分類討論思想融入初中數(shù)學(xué)解題

張杰

【摘要】“分類討論”思想常見于解決問題多樣，需要設(shè)定不同標(biāo)準(zhǔn)以轉(zhuǎn)化形式從而簡(jiǎn)化問題的情形，通過將大問題轉(zhuǎn)化為小問題再逐一解決從而實(shí)現(xiàn)解決問題的目標(biāo)，這是在解決數(shù)學(xué)問題過程中的常見思路和解題策略.這種化整為零的歸納方法不僅可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，優(yōu)化解題步驟，更能有效提升學(xué)生思維的條理性和邏輯性.

【關(guān)鍵詞】分類討論;數(shù)學(xué)解題;解題策略

1 在初中數(shù)學(xué)解題過程中實(shí)踐“分類討論”思想的步驟和基本原則

1.1 實(shí)踐“分類討論”思想的步驟

1.2 實(shí)踐“分類討論”思想的基本原則

（1）統(tǒng)一性：在一道題目的解題過程中，每次分類的標(biāo)準(zhǔn)一定要統(tǒng)一;

（2）匹配性：劃分后的小類外延總和應(yīng)與母類外延相等;

（3）互斥性：每項(xiàng)劃分后的各個(gè)小類之間應(yīng)該互相排斥，不能有邊界模糊的現(xiàn)象;

（4）層次性：在選定分類依據(jù)時(shí)，要分清主次，抓住主要問題，逐一擊破.

2 “分類討論”思想在初中數(shù)學(xué)解題過程中的應(yīng)用

2.1 “分類討論”思想在函數(shù)中的應(yīng)用

例1 如圖2，函數(shù)y=-x2 + bx +c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（m，0），B（0，n）兩點(diǎn)，已知m和n分別是方程x2- 2x-3= 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并且有m

（1）求m，n的值以及函數(shù)的解析式;

（2）設(shè)該函數(shù)在t≤x≤t+1內(nèi)的最大值為p，最小值為q;若p-g=3，求t的值.

分析 （1）首先解方程求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可;

（2）分析題目可以討論以下5種情況：①當(dāng)函數(shù)y在t≤x≤t+1內(nèi)的拋物線完全在對(duì)稱軸的左側(cè);②當(dāng)t+1=1時(shí);③當(dāng)函數(shù)y在t≤x≤t+1內(nèi)的拋物線分別在對(duì)稱軸的兩側(cè);④當(dāng)t=1時(shí);⑤函數(shù)y在t≤x≤t+1內(nèi)的拋物線完全在對(duì)稱軸的右側(cè);分別根據(jù)增減性即可解答.

解析 （1）m，n分別是方程x2- 2x-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且m

所以x1=-1，x2=3;故m=-1，n=3;

即A（-1，0），B（0，3） ，把（-1，0），（0，3）代入得：

-1-b+c=0b=2 解得b=2c=3;

故函數(shù)解析式為：y=-x2+2x+3.

（2）①當(dāng)函數(shù)y在該范圍內(nèi)的拋物線全部都在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x=t時(shí)，原函數(shù)取得最小值q=-t2+2t+3，最大值p=-（t+1）2 + 2（t+1）+3;

令p-q=-（t+1）2+2（t+1）+3-（-t2+2t+3）=3;

即-2t+1=3;解得t=-1;

②當(dāng)t+1=1即t=0時(shí)，此時(shí)p=4，q=3，不合題意，舍去;

③當(dāng)函數(shù)y在該范圍內(nèi)的拋物線位于對(duì)稱軸的兩側(cè)時(shí)，有p=4，令p-q=4-（-t2+2t+3）=3，即t2-2t-2=0解得：t1=1+ 3 （舍），t1=1- 3（舍）;

或者p-q=4-[-（t+1）2+2（t+1）+3]=3;即t=± 3（不合題意，舍去）;

④當(dāng)t=1時(shí)，此時(shí)p=4，q=3，不合題意，舍去;

⑤當(dāng)函數(shù)y在該范圍內(nèi)的拋物線全部在對(duì)稱軸的右側(cè)，則當(dāng)x=t時(shí)原函數(shù)有最大值p=-t2+2t+3，最小值q=-（t+1）2 +2（t+1）+3，

令p-q=-t2 +2t+3-[-（t+1）2

+2（t+1）+3]=3，

解得t=2 ;

故t=-1或t=2.

點(diǎn)評(píng) 二次函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)，常見于壓軸大題，綜合性較強(qiáng)，學(xué)生在實(shí)際解題過程中要合理利用分類討論思想簡(jiǎn)化直至解決問題.

2.2 “分類討論”思想在幾何中的應(yīng)用

例2 如圖3，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P，從點(diǎn)A出發(fā)，沿著三角形的邊AC→CB→BA運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A停止，速度為3cm/s，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts.問當(dāng)t為何值時(shí)，△ABP的面積等于△ABC面積的一半？

分析 分析題意可以知道該題存在兩種情況，因此需要分類討論：①當(dāng)點(diǎn)P在AC上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，再利用三角形的面積之間的關(guān)系，求出點(diǎn)P移動(dòng)的距離，從而求出時(shí)間即可;

解析 因?yàn)锽C=6cm，AC=8cm，

所以S△ABC=12×BC×AC

=12×6×8=24（cm2），

當(dāng)點(diǎn)P在AC上時(shí)，S△ABP=12AP·BC=12×3t×6=12×24，

所以t=43;

當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，S△ABP=12PB·AC

=12×（14-3t）×8=12×24，

所以t=113.

綜上所述，t為43或113時(shí)，△ABP的面積等于△ABC面積的一半.

點(diǎn)評(píng) “分類討論”思想在幾何問題中的應(yīng)用十分廣泛，其中，動(dòng)點(diǎn)問題則是應(yīng)用“分類討論”思想的重要領(lǐng)域.學(xué)生在解決此類問題時(shí)，要重點(diǎn)把握可能出現(xiàn)的多種情況并做好一一分類，切忌出現(xiàn)漏解、掉解現(xiàn)象.

3 總結(jié)

總的來說，不管是在解決函數(shù)問題還是幾何問題時(shí)，教師一定要善于引導(dǎo)學(xué)生把握“分類討論”的數(shù)學(xué)思想，充分結(jié)合題設(shè)條件，靈活遷移各類知識(shí)，通過逐一破解局部問題的思路達(dá)到解決整體問題的目的.這就是應(yīng)用“分類討論”思想解決數(shù)學(xué)問題的核心.