巧添平行線求線段比

趙平

【摘要】 比例是由已知量求未知量的有效手段.而平行線又是得到比例線段的直接途徑，在一道具體的題目中，怎么去構造平行線，怎么去思考？這是學習數(shù)學、提高數(shù)學素、提升數(shù)學能力的關鍵.

【關鍵詞】 希望杯;同高三角形面積比等于底邊的比;平行線

2014年“希望杯”全國數(shù)學邀請賽初二第一試第23題：

如圖1，E是平行四邊形ABCD的對角線DB的延長線上的一點，且DB=2BE，F(xiàn)是DC的中點，EF交BC于點G.若平行四邊形ABCD的面積為20，則△AEB的面積是，△BEG的面積是.

簡析 由平行四邊形ABCD的面積為20，BD是角平分線，于是得△ADB的面積是10，又E是DB的延長線上的一點，且DB=2BE，根據(jù)同高三角形的面積比等于底邊長的比，所以△AEB的面積是5，分別過點A，C向DE作垂線，垂足分別為M，N，連接EC，根據(jù)平行四邊形的性質易證

△ADM≌△CBN，

所以AM=CN，

所以△CEB的面積=△AEB的面積=5.

此時要求△BEG的面積只需得到線段BG與BC的比，再根據(jù)同高三角形的面積比等于底邊長的比即可求得△BEG的面積.下面我們就如何來求線段BG與BC的比，來探究一下三角形中如何構造平行線合理利用中點條件.

總說 欲求線段BG與BC的比，有效的手段就是通過平行線，所以問題的關鍵就是如何構造平行線的問題，而構造平行線有兩個條件，一是過哪一點，二是作哪條線的平行線，下面就這兩個條件我們來詳細分析.觀察圖1，在△BDC中，已知DB的延長線與FG的延長線的交點E，于是可知可利用的點有E，B，D，F(xiàn)，C，G六個點，這些點一共構成了四條線分別為DB，DC，CB，EF，而這六個點中的每一個點都在兩條線上（如點F在DC上又在EF上），所以過一點可以作另兩條線的平行線.

比如過點F作平行線，因為點F在線段EF上和線段DC上，所以過點F只可以作DE和BC的平行線.

方法1 如圖2，過點F作FH∥DE交BC于點H，從而可知FH是△BDC的中位線，

所以2FH=BD，

又已知DB=2BE，

從而得BE=FH，

再由FH∥DE，得BG=GH，

又CH=BH，

所以BG∶BC=1∶4，

所以△BEG的面積=14△BEC的面積=14×5=54.

方法2 如圖3，過點F作FH∥BC交DE于點H，從而可知FH是△BDC的中位線，

所以2FH=BC，

且DH=HB，

又已知DB=2BE，

從而得EB=BH，

再由FH∥DE得2BG=FH，

又2FH=BC，

所以BG∶BC=1∶4，

所以△BEG的面積=14△BEC的面積=14×5=54.

再如過點D作平行線，因為點D在線段DE上和線段DC上，所以過點D只可以作BC和EF的平行線.

方法3 如圖4，過點D作DH∥BC交EF的延長線于點H，由F是DC的中點，可得DF=CF，

所以DH=GC.

根據(jù)已知條件

DB=2BE，

所以3BG=DH，

即3BG=GC，

所以BG∶BC=1∶4，

所以△BEG的面積=14△BEC的面積=14×5=54.

方法4 如圖5，過點D作DH∥EF交CB的延長線于點H，由F是DC的中點，可得

DF=CF，圖5

所以GH=GC.

根據(jù)已知條件

DB=2BE，

所以2BG=BH，

即3BG=GH=GC，

所以BG∶BC=1∶4，

所以△BEG的面積=14△BEC的面積=14×5=54.

過其他各點是否也能解決問題呢？讀者朋友們可以自己嘗試！