設(shè)計幾何學(xué)在造型設(shè)計中的應(yīng)用研究

秦小宇

關(guān)鍵詞：設(shè)計幾何學(xué) 造型 黃金分割法 √2分割法 形態(tài)設(shè)計

中圖分類號：J 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1003-0069（2022）07-0154-04

引言

轟轟烈烈對的工業(yè)革命浪潮的到來，為設(shè)計領(lǐng)域帶來了功能主義、抽象主義、幾何形態(tài)、理想主義等特征。設(shè)計形態(tài)從中世紀(jì)的哥特式、巴洛克式等古典主義風(fēng)格轉(zhuǎn)變?yōu)榱恕胺胶凶印笔降默F(xiàn)代主義風(fēng)格，風(fēng)格由原來的浮夸的、張揚的、矯揉造作的形態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榱撕啙嵉摹⒋娲獾?、抽象的形式。隨著現(xiàn)代主義設(shè)計運動的到來，設(shè)計師們開始探索幾何學(xué)的應(yīng)用。并形成了一系列的設(shè)計幾何學(xué)理論體系與方法[1]。深入研究并運用好設(shè)計幾何學(xué)方法與理論，對當(dāng)代設(shè)計形態(tài)學(xué)有著重大的理論意義和實踐意義，對當(dāng)今產(chǎn)品、建筑、平面設(shè)計有著重要又深遠(yuǎn)的意義。

一、設(shè)計幾何學(xué)相關(guān)原理

（一）黃金分割比例

黃金分割比例是造型設(shè)計中最常用的比例之一，也是設(shè)計形態(tài)學(xué)中非常重要的方法之一。黃金分割點是指在一條線段中取一點，較長部分線段比上整體線段的比值等于較短線段比上較長線段的比值，其比值約等于0.618[2]。通過調(diào)查研究表明，這個比例被認(rèn)為是最符合人類視覺美感的比例，因此被譽為黃金比例。

類似黃金分割率的關(guān)系是一個叫作斐波那契數(shù)列的定律，由一位叫作雷昂那多·斐波那契數(shù)學(xué)家根據(jù)兔子實驗而得出的一個規(guī)律：假設(shè)一只成年兔子一個月后才能繁殖，每次繁殖能生出一只幼年兔子，生出的幼年兔子又得經(jīng)過一個月才能成熟并可以繁殖，假設(shè)兔子長生不老，那么N個月后，又有多少只兔子？

即：F（n）=F（n-1）+F（n-2），n≥3。在整個斐波那契數(shù)列中，隨著數(shù)值的增大，兩個相鄰的值更接近黃金比率，即0.618。斐波那契數(shù)列與黃金分割比例關(guān)系及其密切，兩者相互聯(lián)系，不可分割[3]。

（二）根號比例

書本紙張比例大多為1：1.414，也就是通常說的根號 2 矩形。該值接近黃金矩形的比率。但最大的優(yōu)點是，如果無線對折分割仍然可以得到兩個相同比例的根號2矩形：連接上下邊緣中心線長度的軸可以得到兩個相同且更小的矩形，按照這種方式可以無限推導(dǎo)。在人們的的日常生活中，存在大量的圖形案例度使用了根號矩形的方法。其中根號 2比例的矩形是生活中是最常見的，經(jīng)常使用的2開紙就是所謂的根號2比例的矩形，這中紙的比例看起來不僅均勻舒適，更重要的是，即使紙張一次又一次地對折都可以得到相同的比例，既根號2比例，仍然可以不發(fā)生變化，這樣便于最大限度地利用紙張，不浪費紙張，達(dá)到綠色環(huán)保可持續(xù)的目的[4]。

二、藝術(shù)中的設(shè)計幾何學(xué)

針對人體比例，維特魯威對其進(jìn)行了系統(tǒng)的歸納與總結(jié)，通過維特魯威對人體比例的描述：如果一個人平躺在地上，背部朝下，手和腿張開，肚臍是圓圈的中心，手或腹趾之間的距離是半徑（手和腹趾之間的距離等于腳趾之間的距離），他的手指和腳趾只在弧線上方移動。同時，人體可以形成一個正方形。通過測量，從腳到頭頂?shù)母叨鹊扔谑直凵煺箷r雙手兩端之間的距離，正好在正方形內(nèi)。萊昂納多·達(dá)芬奇準(zhǔn)確地描繪了人體比例與尺寸，如圖 1。達(dá)芬奇描繪的人體比例隱藏著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)狞S金比例：以人體肚臍為界點，上面為上身，下面為下身。舉起手后，手離地面的高度是腹部離地面高度的兩倍。上半身與下半身的比例為0.618 黃金比，下半身設(shè)為 1，于是上半身便為Ф，則人的身高（上身加下生）為 h=1+Ф，舉手高度為H=2。身高與舉高手尖之間的距離為：D=H-h=2-（1+Ф）=1-Ф。同時，會陰高為身高的一半，可得出人體肚擠眼到會陰的距離為d=（H-h ）/2=（1-Ф）/2。

在達(dá)芬奇?zhèn)髌娴囊簧?，其中以繪畫藝術(shù)作品《最后的晚餐》最為有名，這幅壁畫非常透視精準(zhǔn)、準(zhǔn)確的描述和優(yōu)秀的人物塑造已經(jīng)受到世界各地人們的贊賞，見圖2。最后的晚餐構(gòu)圖將黃金比例關(guān)系顯示得淋漓盡致，這些邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)狞S金分割比例使畫面呈現(xiàn)出和諧有秩序的視覺體驗[5]。畫面四個角對角線的中心點，叫透視中心點，耶穌正好位于這個點上;畫面左側(cè)的猶大，處于畫面三次分割的黃金分割線上，那只拿著錢袋的手，也處于黃金分割線上。通過這些人物的構(gòu)成與視覺上的安排，即使沒有錢袋子和恐怖的表情，也同樣可以清楚地知道猶大是誰。人物和繪畫的完美結(jié)合，以及精細(xì)的構(gòu)圖給人身臨其境的感覺。

三、設(shè)計幾何學(xué)在造型設(shè)計中的應(yīng)用

（一）設(shè)計幾何學(xué)在建筑造型設(shè)計中的應(yīng)用

印度的泰姬陵號稱是“世界新七大奇跡”之一，在整個泰姬陵建筑的造型設(shè)計上也遵循著內(nèi)在的規(guī)律與秩序，見圖3。泰姬陵的陵身由兩個相同大小并重疊的黃金矩形組成，重疊的部分也是一個豎向黃金矩形，與泰姬陵的大門相吻合，在重疊的豎向黃金矩形內(nèi)，上下兩個內(nèi)接正方形重疊的矩形寬度與大門內(nèi)窗戶的長度一致。

巴黎圣母院不僅是哥特式建筑的典型代表，也是設(shè)計幾何學(xué)的一個應(yīng)用實例。它充分利用輔助線來表達(dá)建筑師的意圖，見圖4。通過幾何學(xué)分析，可以發(fā)現(xiàn)巴黎圣母院的正視圖剛好內(nèi)接在黃金矩形里面，整個建筑被分為九個小黃金矩形，建筑通風(fēng)窗的位置正好處于外輪廓的大黃金矩形的對角線交點，通風(fēng)窗的直徑是前主圓直徑的1/4。同時建筑正門也為一個黃金分割矩形，建筑的整體形式與周圍環(huán)境相輔相成，相得益彰。

見圖5，在古希臘的帕臺農(nóng)神廟中，古希臘建筑師增加了黃金比例。整個神廟都建在一個黃金比例的長方形中（長方形的長與寬之比為1.618），黃金矩形的黃金分割線線幾乎與支撐寺廟的柱子重合。從廟底到柱子頂部的高度和從柱子頂部到廟頂?shù)母叨日门c豎向黃金矩形的黃金分割線分開。帕臺農(nóng)神廟的設(shè)計，從整體形狀到每個裝飾細(xì)節(jié)，都遵循黃金比例規(guī)律[6]。

相比于西方偏愛的黃金比例，中國古代建筑更愛采用√2：1，√3：2的比例。這個比例可以起源于中國古代數(shù)學(xué)與工藝著作——《周髀算經(jīng)》和《營造法式》中的圓中方、方中圓圖?！吨荀滤憬?jīng)》中指出：數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。萬物周事而圓方用焉，大匠造制而規(guī)矩設(shè)焉。我國現(xiàn)存最大、結(jié)構(gòu)最完整、藝術(shù)價值最高的唐代木殿非五臺山佛光寺東大殿莫屬，被梁思成譽為“國內(nèi)古建筑之第一瑰寶”，見圖6。大廳寬七間，深四間，頂部有單檐和陽臺。平面的內(nèi)柱和外柱被大廳的內(nèi)槽和外槽包圍。主要雕像有35座。它們位于內(nèi)部凹槽中，有五個房間寬，兩個房間深。外槽像回廊，是信眾禮佛的空間。佛光寺東大殿設(shè)計手法之關(guān)鍵在于：整個空間設(shè)計的“起源”是，明間佛像的凈高等于明間佛像凈高的兩倍（明間佛像寬度的兩倍）。大廳的總高度為明間面闊2√2倍，即主佛像凈高的4倍正殿底部的總寬度是大佛的兩倍。大殿臺基總寬為大殿總高的2√2倍（即明間面闊的8倍）——矩形佛光寺東殿的基本構(gòu)圖母題為邊長比為2√2：1的矩形，將殿的立面與剖面融為一體，體現(xiàn)了天人合一的宇宙觀，和天地之和的文化觀，實現(xiàn)了建筑空間與雕塑家具的完美比例關(guān)系[7]。

（二）設(shè)計幾何學(xué)在產(chǎn)品造型設(shè)計中的應(yīng)用

在產(chǎn)品設(shè)計活動中，將設(shè)計幾何學(xué)應(yīng)用與造型設(shè)計中，同樣適用并合理，現(xiàn)代主義設(shè)計中，已經(jīng)有大量設(shè)計先輩發(fā)現(xiàn)并利于幾何學(xué)規(guī)律在產(chǎn)品形態(tài)設(shè)計中。設(shè)計幾何學(xué)特征的產(chǎn)品形態(tài)顯得更有秩序與邏輯，受到了許多設(shè)計師與制造商的推崇。

甲殼蟲汽車作為二戰(zhàn)科技的產(chǎn)物，見圖7，其圓滑流暢的造型，給人速度感與科技感。在甲殼蟲汽車新穎的造型設(shè)計中，設(shè)計師同樣賦予了其內(nèi)在的規(guī)律與秩序。整個車殼外形大致為一個二分之一黃金橢圓（內(nèi)置在黃金矩形里面并與黃金矩形相切，短軸比長軸約為0.618），輪轂、輪胎、輪艙處于同一圓心的同心圓，車窗的造型曲線軌跡也是一個黃金橢圓，這個黃金橢圓正好與前輪輪艙和后輪輪轂想切。

老板椅的設(shè)計也遵循著相應(yīng)的幾何學(xué)規(guī)律，作為舒適生活的象征，老板椅由于其舒適的用戶體驗與感受，一經(jīng)上市就受到了推崇，見圖8。整個老板椅內(nèi)接在一個黃金矩形（矩形的寬比長為黃金比例0.618），老板椅的靠背由兩個不同大小的黃金矩形相接而成，椅子的坐墊正好與外接黃金矩形的黃金分割點吻合，坐墊將老板椅坐墊以下的區(qū)域完美的分割為黃金矩形。老板椅的側(cè)視圖的造型同樣內(nèi)接在一個相同大小的黃金矩形內(nèi)，坐墊也同樣與相應(yīng)的黃金分割線吻合，從整體上看，老板椅的頸椎靠墊的最上方到坐墊的最前方，再到椅子輪子，最后帶靠墊與坐墊的銜接處，形成一條的斐波那契螺旋線，所謂的斐波那契螺旋線，就是在黃金比例的矩形中可以分割出一個正方形和另外一個黃金矩形，在分割出來的黃金矩形中，可以繼續(xù)分割出一個正方形和一個黃金矩形，無限推導(dǎo)下去，將分割出來的正方形中，作四分之一圓弧，所有的四分之一圓弧可以流暢地串聯(lián)成一個螺旋形，這個螺旋形稱之為斐波那契螺旋形。

阿萊西是米蘭一家設(shè)計制造商，其生產(chǎn)的圓錐壺由是不同的幾種幾何形體的有機的組合在一起，見圖9。壺體的正視圖為等腰三角形，壺底為圓形。鍋底加熱面積大，沸水快。這樣的話，壺底加熱面積輝更大大，導(dǎo)致燒水會相應(yīng)更加快。該壺同樣蘊含著設(shè)計幾何學(xué)相關(guān)原理，整個圓錐壺內(nèi)接在正方形里。在正方形最上一排的中點位置正好為壺蓋的頂點，蓋子的把手是一個小巧優(yōu)雅的金屬球，用手按住金屬球即可輕松打開。這個球降低了整個水壺的機械化、剛性和沒情感的形狀。中和了整個鍋的剛性和柔卻，正方形處于3乘以3的網(wǎng)格之中，壺嘴和手柄分別設(shè)置在中心網(wǎng)絡(luò)的兩端。把手的形狀很有趣。它形成一個垂直向下的角度，并與網(wǎng)格線重合。茶壺的壺身由圓錐體、圓、三角形、球體、正方形等基本幾何形狀組成，形式簡約又不缺乏內(nèi)涵。

可口可樂作為最暢銷的飲料，一上市就贏得了市場競爭，家喻戶曉的可口可樂除了在味覺上深入人心，在包裝設(shè)計上，同樣深入人心。一瓶用玻璃包裹的可口可樂因為采用了女孩身體的曲線而成為經(jīng)典。在全球消費者的認(rèn)可與支持下，可口可樂推出了更合理的曲線塑料包裝瓶。該瓶身比例與遵循黃金比例，該包裝瓶曲線凹凸的位置均滿足黃金分割比例關(guān)系，便簽下面的瓶底與上面標(biāo)簽加瓶口正好為黃金比例，可口可樂瓶的外觀結(jié)構(gòu)性幾乎與黃金比例的結(jié)構(gòu)線相重合，見圖10。

（三）設(shè)計幾何學(xué)在平面造型

設(shè)計中的應(yīng)用設(shè)計幾何學(xué)在平面設(shè)計中同樣適用，將設(shè)計幾何學(xué)運用到平面設(shè)計中，使平面設(shè)計美感、規(guī)律與邏輯并存，感性與理性相互交叉，給人美的享受[8]。在平面設(shè)計大師朱爾.謝雷的作品《福利斯-貝熱爾》中，見圖11。設(shè)計師以三位舞蹈演員為該作品的主體，三個演員付款的動作定格下來。其浮夸的造型，給人極具動態(tài)感的感受。這些浮夸的舞蹈動作，看似漫不經(jīng)心，其實則隱藏秩序：通過副輔助線分析，利用設(shè)計幾何學(xué)相關(guān)原理來解析該作品，不難發(fā)現(xiàn)這三名演員浮夸的肢體完美落在一個正五邊形邊緣線上，該正五邊形的外接圓圓心正好位于女演員的臀部。將該正五邊形分割為兩三個等腰三角形時，不難發(fā)現(xiàn)兩邊的兩位男演員的形成的三角形兩條不同邊之比為 1：1.618，既黃金三角形。

一直以嚴(yán)謹(jǐn)理性為名的標(biāo)桿級工業(yè)設(shè)計公司——蘋果公司，在logo設(shè)計上也別有用心。蘋果公司的logo是一顆被坑了有口的蘋果，漫不經(jīng)心又深入人心，見圖12?？此齐S意的蘋果，卻充滿了邏輯與秩序。整顆蘋果都是嚴(yán)謹(jǐn)推敲出來的結(jié)果，葉子兩端的弧形到缺口的弧形到所有的弧形，都是由不同大小的圓組成的，這些不同大小的圓形按從小到大排序就是所謂的斐波那契數(shù)列。同理，icloud標(biāo)識也是一樣的規(guī)律，整個云朵都是由大小不同的圓組成，這些圓從小到大排序形成了斐波那契數(shù)列。可以看出，偉大的工業(yè)設(shè)計公司幾十年前就在開始探討理性與感性共存的設(shè)計格局[9]。

阿道夫.穆龍經(jīng)典的《絕不妥協(xié)》海報設(shè)計中，巧妙地運用了設(shè)計幾何學(xué)，見圖13。這不僅是設(shè)計理論與設(shè)計方法的成功，更是設(shè)計幾何學(xué)運用于設(shè)計實踐的成功。阿道夫.穆龍將采用抽象的女性的頭部形象運用在海報設(shè)計，使用較為簡單的幾何形體來概括女性頭像，深化其內(nèi)涵。整個海報的版面采用1;根號2的比例，女性的眼睛正好在矩形的對角線上，將矩形分成48個單元格，海報上有許多幾何圖形，與水平線的角度為15°或45°，在女性的耳朵和嘴上作出的圓形的輔助線可以找到兩個大小相等的圓圈。

四、基于設(shè)計幾何學(xué)在產(chǎn)品設(shè)計中的實踐應(yīng)用

根據(jù)“三層次理論”——即本能層、行為層、反思層。人們在使用產(chǎn)品過程中，必然會經(jīng)歷這三個階段，在初級層中，用戶只對產(chǎn)品最直觀的感受以及最初的判斷;中級層中，用戶開始聚焦產(chǎn)品的功能、可用性與功能性等感知;在高級層中，用戶更注重精神要求，也就是產(chǎn)品在滿足功能的基礎(chǔ)之上，用戶會更追求產(chǎn)品的內(nèi)涵、文化以及其他意義，見圖14。這就要求設(shè)計的產(chǎn)品中，出除了滿足物質(zhì)功能之外，需要有深層次的內(nèi)涵意義，設(shè)計幾何學(xué)指導(dǎo)下的產(chǎn)品設(shè)計恰好能滿足用戶對內(nèi)涵的需求。

在座椅的造型與形態(tài)中，適度的比例是造型設(shè)計中最基本、最重要的原則之一[10]。將設(shè)計幾何學(xué)相關(guān)原理付諸于產(chǎn)品設(shè)計中，產(chǎn)品設(shè)計擁有了嚴(yán)謹(jǐn)、有秩序、規(guī)范的設(shè)計方法，使產(chǎn)品設(shè)計擁有理性指導(dǎo)下的和諧、統(tǒng)一與優(yōu)美，摒棄以往停留在表面的、直覺的設(shè)計方法[11]。以設(shè)計幾何學(xué)相關(guān)原理為理論基礎(chǔ)，以黃金分割法為重要方法，借鑒成功設(shè)計案例，對家用休閑椅進(jìn)行了設(shè)計與創(chuàng)新，見圖15。

該款家用休閑椅嚴(yán)格的遵守設(shè)計幾何學(xué)的相關(guān)原理，首先休閑椅在色彩搭配上，采用了粉灰與淺灰的色彩搭配，輕松活躍中透露著低調(diào)與嚴(yán)謹(jǐn)。休閑椅在材料運用上，采用鋼管結(jié)構(gòu)、布料等現(xiàn)代材料作為休閑椅的主要使用材料。在整個家用椅造型設(shè)計上并不是憑直覺與感性設(shè)計的，而是經(jīng)過理性、嚴(yán)謹(jǐn)、有邏輯、有秩序的方式得出的形體設(shè)計。正視圖與側(cè)視圖都處于長與寬之比為1.618黃金比例的黃金矩形中，整個形體正好內(nèi)接在黃金矩形內(nèi)。休閑椅的坐墊正好出于黃金矩形的黃金分割線上，將休閑座椅上方分割為正方形，將休閑座椅下方也完美地分割成另一個黃金矩形，見圖16。

整個休閑椅的倒角也是經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐魄眯纬傻模妶D17。在休閑椅的側(cè)視圖中，鋼管結(jié)構(gòu)的倒角與倒角的圓呈現(xiàn)黃金比例關(guān)系。支撐休閑椅的鋼結(jié)構(gòu)的四處倒角由上下兩種不同大小的圓構(gòu)成，上面的大圓直徑為下面小圓的1.618倍，在休閑椅的正視圖中，靠背上方兩邊也是由兩個大圓倒角而成，整個休閑椅的三處倒角圓分別命名為大、中、小，正好形成了這樣一套規(guī)律：大圓除以中圓=中圓除以小圓=1.618.....這種內(nèi)在的規(guī)律賦予了整個休閑椅造型設(shè)計上的嚴(yán)謹(jǐn)與輕松的結(jié)合、理想與感性的結(jié)合、秩序與混沌的結(jié)合[12]。

休閑椅除了遵循相應(yīng)的黃金比例以外，還隱藏著斐波那契規(guī)律。休閑椅從側(cè)視圖看，椅子靠背的最頂部的端點到椅子坐墊最前端的端點再到休閑椅最底部，最后到休閑椅靠背與休閑椅的桌墊的銜接處，正好形成了一條圓滑流暢的斐波那契螺旋線。將看似規(guī)整的休閑椅造型賦予了其運動感與邏輯感，形成了幾何學(xué)指導(dǎo)下的和諧、統(tǒng)一、循環(huán)與規(guī)律，見圖18。在幾何學(xué)的規(guī)范與約束下，休閑椅的造型設(shè)計形成一種感性工學(xué)，感性中滲透著理性與秩序，理性中滲透著感性與自由。

結(jié)論

將設(shè)計幾何學(xué)相關(guān)原理付諸于造型設(shè)計中，讓造型在具備藝術(shù)性，創(chuàng)意性的同時還擁有嚴(yán)謹(jǐn)又適度的比例[13]。讓造型設(shè)計生產(chǎn)活動更為邏輯、理性與秩序。設(shè)計幾何學(xué)既是大自然的杰作，又是人類的智慧，是大自然與人類結(jié)合的產(chǎn)物?！懊馈边@個字雖然是一個非常復(fù)雜而抽象的概念，然而在幾何設(shè)計原則的指導(dǎo)下，形式更加和諧、統(tǒng)一和循環(huán)，可以明顯激發(fā)大眾的審美意志。在造型設(shè)計中，比例、形式和視覺美之間的關(guān)系是藝術(shù)創(chuàng)造和發(fā)展的關(guān)鍵[15]。在產(chǎn)品造型設(shè)計中，綜合運用設(shè)計幾何學(xué)，不僅可以成為設(shè)計師得到造型設(shè)計的工具與方法，更為后來的產(chǎn)品造型設(shè)計活動提供依據(jù)。因此，設(shè)計師必須熟悉動態(tài)矩形變換與幾何關(guān)系，充分理解設(shè)計中理性與感性的融合與平衡，才能更好地進(jìn)行設(shè)計生產(chǎn)活動[16]。