鋼框架結(jié)構(gòu)離散優(yōu)化問題的理論下界

王興鋒 張氫 秦仙蓉 孫遠(yuǎn)韜

摘要：針對兩種典型的鋼框架結(jié)構(gòu)離散優(yōu)化問題，即柔度約束的最小體積問題和體積約束的最小柔度問題，提出了基于凸組合的線性松弛方法，將關(guān)聯(lián)離散變量進(jìn)行線性松弛，進(jìn)而將非線性、非凸的離散優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為松弛的凸規(guī)劃問題.其中，體積約束的最小柔度問題可松弛為二階錐規(guī)劃問題，柔度約束的最小體積問題可松弛為半定規(guī)劃問題.采用成熟的優(yōu)化求解器，就可以得到兩類凸規(guī)劃問題的全局最優(yōu)解，也就是原離散優(yōu)化問題的理論下界.以一跨四層鋼框架的離散優(yōu)化問題為例，用所提出方法進(jìn)行求解，并用枚舉法和遺傳算法對優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證.數(shù)值結(jié)果證明，所提出方法可以快速得到離散優(yōu)化問題的理論下界.

關(guān)鍵詞：鋼框架結(jié)構(gòu);離散優(yōu)化;線性松弛;凸規(guī)劃;理論下界

中圖分類號：TU391? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Theoretical Lower Bound on DiscreteOptimization Problem of Steel Frame

WANG Xingfeng，ZHANG Qing?，QIN Xianrong，SUN Yuantao

（College of Mechanical Engineering，Tongji University，Shanghai 201804，China）

Abstract：Aiming at two typical discrete optimization problems of steel frame，namely， the volume minimization with compliance constraint and the compliance minimization with volume constraint，a linear relaxation approach based on convex combination is proposed. Meanwhile， the linked discreteness of design variables is also relaxed lin ? early， and the original nonlinear and nonconvex problems are recast as relaxed convex programming problems. Spe? cifically， the compliance minimization with volume constraint is reestablished as a second-order cone programming， and the volume minimization with compliance constraint is reformulated as a semidefinite programming. The global optimum solutions of two types of convex programming problems can be readily derived using existing mature optimi ? zation solvers. These global optimum solutions are also the theoretical lower bound for the discrete optimization prob ? lems. An example of a one-bay four-story frame is presented， and the results by the proposed approach are compared with the solutions by complete enumeration and genetic algorithm. The comparison demonstrates that the proposed approach is capable of achieving the theoretical lower bound in an efficient manner.

Key words：steel frames;discrete optimization;linear relaxation;convex programming;theoretical lower bound

在鋼框架結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)中，結(jié)構(gòu)的桿件一般從標(biāo)準(zhǔn)型鋼庫中選取，通過組合得到滿足性能要求的最佳設(shè)計(jì)方案，因此，鋼框架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)是一個(gè)典型的離散優(yōu)化問題.

當(dāng)前對鋼框架結(jié)構(gòu)離散優(yōu)化問題的研究，幾乎都側(cè)重于提出新的優(yōu)化方法，以期獲得滿足工程精度要求的近似最優(yōu)解.這些優(yōu)化方法覆蓋了元啟發(fā)式算法[1-5]、優(yōu)化準(zhǔn)則法[6-7]、基于梯度的數(shù)學(xué)規(guī)劃方法[8-9]，但幾乎沒有研究能夠針對特定類型的鋼框架結(jié)構(gòu)離散優(yōu)化問題，明確指出優(yōu)化方法的求解結(jié)果與全局最優(yōu)解的距離.為確定優(yōu)化算法的求解精度，一般做法是通過與多種優(yōu)化方法的結(jié)果進(jìn)行對比.這種論證方法只能粗略地說明優(yōu)化算法的求解精度，而且需要廣泛地、有代表性地選取作為對比的優(yōu)化算法.為證明某種優(yōu)化算法的求解精度，一種更直接的方法是，獲取優(yōu)化問題的全局最優(yōu)解，或者優(yōu)化問題的理論下限（假設(shè)優(yōu)化問題為最小化問題）.盡管在工程實(shí)際問題中，由于約束的復(fù)雜性，幾乎不可能得到優(yōu)化問題的全局最優(yōu)解，但針對特定類型的鋼框架結(jié)構(gòu)離散優(yōu)化問題，還是有可能獲得全局最優(yōu)解或理論下界.

在這方面，已經(jīng)有少數(shù)學(xué)者展開了研究.針對含應(yīng)力和位移約束、以體積最小為目標(biāo)的鋼框架結(jié)構(gòu)離散優(yōu)化問題，Van等[10]提出了一種優(yōu)化方法，通過將原優(yōu)化問題建模為混合整數(shù)優(yōu)化問題，從而得到離散優(yōu)化問題的全局最優(yōu)解.針對含體積約束、以柔度最小為目標(biāo)的鋼框架結(jié)構(gòu)離散拓?fù)?尺寸優(yōu)化問題，Kanno[11]提出了一種混合整數(shù)二階錐規(guī)劃的建模方法，將原優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)凸規(guī)劃問題，從而也得到了原問題的全局最優(yōu). kureta等[12]針對負(fù)泊松比的周期性框架結(jié)構(gòu)的離散優(yōu)化問題，提出了一種混合整數(shù)的線性規(guī)劃方法.Hirota等[13]將混合整數(shù)的線性規(guī)劃建模方法，進(jìn)一步推廣到具有負(fù)熱膨脹能力的周期性框架結(jié)構(gòu)的離散拓?fù)鋬?yōu)化中.

在鋼框架結(jié)構(gòu)中，桿件的截面參數(shù)包括截面寬度、高度、板厚，以及截面面積、強(qiáng)弱軸慣性矩等.對于標(biāo)準(zhǔn)型鋼截面，這些截面參數(shù)是相互關(guān)聯(lián)的，選定某一個(gè)截面參數(shù)則意味著同一截面的其他參數(shù)也被選中，故稱為關(guān)聯(lián)離散變量[14-15].在以上研究中[10-13]，關(guān)聯(lián)離散變量是通過0-1變量進(jìn)行定義，以此來表征是否選擇了某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)截面，對應(yīng)的優(yōu)化問題都是含0-1變量的凸規(guī)劃問題.對于此類優(yōu)化問題，一般采用隱枚舉法（如分支定界法）進(jìn)行求解，計(jì)算效率非常低，若結(jié)構(gòu)中的桿件數(shù)量或可選的標(biāo)準(zhǔn)截面增多，計(jì)算效率會大幅下降.

有鑒于此，本文提出了一種新的離散變量處理方法，即基于凸組合的線性松弛方法.該方法將關(guān)聯(lián)離散變量進(jìn)行線性松弛，從而將結(jié)構(gòu)的剛度矩陣轉(zhuǎn)化為設(shè)計(jì)變量的線性函數(shù)，根據(jù)這一優(yōu)勢，可以將鋼框架結(jié)構(gòu)離散優(yōu)化中的多種非線性優(yōu)化問題進(jìn)一步建模為凸規(guī)劃問題.本文重點(diǎn)分析了兩類非線性優(yōu)化問題：柔度約束的最小體積問題和體積約束的最小柔度問題.根據(jù)剛度矩陣與設(shè)計(jì)變量的線性關(guān)系，將柔度約束的最小體積問題轉(zhuǎn)化為半定規(guī)劃問題，將體積約束的最小柔度問題轉(zhuǎn)化為二階錐規(guī)劃問題.采用現(xiàn)成的優(yōu)化求解器，直接求解這兩類凸規(guī)劃問題，快速得到松弛問題的全局最優(yōu)解，也就是離散優(yōu)化問題的理論下界.

1離散變量的定義方法

在鋼框架結(jié)構(gòu)的離散優(yōu)化設(shè)計(jì)中，桿件截面從標(biāo)準(zhǔn)型鋼庫中選?。?/p>

式中：S 為標(biāo)準(zhǔn)截面構(gòu)成的集合;ii =1，…，p為標(biāo)準(zhǔn)型鋼的截面參數(shù);p 為標(biāo)準(zhǔn)型鋼的個(gè)數(shù).

對于關(guān)聯(lián)離散變量，一種常見的處理方法為采用0-1變量：

式中：ti為0-1變量，用于表征某一標(biāo)準(zhǔn)截面是否被選中.這種定義方法的本質(zhì)，是在p 維的0-1離散空間與標(biāo)準(zhǔn)截面集 S 之間定義了一種映射關(guān)系.

若優(yōu)化數(shù)學(xué)模型中包含0-1變量，則求解特別耗時(shí)，為此，本文提出了一種新的離散變量定義方法，即基于凸組合的線性松弛方法.

對于平面鋼框架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化問題，若只考慮結(jié)構(gòu)的軸向變形和彎曲變形，則結(jié)構(gòu)的剛度矩陣僅僅與桿件的截面面積和慣性矩有關(guān).因此，在作者前期的研究[16]中，提出了以截面面積和慣性矩為設(shè)計(jì)變量的定義方法：

式中：A、I 分別為桿件的截面面積和慣性矩.考慮到標(biāo)準(zhǔn)型鋼的 A 和 I 是關(guān)聯(lián)離散變量，優(yōu)化過程中需要同時(shí)選取某一標(biāo)準(zhǔn)截面的 A 和 I，故在每一次優(yōu)化迭代后將設(shè)計(jì)變量圓整到標(biāo)準(zhǔn)截面.根據(jù)式（5），標(biāo)準(zhǔn)型鋼可視為二維空間中的一個(gè)離散點(diǎn)（見圖1）.

對于空間中的任意多個(gè)點(diǎn)，總是存在一個(gè)包含所有點(diǎn)的最小凸多邊形（即凸包），使得凸多邊形內(nèi)的任意一點(diǎn)，都可以用凸多邊形頂點(diǎn)的凸組合進(jìn)行描述.因此，提出一種基于凸組合的線性松弛方法，將式（5）表示的變量定義方法推廣到連續(xù)空間：

式中： i、Iˉi分別對應(yīng)于凸多邊形頂點(diǎn)的截面面積和慣性矩;ci 為凸組合的系數(shù);q 為凸多邊形頂點(diǎn)的個(gè)數(shù).由此，離散優(yōu)化問題的設(shè)計(jì)空間從一個(gè)離散點(diǎn)集變?yōu)闉橐粋€(gè)凸多邊形，凸多邊形內(nèi)的任意一點(diǎn)都可以用于結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì).

在式（6）～（9）中，將基于凸多邊形的線性松弛方法應(yīng)用于二維空間，若將這一方法應(yīng)用于一維空間時(shí)，就退化為一種常見的松弛方法.以桁架結(jié)構(gòu)的離散優(yōu)化問題為例，假設(shè)桿件的可選截面集為：

式中： i i =1，…，r按從小到大排列.對于這一離散點(diǎn)集，最常用的松弛方法就是將桿件的截面面積 At 限制在最小面積值和最大面積值之間：

從幾何角度看，桿件的截面面積限定在一維凸多邊形1， r 內(nèi)，其中1、 r 為一維凸多邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)：

式中：c 1、c2為凸組合系數(shù).顯然，式（12）～（14）就是式（6）～（9）的一維形式.

根據(jù)式（6）～（9），離散優(yōu)化問題的設(shè)計(jì)變量變成連續(xù)松弛變量（即凸組合系數(shù)），而標(biāo)準(zhǔn)截面的截面面積和慣性矩成為設(shè)計(jì)變量的線性函數(shù).由此，鋼框架結(jié)構(gòu)的剛度矩陣成為凸組合系數(shù)的線性函數(shù).根據(jù)這一特性，可以將兩類典型的鋼框架結(jié)構(gòu)離散優(yōu)化問題，即柔度約束的最小體積問題、體積約束的最小柔度問題，分別轉(zhuǎn)化為松弛的凸規(guī)劃問題.

2凸規(guī)劃建模

2.1柔度約束的最小體積問題

在鋼框架結(jié)構(gòu)的離散優(yōu)化中，柔度約束的最小體積問題可表達(dá)如下：

式中：Li、Ai 分別為第i個(gè)桿件的長度和截面面積;n 為桿件的總數(shù);K 為結(jié)構(gòu)的剛度矩陣;U 為節(jié)點(diǎn)位移列陣;F 為載荷列陣;為柔度上限.

根據(jù)桁架結(jié)構(gòu)的研究[17-18]，桁架結(jié)構(gòu)的柔度約束和力平衡約束可等效于矩陣的半正定約束：

式中：Kt 為桁架結(jié)構(gòu)的剛度矩陣.

式（18）成立的一個(gè)重要前提條件，就是 Kt 為桿件截面面積的線性函數(shù).根據(jù)本文提出的線性松弛方法，鋼框架結(jié)構(gòu)的剛度矩陣也成為設(shè)計(jì)變量的線性函數(shù)，故同樣可以將鋼框架結(jié)構(gòu)的柔度約束最小體積問題轉(zhuǎn)化為半定規(guī)劃問題：

式中：K C為鋼框架結(jié)構(gòu)的剛度矩陣;C 為凸組合系數(shù)矩陣.

針對半定規(guī)劃問題，當(dāng)前已經(jīng)有多個(gè)成熟的優(yōu)化求解器，如 MOSEK[19]、SeDuMi[20].應(yīng)用這些求解器，可以快速得到半定規(guī)劃問題的全局最優(yōu)解，也就是離散優(yōu)化問題的理論下界.

2.2體積約束的最小柔度問題

在鋼框架結(jié)構(gòu)的離散優(yōu)化中，體積約束的最小柔度問題可表達(dá)如下：

式中：為體積上限.

根據(jù)Kanno[11]，體積約束的最小柔度問題可轉(zhuǎn)化為混合整數(shù)的二階錐規(guī)劃問題：

式中：will =1，2，3是桿件i的應(yīng)變余能;sill =1，2，3是桿件i的內(nèi)力;bill =1，2，3為桿件i的方向列陣，具體計(jì)算方法可參照文獻(xiàn)[11]的附錄 A.

其中，Ai、Ii屬于關(guān)聯(lián)離散變量，Kanno[11]采用0-1變量的定義方法進(jìn)行處理.為提高問題的求解效率，快速得到離散優(yōu)化問題的理論下界，本文采用基于凸組合的線性松弛方法來重新定義離散變量：

式（33）～（36）僅包含線性約束，不改變優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)特性，故所得到的優(yōu)化問題仍然屬于二階錐規(guī)劃問題.二階錐規(guī)劃問題可以用成熟的優(yōu)化求解器（如 MOSEK、CPLEX[21]、Gurobi[22]或SeDuMi）進(jìn)行快速求解，進(jìn)而得到原離散優(yōu)化問題的理論下界.

3數(shù)值算例

通過求解一跨四層鋼框架結(jié)構(gòu)的離散優(yōu)化問題，對所提出的方法進(jìn)行驗(yàn)證.鋼框架結(jié)構(gòu)的尺寸、桿件分組和加載情況如圖2所示.桿件的彈性模量為2.1×105 MPa，體積上限為0.18 m3，柔度上限為25.結(jié)構(gòu)中的桿件從標(biāo)準(zhǔn)規(guī)格中的 H 型鋼[23]中選?。ㄒ姳?），H型鋼在二維空間中的分布如圖1所示.

采用枚舉法計(jì)算離散優(yōu)化問題的全局最優(yōu)解，并驗(yàn)證所提出方法求解優(yōu)化問題的理論下界的能力.為判斷所提出方法的計(jì)算效率，再用遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）求解當(dāng)前優(yōu)化問題. GA是一種經(jīng)典的智能優(yōu)化算法，可依概率收斂到優(yōu)化問題的全局最優(yōu)解，因此采用 GA 與所提出方法進(jìn)行對比.采用 MATLAB 平臺自帶的 ga 求解器作為 GA 的實(shí)現(xiàn)，其中：種群大小為30，最大迭代次數(shù)為500，其余參數(shù)都采用默認(rèn)值.將 GA 獨(dú)立運(yùn)行30次，得到最佳的優(yōu)化結(jié)果.

為了對關(guān)聯(lián)離散變量進(jìn)行線性松弛，需要定義包含離散點(diǎn)集的凸包.對于平面內(nèi)的離散點(diǎn)集，可采用經(jīng)典的 Graham 掃描算法[24]獲得對應(yīng)的凸包.

所有的優(yōu)化計(jì)算都在 MATLAB 平臺中編碼，并在一臺工作站中執(zhí)行.該工作站含雙核2.2.GHz Xeon 處理器，運(yùn)行內(nèi)存為32 GB.

3.1 柔度約束的最小體積問題

采用 MOSEK 求解松弛的半定規(guī)劃問題，得到松弛最優(yōu)解.采用枚舉法求解該離散優(yōu)化問題，得到離散的全局最優(yōu)解，并采用 GA 得到近似最優(yōu)解.松弛最優(yōu)解對應(yīng)的結(jié)構(gòu)體積為0.1378 m3，結(jié)構(gòu)柔度為25.00;離散全局最優(yōu)解對應(yīng)的結(jié)構(gòu)體積為0.1414 m3，結(jié)構(gòu)柔度為24.96;GA 得到的近似最優(yōu)解對應(yīng)的結(jié)構(gòu)體積為0.1420 m3，結(jié)構(gòu)柔度為24.75.顯然，松弛最優(yōu)解比離散全局最優(yōu)解略小，松弛最優(yōu)解成為了離散優(yōu)化問題的理論下界.同時(shí)，根據(jù)松弛最優(yōu)解進(jìn)行鄰域搜索，可以快速得到高質(zhì)量的離散可行解，甚至是離散的全局最優(yōu)解.

基于半定規(guī)劃的方法僅需要采用調(diào)用一次優(yōu)化求解器、耗時(shí)0.51 s，就可以得到優(yōu)化問題的理論下界，而枚舉法需要求解524（≈5.96×1016）個(gè)子問題、耗時(shí)1724.21 s，才能得到離散的全局最優(yōu)解.為了得到近似最優(yōu)解，GA 需要獨(dú)立運(yùn)行多次，而每一次運(yùn)行的計(jì)算時(shí)間都超過1 s（介于1.10 s 到2.00 s 之間），所以，GA 的計(jì)算效率也遠(yuǎn)不如所提出的半定規(guī)劃方法.顯然，當(dāng)需要判斷某種算法的優(yōu)化結(jié)果是否為全局最優(yōu)時(shí)，半規(guī)劃方法可以是一種高效的驗(yàn)證方法，尤其是對于規(guī)模稍大一些的同類優(yōu)化問題.

松弛最優(yōu)解和離散最優(yōu)解在空間中的分布情況如圖3所示，離散最優(yōu)解如表2所示.

3.2體積約束的最小柔度問題

采用 MOSEK 求解松弛的二階錐規(guī)劃問題，同時(shí)采用枚舉法求解離散優(yōu)化問題的全局最優(yōu)解，并采用 GA 得到近似最優(yōu)解.優(yōu)化結(jié)果如下：松弛最優(yōu)解的最小柔度為17.74，結(jié)構(gòu)體積為0.1800 m3;離散全局最優(yōu)解的最小柔度為18.09，結(jié)構(gòu)體積為0.1790 m3;GA 得到的近似最優(yōu)解對應(yīng)的結(jié)構(gòu)柔度為18.00，結(jié)構(gòu)體積為0.1801 m3，略大于體積上限.因此，對于體積約束的最小柔度離散優(yōu)化問題，采用二階錐規(guī)劃的方法也可以得到離散問題的理論下界.可以根據(jù)松弛最優(yōu)解進(jìn)行鄰域搜索，得到離散優(yōu)化問題的可行解.

同樣的，基于二階錐規(guī)劃方法僅調(diào)用一次優(yōu)化求解器、耗時(shí)0.67 s，就能夠得到離散優(yōu)化問題的理論下界，而采用枚舉法需要計(jì)算524（≈5.96×1016）個(gè)子問題、耗時(shí)1605.13 s，才能得到離散的全局最優(yōu)解.為了得到近似最優(yōu)解，GA 需要運(yùn)行多次，而每一次運(yùn)行的計(jì)算時(shí)間都超過0.70 s（介于0.70 s 到1.50 s 之間），所以，二階錐規(guī)劃方法的計(jì)算效率遠(yuǎn)高于枚舉法和 GA.

松弛最優(yōu)解和離散全局最優(yōu)解在空間中的分布情況如圖4所示，離散最優(yōu)解如表3所示.

4結(jié)論

針對兩類典型的鋼框架結(jié)構(gòu)離散優(yōu)化問題，即柔度約束的最小體積問題、體積約束的最小柔度問題，進(jìn)行了研究并得到如下結(jié)論：

1）基于凸組合的線性松弛方法，可以實(shí)現(xiàn)離散設(shè)計(jì)變量的線性松弛，使結(jié)構(gòu)的剛度矩陣成為設(shè)計(jì)變量的線性函數(shù)，從而可將柔度約束的最小體積問題轉(zhuǎn)化為松弛的半定規(guī)劃問題，將體積約束的最小柔度問題轉(zhuǎn)化為松弛的二階錐規(guī)劃問題.對這兩類松弛的凸規(guī)劃問題，可以快速得到全局最優(yōu)解，即離散優(yōu)化問題的理論下界.

2）基于松弛的半定規(guī)劃方法和二階錐規(guī)劃方法，可以高效求解柔度約束的最小體積問題、體積約束的最小柔度問題，且求解效率遠(yuǎn)高于枚舉法.因此，采用松弛的半定規(guī)劃方法和二階錐規(guī)劃方法，可以快速驗(yàn)證某種優(yōu)化方法是否得到全局最優(yōu)解.

需要說明的是，基于凸組合的線性松弛方法實(shí)現(xiàn)了桿件的截面面積和慣性矩的線性化描述，但未能對其他截面屬性進(jìn)行線性化描述.因此，本文的優(yōu)化方法適用于僅考慮桿件的拉壓變形和彎曲變形的平面鋼框架結(jié)構(gòu).

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