等邊三角形的一個(gè)幾何模型及其應(yīng)用

張寧

1 幾何模型

如圖1，點(diǎn)A是直線l外一定點(diǎn)，點(diǎn)B是直線l上一動(dòng)點(diǎn)，以線段AB為邊作等邊三角形ABC，試確定點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡.

分析 當(dāng)?shù)冗吶切蜛BC的第三個(gè)頂點(diǎn)C在直線AB的右側(cè)時(shí)，如圖1，過點(diǎn)A作AB′⊥l，垂足為B′.以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將線段AB′繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AC′.連接B′C′，易知

△AB′B≌△AC′C，

所以∠AC′C=∠AB′B=90°，

即CC′⊥AC′.

因?yàn)辄c(diǎn)A是定點(diǎn)，直線l是定直線，所以點(diǎn)B′是定點(diǎn)，點(diǎn)C′是由點(diǎn)B′繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到的，所以點(diǎn)C′也是定點(diǎn)，直線AC′是定直線，根據(jù)“平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直”，易知點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的軌跡是直線C′C.

當(dāng)?shù)冗吶切蜛BC的第三個(gè)頂點(diǎn)C在直線AB的左側(cè)時(shí)，如圖2，過點(diǎn)A作AB′⊥l，垂足為B′.以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，圖2將線段AB′繞點(diǎn)A沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AC′.連接B′C′，易知△AB′B≌△AC′C，所以

∠AC′C=∠AB′B=90°，

即CC′⊥AC′.

易知點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的軌跡是直線C′C.圖3

2 應(yīng)用舉例

例1

如圖3，在矩形ABCD中，AB=5，BC=53，點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)（含B，C兩點(diǎn)），連接AP，以點(diǎn)A為中心，將線段AP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AQ，連接DQ，則線段DQ的最小值為（? ）

（A）52. （B）52.

（C）533. （D） 3.

分析 求解本題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡.以點(diǎn)A為中心，將線段AP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AQ，連接PQ，則△APQ是等邊三角形.以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將線段AB沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE.連接EQ，則點(diǎn)Q在射線EQ上運(yùn)動(dòng).因?yàn)辄c(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條線段.

如圖4，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)Q在直線CD上.由勾股定理，得

AC=AB2+BC2

=52+（53）2

=10.

因?yàn)锳E=AB=5，

所以AE=CD=5，

從而易知點(diǎn)Q在線段AC的垂直平分線上，即點(diǎn)Q是線段AC的垂直平分線與直線CD的交點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段EQ.

解 如圖3，以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將線段AB沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE.連接BE，EQ，PQ.易知△ABP≌△AEQ，所以∠AEQ=∠ABP=90°，

即EQ⊥AE，易知點(diǎn)Q在射線EQ上運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)D作DQ′⊥EQ，垂足為Q′，則當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到Q′時(shí)，線段DQ′有最小值.設(shè)EQ′交AD于點(diǎn)G，易得

∠GDQ′=∠EAG=30°，

所以AG=AEcos∠EAG=5cos30°=1033，

所以DG=AD-AG=53-1033=533，

所以DQ′=DG·cos∠GDQ′=DG·cos30°

=533×32=52，

故選（A）.

注 本題是一道以矩形為基本圖形，以動(dòng)點(diǎn)問題為情境的幾何最值問題.本題涉及兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q隨之運(yùn)動(dòng).欲求線段DQ的最小值，需確定點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡，這是解決本題的關(guān)鍵.由圖4易知點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段EQ.文中介紹的等邊三角形的幾何模型在解決問題的過程中起到了方向指引的作用.當(dāng)然，本題也可采用特殊化策略，利用圖4可更簡(jiǎn)潔求解.

例2 如圖5，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PD，以PD為邊在PD的下方作等邊三角形PDQ，連接CQ，則CQ的最小值是（? ）

（A）32.??? （B） 1.

（C）2.（D）32.

解 如圖5，以點(diǎn)D為中心，將線段DC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到DE，連接CE，則△CDE是等邊三角形.連接EQ，易知

△DEQ≌△DCP，

所以∠DEQ=∠DCP=90°，

即EQ⊥DE，

所以點(diǎn)Q在射線EQ上運(yùn)動(dòng).

如圖6，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到了Q′點(diǎn)，所以點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段EQ′.

如圖4，由垂直的性質(zhì)，易知當(dāng)CQ⊥EQ時(shí)，CQ取到最小值.因?yàn)椤鰿DE是等邊三角形，所以

∠CED=60°.

又∠DEQ=90°，

所以∠CEQ=30°.

因?yàn)锽C=4，

點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，

所以CE=CD=2.

由直角三角形的性質(zhì)，易得

CQ=12CE=1.

故選（B）.

注 本題是一道以等腰直角三角形和等邊三角形為基本圖形，以動(dòng)點(diǎn)問題為情境的幾何最值問題.主要考查直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、垂直的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，具有一定的難度.求解本題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡，利用文中介紹的幾何模型容易確定，因此，只有熟練掌握常見幾何模型的性質(zhì)，解題時(shí)才能做到胸有成竹，正可謂“心中有模型，解法自然來”.