，求出函數(shù)最大值為1，證明不等式.

5.2.4 第一次課堂練習(xí)

變式訓(xùn)練一：（2018全國Ⅱ卷理數(shù)21（1））求證：對(duì)于x∈＼[0，+∞），e≥x+1.

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

變式訓(xùn)練一探究?jī)煞N方法，并體驗(yàn)方法一需要多次求導(dǎo)的不便性，以確立第二種方法的必要性.鞏固運(yùn)用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法，有利于學(xué)生把握相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

問題與方法總結(jié)

問題為含超越函數(shù)的不等式證明題，依據(jù)例題，采用構(gòu)造函數(shù)的方法進(jìn)行證明.對(duì)于作差法，本題需要二次求導(dǎo)解決問題，方法略顯復(fù)雜.對(duì)于作商法，關(guān)注“指數(shù)好基友”屬性，e可以作為分母，在求導(dǎo)時(shí)減少運(yùn)算量，便于順利解決問題.借助本練習(xí)，讓學(xué)生體會(huì)方法選擇的重要性.

5.2.5 數(shù)學(xué)應(yīng)用

例2求證：對(duì)于x∈（0，+∞），x≥lnx+1.

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

題目與方法層面，不同函數(shù)類型，運(yùn)用同樣方法解決問題.問題進(jìn)一步提升導(dǎo)數(shù)證明不等式意識(shí)，提高解題心理表征屬性.思維層面，考慮到x≥lnx+1是由ex≥x+1中將x換成x-1并取對(duì)數(shù)得到，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).

問題與方法總結(jié)

作差法還是作商法的選擇再一次成為本節(jié)課的焦點(diǎn)，讓學(xué)生體會(huì)“對(duì)數(shù)單身狗”屬性的了解.明確兩個(gè)問題ex≥x+1與x≥lnx+1本質(zhì)是同一個(gè)問題.通過GGB（或者幾何畫板）演示，首先讓學(xué)生有一定的直觀感受.

5.2.6 第二次課堂練習(xí)

問題3.綜合運(yùn)用

變式訓(xùn)練二：求證：對(duì)于x∈[1，+∞），xlnx/x+1≤1/2（x-1）.

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

本題的設(shè)計(jì)目的，除了相關(guān)知識(shí)和方法鞏固、問題解決過程中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯思維外，還希望能夠更好激活學(xué)生的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，引導(dǎo)學(xué)生在運(yùn)用已有知識(shí)方法解題進(jìn)行認(rèn)知建構(gòu)過程中，提升元認(rèn)知監(jiān)控能力.學(xué)生只有在解題中不斷分析、推理、反思、比較和鑒別，才能形成正確思路并準(zhǔn)確表達(dá)其思維過程.

問題與方法總結(jié)

結(jié)構(gòu)不良，復(fù)雜的不等式問題證明，需要使用分析法將不等式先作合理轉(zhuǎn)換，再構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明.同時(shí)關(guān)注“對(duì)數(shù)單身狗”屬性.

5.2.7 回顧小結(jié)

對(duì)于本節(jié)課，你有哪些不同層次的體會(huì)？

知識(shí)：用導(dǎo)數(shù)法證明不等式問題的研究.

方法：構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)最值、“指數(shù)好基友、對(duì)數(shù)單身狗”的轉(zhuǎn)換方式.

思維：提升邏輯思維、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象（由e≥x+1轉(zhuǎn)化得到x≥lnx+1的數(shù)學(xué)抽象方法）等核心素養(yǎng).

6 教后反思

首先，本節(jié)課重點(diǎn)研究的不等關(guān)系：e≥x+1，既是研究的題目，也是放縮法的橋梁.如幾種放縮方法：化曲為直、化動(dòng)為靜、化繁為簡(jiǎn)、順?biāo)浦鄣?

其次，本節(jié)重點(diǎn)研究的不等關(guān)系：e≥x+1，既是其它不等式證明的源頭，也是問題解決方法的重要背景，并且問題的變化往往也是通過這個(gè)不等關(guān)系得到的.在教學(xué)過程中，我們對(duì)二級(jí)結(jié)論的探究和使用一直都存在分歧，筆者認(rèn)為二級(jí)結(jié)論在選擇填空題中應(yīng)大膽使用，在解答題中應(yīng)當(dāng)在證明結(jié)論的前提下可以使用;教學(xué)中對(duì)于學(xué)習(xí)能力強(qiáng)的同學(xué)應(yīng)當(dāng)對(duì)二級(jí)結(jié)論有一定認(rèn)識(shí)，而對(duì)于學(xué)習(xí)能力較弱的同學(xué)應(yīng)更加注重通性通法;平時(shí)教學(xué)應(yīng)當(dāng)以通性通法為主要教學(xué)內(nèi)容，如果提到二級(jí)結(jié)論，應(yīng)當(dāng)盡量給出較為完善的推理證明過程.

再次，明確不等式證明還有其它的題型，比如不等式兩邊可以分別求最大值與最小值直接比較大小關(guān)系，而移到一側(cè)卻無法求最值，此類問題也需要關(guān)注.

最后，不等式證明還可以延伸至數(shù)列中不等關(guān)系證明，需要前后對(duì)應(yīng)，尋找關(guān)聯(lián)，解決問題.用函數(shù)方法解決數(shù)列問題是比較常見的一種解決問題方法，需要給予足夠關(guān)注.

參考文獻(xiàn)：

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[責(zé)任編輯：李璟]