數(shù)學解題中“會而不對”現(xiàn)象的策略研究*——以圓錐曲線問題為例

●章林海

(嚴州中學 浙江建德 311600)

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數(shù)學解題中“會而不對”現(xiàn)象的策略研究*
——以圓錐曲線問題為例

●章林海

(嚴州中學 浙江建德 311600)

解析幾何問題的“會而不對”現(xiàn)象一直困擾著許多學生，也讓教師絞盡腦汁.文章就如何破解圓錐曲線問題中的“會而不對”現(xiàn)象，提出教學中要充分挖掘概念的內(nèi)涵與外延，理解數(shù)學本質(zhì)；反思解題過程，促進知識運用遷移；抓住圖形性質(zhì)，提升解題分析能力；探究解法多樣性，提高知識整合能力.

解析幾何;會而不對;概念教學;數(shù)形結(jié)合;轉(zhuǎn)化化歸

0 引言

著名數(shù)學家、教育家波利亞曾說：“掌握數(shù)學就意味著善于解題.”[1]解析幾何是一門綜合性較強的學科，解析幾何問題的“會而不對”現(xiàn)象一直困擾著許多學生，也讓教師絞盡腦汁，“會”是有了解題思路，基本擬定解題計劃，“不對”是解題思路出現(xiàn)問題，或不能合理轉(zhuǎn)化，或執(zhí)行解題計劃的過程中出現(xiàn)問題，或運算不過關(guān)不能執(zhí)行到底，或整理過程中漏洞百出，這些都是限制學生正確解答的主要原因.“會而不對”現(xiàn)象形成的主要原因有：

1)學生平時學習時只停留在“聽懂”“看懂”層面，未能真正理解，數(shù)學學習只停留在表面，沒有從實質(zhì)上進一步深入研究，更不能熟練地運用；

2)獨立解題實踐太少，重復解同種題型太多，缺乏自己的思考，不能養(yǎng)成在有限時間內(nèi)獨立解決問題的能力，習慣機械照搬；

3)面對錯誤往往歸因粗心，沒有重視對基本概念理解模糊不清引起的錯誤，不能抓住問題的本質(zhì)，不能回到概念去解題；

4)不能進行解題后的反思，很少有知識聯(lián)系，沒有重視由于缺少一個完整的知識網(wǎng)絡(luò)而造成的錯誤，不能站在系統(tǒng)的高度進行解析幾何的學習；

5)未重視解法的多樣性探究和計算細節(jié)的處理，重結(jié)論輕過程，導致不能進行有效地轉(zhuǎn)化，從而減少計算量[2].

1 破解策略

求解解析幾何問題的難點主要是轉(zhuǎn)化和運算.轉(zhuǎn)化是指“合理拆分圓錐曲線的幾何特征與代數(shù)表示”；運算是指“分析運算條件，探究運算方向，確定運算程序，檢驗運算結(jié)果”.

如何破解在解決圓錐曲線問題中的“會而不對”現(xiàn)象?筆者經(jīng)過幾輪的高考復習研究，認為只要處理好幾個關(guān)鍵環(huán)節(jié)，輕松破解，亦非難事.筆者結(jié)合教學實踐和教學思考，從以下幾個方面探討如何合理轉(zhuǎn)化，簡化運算，實實在在地提高學生求解問題的綜合能力.

1.1 挖掘概念內(nèi)涵與外延，理解數(shù)學本質(zhì)

“數(shù)學是玩概念的，不是玩技巧的，技巧不足道也”“概念是數(shù)學的細胞”，數(shù)學的建構(gòu)完全依賴于一個個明確的概念，沒有數(shù)學概念就沒有系統(tǒng)的數(shù)學思維，對數(shù)學概念的充分理解往往能從本質(zhì)上抓住解決數(shù)學問題的關(guān)鍵.因此在概念教學時，教師要不惜時、不惜力，深刻揭示概念的本質(zhì)，挖掘概念的內(nèi)涵和外延，讓學生對數(shù)學教材看懂、吃透；讓學生真正理解教材、掌握教材.

圖1

(2015年湖北省數(shù)學高考理科試題第14題)

(2015年浙江省數(shù)學高考文科試題第15題)

教師若能把握教材編寫意圖，整體把握教材，對教材按照“教師教”和“學生學”的視角進行重構(gòu)，將教材適度拓展和改造，幫助學生把蘊藏在教材中隱含的知識點挖掘出來，深刻理解概念，則能使學生真正看懂、吃透數(shù)學教材，讓學生真正理解教材、掌握教材.只有從概念出發(fā)解決問題，回本溯源，培養(yǎng)學生“回到概念去”的思維習慣，才能真正理解數(shù)學本質(zhì)，提高解析幾何綜合能力，破解解析幾何中的“會而不對”現(xiàn)象.

1.2 反思解題過程，促進知識運用遷移

建構(gòu)主義理論認為，學生的錯誤和思維的優(yōu)化是一個“自我否定”的過程，即以自我反思為前提.波利亞認為，數(shù)學問題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題后的回顧.“反思”是引導學生解題后再思考，對解題過程中思維的受阻點以及出現(xiàn)錯誤的原因進行分析.筆者認為解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，解題后的反思可以為學生提供自主發(fā)展的時間和空間，通過比較分析積累解題經(jīng)驗，促進思維發(fā)展和知識的有效遷移，提升學生的學習能力.

如例1的解決并不意味著解題活動的結(jié)束，它可以是解題規(guī)律探究或思維滲透的新的開始.在圓中有如此性質(zhì)，在橢圓、雙曲線、拋物線中是否有類似結(jié)論呢？

圖2

(2015年四川省數(shù)學高考理科試題第20題改編)

該試題實際上得出了與例1類似的結(jié)論，師生一起參與反思探究得出：

結(jié)論3 設(shè)拋物線y2=2px(其中p>0)，過拋物線內(nèi)部一點P(m，0)的動直線交拋物線于點A，B，則存在定點Q(-m，0)，使得∠AQP=∠BQP.

類似的例子在解析幾何的教學中還有很多，通過探究反思，不僅能使學生形成良好的認知結(jié)構(gòu)，還能使學生建立知識網(wǎng)絡(luò)，掌握橢圓、雙曲線、拋物線的內(nèi)在聯(lián)系與規(guī)律，更能使學生真正抓住數(shù)學思維的內(nèi)在本質(zhì)，從而提升對數(shù)學思想方法的理解，并內(nèi)化到數(shù)學學習中，引領(lǐng)學生走出題海.教師在平時的教學中應(yīng)引導學生善于反思再探究，善于追根究底，明白命題者的思路，探尋知識與方法之間的聯(lián)系和規(guī)律，尋找條件和結(jié)論之間的差異和本質(zhì)聯(lián)系，提升對問題的本質(zhì)認識，讓學生在不斷的聯(lián)系和整合中，豐富認知結(jié)構(gòu)中的內(nèi)容，站在系統(tǒng)的高度理解數(shù)學，構(gòu)建更廣更有效的解題經(jīng)驗， 破解解析幾何中的“會而不對”現(xiàn)象.

1.3 抓住圖形性質(zhì)，提升解題分析能力

解析幾何的本質(zhì)就是將“數(shù)”與“形”有機地聯(lián)系起來，曲線的幾何特征必然在方程、函數(shù)或不等式中有所反映，而函數(shù)、方程或不等式的數(shù)字特征也一定體現(xiàn)出曲線的特性.教師在解析幾何的教學中應(yīng)該及時滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，將幾何法融入到解析法中，挖掘圖形的幾何性質(zhì)和數(shù)字特征，弄清楚數(shù)字背后隱含的特征，以便有效減少計算量，提升綜合求解能力.

(2015年重慶市數(shù)學高考理科試題改編)

分析 設(shè)點D的坐標為(x0，0)，由

解得

由題可知

從而

即

得

評注 該解法抓住雙曲線圖形的幾何性質(zhì)，由對稱性知點D在x軸上，使得解題流暢自然，避免了復雜的計算和論證.

圖3

例5 如圖3，已知⊙C：x2+(y-1)2=5,點A為⊙C與x軸負半軸的交點，過點A作⊙C的弦AB，記線段AB的中點為M.若OA=OM，則直線AB的斜率為______.

∠OAM=∠OMA=∠OCA，

轉(zhuǎn)化為求tan∠OCA，則可大大減少計算量.本題得益于徹底理解概念、曲線的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對題目的條件和所求，既分析其代數(shù)意義，又分析其幾何意義，挖掘圖形的幾何性質(zhì)，把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)問題去討論，減少了計算量.

以上案例不勝枚舉，運用數(shù)形結(jié)合思想進行分析，理清解析幾何問題的數(shù)形關(guān)系，關(guān)注圖形背后隱含的性質(zhì)或結(jié)論，同時悟透解題策略，對某一問題迅速、靈活、正確、完整地處理并加以創(chuàng)造性地運用，也觸及了每一問題的本質(zhì)，使得理解更為深刻，不僅提升了學生分析問題的能力，也能真正內(nèi)化成為數(shù)學的思想智慧.

1.4 探究解法多樣性，提高知識整合能力

波利亞曾說：“一個專心的認真?zhèn)湔n的教師，能夠拿出一個有意義但又不復雜的問題，去幫助學生挖掘問題的各個方面.”“拓展延伸”培養(yǎng)學生“從特殊到一般，從具體到抽象”的思維過程，可以使所學知識得以深化，把學生引入一個完整的理論領(lǐng)域，讓我們了解事物的實質(zhì)和發(fā)展趨勢.

從而求出最大值；繼續(xù)思考λ的作用是使點M在線段AB上，使點C在第一象限內(nèi)，該表達式分子分母對偶的根源是點C,D的對稱性.若設(shè)A(acosα,bsinα)，D(-acosα,-bsinα)，則

評注 該解法抓住本質(zhì)，使點C，D的坐標不再受制于λ，使問題簡化.教師啟發(fā)學生再思考，若直接設(shè)C(x0，y0)，則D(-x0,-y0)，從而

圖4

例7 如圖4，⊙C與y軸相切于點T(0，2)，與x軸正半軸交于點M，N(點M在點N的左側(cè))，且|MN|=3.過點M任作一條直線與⊙O：x2+y2=4相交于點A，B，聯(lián)結(jié)AN，BN.求證：∠ANM=∠BNM.

分析 方法1 將證明∠ANM=∠BNM轉(zhuǎn)化為證明2條直線傾斜角互補，然后借助韋達定理通過證明斜率互為相反數(shù)得證.

方法3 既然AB是過點M的任意直線，考慮特殊情況:AB與x軸垂直，此時根據(jù)圓的對稱性可得到結(jié)論.這對于證明AB與x軸不垂直時有何啟發(fā)？學生基本上有了證明思路：要證∠ANM=∠BNM，結(jié)合圓的性質(zhì)，只要證明點A關(guān)于x軸的對稱點在BN上.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則點A關(guān)于x軸的對稱點為D(x1，-y1)，要證點B,D,N共線，只要驗證

即

正如羅增儒所說：“有效的解題需要兩個方面：一是給出較好的方法，用較好的方式處理轉(zhuǎn)化；二是學生的思維比較開闊，解題的方式較多，對問題的理解很深刻.”[4]對于例7，教師可引導學生進行多樣性探究，培養(yǎng)轉(zhuǎn)化的細節(jié)處理，同一個問題從不同角度思考會有不同的方法，這樣有利于培養(yǎng)思維的發(fā)散性，有利于從不同的角度深刻理解知識的多方聯(lián)系，有利于提高知識的整合能力，達到解決問題的高度.

2 反思與總結(jié)

在解析幾何的解題教學中，我們要堅持以學生為主體，多角度示范解題分析，充分暴露解題思維和探究過程，及時揭示問題的本質(zhì)，深挖背景知識，強化數(shù)形結(jié)合的運用，重視用數(shù)學思想和方法來指導解題，避免盲目地生搬硬套；要注重解后反思，及時歸納總結(jié)知識方法，并不斷將新學習的知識和方法納入已有的知識網(wǎng)絡(luò)，加強學生對數(shù)學的理解，提高學生的數(shù)學能力，真正解決學生解題時的“會而不對”現(xiàn)象.

[1] 波利亞.怎樣解題[M].閻育蘇,譯.北京：科學出版社，1982.

[2] 韋石侖. 如何走出高中數(shù)學解題中“會而不對”的困惑[J].數(shù)學學習與研究,2010(13):128.

[3] 佟成軍.一道試題講評的“幕后臺前”[J]. 中學數(shù)學教學參考:上旬，2013(6)：17.

[4] 羅增儒.數(shù)學解題學引論[M].西安：陜西師范大學出版社，2001.

?2016-09-07；

2016-10-12

章林海(1972-)，男，浙江建德人，中學高級教師.研究方向：數(shù)學教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)12-14-05