如何解答初中數(shù)學(xué)代數(shù)最值問題

孟小娟

求代數(shù)式的最大值及最小值問題是初中數(shù)學(xué)的一個重難點(diǎn)知識，也是各類考試中的熱門問題.這類問題涉及的知識點(diǎn)多，覆蓋面廣，解題的技巧性強(qiáng)，許多同學(xué)在求解時常常感到束手無策.對此，筆者歸納了幾種最值問題的常用解法，以期對同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助.

一、利用配方法

配方法是求解代數(shù)最值問題的一種常用方法.它是指先將已知或所求目標(biāo)代數(shù)式配成完全平方式加常數(shù)項(xiàng)的形式，或幾個完全平方式之和的形式，然后利用完全平方的非負(fù)性順利地求出其最值.靈活運(yùn)用完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2可得到各種基本配方形式.

例1 我們知道代數(shù)式x2+2x+5的值會因x 的取值不同而“變化”.盡管如此，我們可以將它變形為完全平方再加上一個常數(shù)項(xiàng)，來求這個代數(shù)式的最小值，這種方法，我們稱之為配方法.例如：代數(shù)式x2+2x+5 可變形為（x+1）2+4 因?yàn)椋▁+1）2≥0 ，所以當(dāng) x=-1 時， x2+2x+5有最小值4.又如代數(shù)式/2x-2x-6=1/2（2-4x+ 4）-8=1/2（x-2）2-8，有最小值-8.

分析：（1）先把給出的式子化成完全平方的形式，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得出答案;

（2）配方后即可確定最小值;（3）利用分組分解的思想配方即可解答問題.

解：

評注：本題考查了因式分解以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵是把題目給出的式子化成完全平方的形式，利用配方法確定最值.

二、運(yùn)用函數(shù)法

函數(shù)法是指在解答代數(shù)最值問題時，根據(jù)題目結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將問題中的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)形式，再借助函數(shù)性質(zhì)及相關(guān)知識點(diǎn)求出最值.初中階段的重點(diǎn)函數(shù)是一次函數(shù)與二次函數(shù)，在利用函數(shù)的單調(diào)性求最值時，要先引入變量，列出函數(shù)關(guān)系式，并注意求出自變量的取值范圍及區(qū)間范圍對最值的影響.

例2 已知a，b，c為非負(fù)數(shù)，且滿足a+b+c=40，3a+b-c=60，則 5a-3b+9c的最大值為（）.

A.260 B.240 C.210D.180

分析：

解：

評注：對于一次函數(shù)y=kx+b（k≠0），當(dāng) k>0時，為增函數(shù)，隨x的增大而增大;當(dāng)k<0 時，為減函數(shù)，隨x的增大而減 0.當(dāng)x在某個限定范圍內(nèi)時，既有最大值，也最小值.

三、采用判別式法

判別式法是解答數(shù)學(xué)題的一種常用方法.它不僅能直接用于判定一元二次方程的根的情況，還可以根據(jù)一元二次方程根的情況確定方程中參數(shù)的取值范圍.利用判別式法求最值，需先將所求最值的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個未知數(shù)的一元二次方程，再利用方程有實(shí)根，其判別式為非負(fù)數(shù)的原理來間接求得最值.

例3 已知m，n為實(shí)數(shù)，且㎡+mn+n=1， 則㎡-mn+n的最小值為

解：

例4

評注：在求最值問題時，若能結(jié)合題目的結(jié)構(gòu)特征，通過巧設(shè)輔助元構(gòu)建一元二次方程，再利用判別式求解，則可以達(dá)到化繁為簡、化難為易的效果.

總之，解答代數(shù)最值問題的方法靈活多樣，同學(xué)們在平時的學(xué)習(xí)中既要扎實(shí)掌握基礎(chǔ)知識，又要注意勤練、多思，多方探索最值問題的解題途徑，總結(jié)出行之有效的解題方法和技巧.