數(shù)學(xué)教學(xué)要“講理”

齊鐵清

摘要：數(shù)學(xué)源于對現(xiàn)實世界的抽象，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)講究弄懂道理、明白算理、研究推理。小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的特點是以具體形象思維為主，逐漸向抽象邏輯思維過渡，在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中如何處理好抽象與形象之間的關(guān)系是解決教與學(xué)之間矛盾的關(guān)鍵?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》關(guān)注這一矛盾，在考慮學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和接受能力的同時，適時、適度地進(jìn)行滲透、引導(dǎo)，從學(xué)生熟悉的情境入手，使學(xué)生在感受具體情境中、在親身參與的動手活動中去感悟數(shù)學(xué)原理。數(shù)學(xué)教師要及時關(guān)注這一變化，探索相應(yīng)教學(xué)策略，在課堂上為學(xué)生營造良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境。

關(guān)鍵詞：課程標(biāo)準(zhǔn);課堂教學(xué);數(shù)學(xué)原理

數(shù)學(xué)本身是一門“講理”的學(xué)科。學(xué)生認(rèn)識事物、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理特征決定了小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以形象思維、具體活動為主，但這不等于就“不講理”。從《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）的變化中我們可以看到，其在考慮學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、接受能力的同時，盡量讓學(xué)生感悟、理解、表述數(shù)學(xué)道理，真正做到“逐步形成會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界”?！爸v理”這一理念貫穿于整個新課標(biāo)之中，在課程內(nèi)容中的實例部分尤為突出，本文僅以認(rèn)數(shù)、計算、推理三個實例來分析這一理念對小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的影響。

一、認(rèn)數(shù)講道理

“數(shù)與代數(shù)”是義務(wù)教育階段學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要領(lǐng)域。數(shù)的認(rèn)識包括對整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的認(rèn)識。在這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，學(xué)生經(jīng)歷由數(shù)量到數(shù)的形成過程，需要理解和掌握數(shù)的概念。對數(shù)的概念的建立，教師必須從基礎(chǔ)開始，讓學(xué)生明白道理。

（一）整數(shù)比較講對應(yīng)

在學(xué)習(xí)整數(shù)的大小比較時，新課標(biāo)要求了解符號[<]、=、[>]的含義，會比較萬以內(nèi)數(shù)的大小;通過數(shù)的大小比較，感悟相等和不相等關(guān)系;通過數(shù)量多少的比較，理解數(shù)的大小關(guān)系。其設(shè)計了“通過對應(yīng)理解大小關(guān)系”的實例：圖1中第（1）題是小華完成的，你能像他一樣完成其他兩道題嗎？

這樣設(shè)計，意在使學(xué)生通過兩個集合中元素之間一一對應(yīng)的方法判斷集合中元素的多少，這種對應(yīng)的方法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本方法。通過對應(yīng)的方法，學(xué)生可以感受到由數(shù)量抽象到數(shù)、由數(shù)量的多少關(guān)系抽象為數(shù)的大小關(guān)系。在這個實例中，學(xué)生可以通過“連一連”比較兩個集合中元素的多少，進(jìn)一步感知用一一對應(yīng)的方法能夠進(jìn)行數(shù)量多少的比較，建立數(shù)感。

在直觀比較中，學(xué)生建立起的一一對應(yīng)概念是學(xué)生認(rèn)識數(shù)、認(rèn)識數(shù)的大小的最基本的理念，是學(xué)生以后學(xué)習(xí)各種數(shù)學(xué)比較的基礎(chǔ)與起點，在學(xué)生認(rèn)數(shù)的學(xué)習(xí)中起著非常關(guān)鍵的作用。

（二）分?jǐn)?shù)比較講單位

在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識時，新課標(biāo)要求結(jié)合具體情境，初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)，感悟分?jǐn)?shù)單位，設(shè)計了“比較[12]和[13]大小”的實例。課程標(biāo)準(zhǔn)通過“把兩個同樣大小的圓分別平均分成2份和3份，比較其中1份面積大小”的方法，意在引導(dǎo)學(xué)生直觀理解分?jǐn)?shù)的大小;然后，進(jìn)一步把兩個圓都平均分成6份，通過[12=36]，[13=26]，[36>26]，所以[12>13];幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)單位之間的關(guān)系，使學(xué)生知道只有在相同的單位下才能比較分?jǐn)?shù)的大小，這個法則與整數(shù)比較大小的法則是一致的。

同樣的單位下才能比較大小，這是“通理”，無論是整數(shù)、小數(shù)還是分?jǐn)?shù)都適用。但在以往的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，有些教師更多的是通過具體情境來讓學(xué)生觀察，很少讓學(xué)生感悟、理解道理。其實，這里的感悟非常重要，因為在學(xué)生打基礎(chǔ)的過程中這種感悟的缺失是導(dǎo)致其后續(xù)學(xué)習(xí)銜接不暢的根本原因。

通過“把兩個同樣大小的圓分別平均分成2份和3份，比較1份面積大小”的方法，可使學(xué)生直觀理解分?jǐn)?shù)的大小。這種直觀感受的方法對于小學(xué)生來說是可以接受的，通過觀察得出“同樣一個圓，分得份數(shù)越多，其中的1份就越小”的結(jié)論，學(xué)生也可以做得到。問題是只憑這種直觀感覺，學(xué)生并沒有真正理解分?jǐn)?shù)單位。如果教師能在此基礎(chǔ)上再深入一步，把兩個圓都平均分成6份，使學(xué)生通過[12=36]，[13=26]，[36>26]，得出[12>13]的結(jié)論，這里比較的是3個[16]和2個[16]之間的關(guān)系，學(xué)生感悟到的就是只有在同樣的單位下才能比較分?jǐn)?shù)的大小。單位相同，個數(shù)多的數(shù)就大，這與學(xué)生對整數(shù)的理解是相通的。教師不必計較這里學(xué)生懂不懂什么是通分，不必計較怎么想到的要分成6份，更不必計較學(xué)生知不知道[36]-[26]怎樣計算。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是需要邏輯性和循序漸進(jìn)的，有些內(nèi)容不是學(xué)生見到之后馬上就能完全學(xué)會的。很多內(nèi)容正是這種有計劃地反復(fù)呈現(xiàn)，才逐漸內(nèi)化成學(xué)生知識體系中的有機(jī)組成部分。

這樣，通過一一對應(yīng)來比較集合中元素多少的辦法來比較大小，講的是事實;在單位相同的情況下，通過比較單位個數(shù)的方法來比較大小，講的是道理。這些道理是通過看得見、摸得著的事實得出來的，“事”“理”相通，即為講道理。

二、計算講算理

計算是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容之一。小學(xué)數(shù)學(xué)中的計算主要是整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的四則運(yùn)算。新課標(biāo)要求經(jīng)歷算理和算法的探索過程，理解算理，掌握算法。在以往的教學(xué)中，有些教師習(xí)慣以計算方法為主，很少引導(dǎo)學(xué)生去理解算理。從新課標(biāo)的調(diào)整變化中我們可以看出，其對算理的重視，無論是過程的探索還是結(jié)論的理解，在整數(shù)乘法和分?jǐn)?shù)除法教學(xué)的變化上體現(xiàn)得非常典型。

（一）乘法意義講關(guān)系

新課標(biāo)對整數(shù)乘除法的要求是：探索乘法和除法的算理與算法，會簡單的整數(shù)乘除法;在具體情境中了解四則運(yùn)算的意義，感悟運(yùn)算之間的關(guān)系。課程標(biāo)準(zhǔn)在“運(yùn)算與運(yùn)算之間的關(guān)系”的實例中列舉了“二年級（3）班有8個學(xué)習(xí)小組，每組5人，這個班一共有多少人？”的例子（如下頁圖2）。針對問題背景，教師要讓學(xué)生經(jīng)歷用圖形表示數(shù)量關(guān)系的過程，理解乘法運(yùn)算以及乘法與加法的關(guān)系。

這個關(guān)系在課堂教學(xué)中一般不太容易引起教師的注意，大多數(shù)教師只是用來讓學(xué)生看看乘法和加法計算的結(jié)果是相等的。其實，這個關(guān)系的理解能力對于學(xué)生理解乘法算理、感悟運(yùn)算之間的關(guān)系非常重要。圖2中三個雙向箭頭連接的三個方框?qū)嶋H上是對一個事件的三種不同解釋。三種解釋從語言描述到圖形表示再到算式，是一個逐漸抽象的過程，表示的都是“這個班一共有多少人”，特別是通過這種關(guān)系讓學(xué)生明白圖中的乘法算式和加法算式表示的意義完全相同。學(xué)生的感悟能力無論是對算理的理解還是算法的運(yùn)用都是至關(guān)重要的。

（二）除法運(yùn)算講等量

以往的很多教材在教學(xué)分?jǐn)?shù)除法時主要是對“除以一個不為0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”這一算法的掌握，很少探究算理。分?jǐn)?shù)除法的算理一直是小學(xué)數(shù)學(xué)的一個難點，也是學(xué)生理解算理的一個盲點。很多教材在處理一個數(shù)除以整數(shù)、一個整數(shù)除以分?jǐn)?shù)之后就得出“除以一個不為0的數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”的結(jié)論，然后應(yīng)用這個結(jié)論來計算分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)。這很難讓學(xué)生信服，因為學(xué)生很難理解其中的算理。這樣，雖然不影響學(xué)生計算的正確性，但是影響對算理的理解，影響其以后的學(xué)習(xí)。

新課標(biāo)在描述“整數(shù)除法與分?jǐn)?shù)的關(guān)系”時很好地解決了這一問題，其要求結(jié)合具體情境理解整數(shù)除法與分?jǐn)?shù)的關(guān)系。課程標(biāo)準(zhǔn)在“除法可以寫成分?jǐn)?shù)的形式”這一實例中探討了“為什么4÷2可以寫成[42]”。這里主要是理解除法可以寫成分?jǐn)?shù)形式，這是理解分?jǐn)?shù)運(yùn)算的關(guān)鍵。

新課標(biāo)先是通過除法運(yùn)算的意義和分?jǐn)?shù)的意義理解它們之間的等價關(guān)系：除法運(yùn)算可以表示把4個蘋果平均分給2個人，每人分到2個;分?jǐn)?shù)可以表示4個蘋果的[12]，等價于2個蘋果。

然后，新課標(biāo)通過算理進(jìn)行一般性說明。怎樣知道“4÷2=△”中的“△”是多少？由于除法是乘法的逆運(yùn)算，因此“4÷2=△”等價于“4=△×2”。根據(jù)等式的基本性質(zhì)，等式兩邊同乘[12]等式不變，得到4×[12]=△。根據(jù)基本事實“等量的等量相等”，得到4÷2=4×[12]成立。因為4×[12]表示4個[12]相加，可以寫成[42]，所以4÷2=[42]。4÷2=4×[12]這個結(jié)果表明，除以一個數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。

有了這個基礎(chǔ)，對于像[37]÷[23]這樣一般情況的分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)的題，為什么也適用“除以一個數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”的結(jié)論，學(xué)生就完全可以理解了。

雖然結(jié)論是一樣的，都是想得出“除以一個不為0的數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”，都是想說明“加法運(yùn)算與乘法運(yùn)算之間的關(guān)系”，但是過程也非常重要，因為學(xué)生可接受、能信服。這個一般方法是通過理解算理的過程得出的，“法”“理”相通，即為講算理。

三、推導(dǎo)講推理

推理是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。在小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中特別強(qiáng)調(diào)感悟數(shù)的運(yùn)算以及運(yùn)算之間的關(guān)系，體會數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，形成運(yùn)算能力和初步的推理意識，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣。推理對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，既是一種意識，又是一種習(xí)慣。

（一）進(jìn)行推斷講規(guī)律

在研究數(shù)量關(guān)系的部分，新課標(biāo)要求能解決生活中的簡單問題，并對結(jié)果的實際意義作出解釋，經(jīng)歷探索簡單規(guī)律的過程。新課標(biāo)安排了“尋找規(guī)律進(jìn)行判斷”的實例：聯(lián)歡會上，小明按照3個紅氣球、2個黃氣球、1個綠氣球的順序把氣球串起來裝飾教室。你知道第16個氣球是什么顏色嗎？這是在借助符號表示規(guī)律的基礎(chǔ)上，使學(xué)生感知通過規(guī)律可以進(jìn)行推斷。解決這個問題，學(xué)生可以有多種方法，可以用字母來表示，用 A表示紅氣球，B表示黃氣球，C表示綠氣球，排列順序可以表示為：AAABBCAAABBC……從中找出第 16個字母，由此推斷第16個氣球的顏色。

這里設(shè)計的“第16個氣球是什么顏色”這個問題中的“16”很有講究。此前研究的“用不同符號表示變化規(guī)律”（如圖3），要求在橫線上填上合適的數(shù)字、字母或圖形，并說明理由。主要是啟發(fā)學(xué)生在解決問題的過程中探索規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生感悟?qū)哂幸?guī)律性的事物，無論是用數(shù)字還是字母或圖形都可以反映相同的規(guī)律，只是表達(dá)形式不同。

這里要求學(xué)生尋找規(guī)律進(jìn)行判斷，對于第16個氣球顏色的判斷，既不必把前16個符號都寫出來，也不是不能寫出16個符號。這個“尋找規(guī)律進(jìn)行判斷”的尺度把握得非常好，它既不是完全具體形象化地去數(shù)，也不是按照成型的公式去算，而是根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)行判斷。

（二）方法轉(zhuǎn)化講遷移

在數(shù)與運(yùn)算的學(xué)習(xí)中，新課標(biāo)要求在具體情境中認(rèn)識萬以上的數(shù)，了解十進(jìn)制計數(shù)法;探索并掌握多位數(shù)的乘除法，感悟從未知到已知的轉(zhuǎn)化。新課標(biāo)通過實例進(jìn)行了具體的闡釋：學(xué)校圖書館為同學(xué)們購買圖書，其中繪本每本14元，如果買12本，需要付多少元？在知道兩位數(shù)乘一位數(shù)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生探索兩位數(shù)乘兩位數(shù)的方法，感悟從未知到已知的轉(zhuǎn)化。

這里的重點是理解從一位數(shù)乘法到兩位數(shù)乘法算理和算法的遷移。學(xué)生已知14×10的計算方法和14×2的計算方法，在此基礎(chǔ)上去探索14×12的計算方法。教師可引導(dǎo)學(xué)生將12分解成10+2，然后利用橫式體現(xiàn)算理：14×12=14×（10+2）=14×10+14×2，這樣就可以把未知轉(zhuǎn)化為已知。在分析的基礎(chǔ)上建立乘法運(yùn)算豎式，從算理過渡到算法，在這樣的過程中可以發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力和推理意識。

對于這樣的設(shè)計，以往的教材中是很少看到的。很多教材在處理14×12的豎式時都是在強(qiáng)調(diào)“1與4的乘積為什么要寫在十位上”，很少有讓學(xué)生感受到這一步為什么是14×10的。如果學(xué)生自己能推導(dǎo)出14×12=14×（10+2）=14×10+14×2這一過程，那對于豎式為什么要這樣寫，自然就從道理上弄明白了。

這些是在尋找規(guī)律的基礎(chǔ)上進(jìn)行的判斷，是在分析的基礎(chǔ)上建立乘法運(yùn)算豎式，推導(dǎo)過程步步合情，“情”“理”相通，即為講推理。

認(rèn)數(shù)講道理、計算講算理、推導(dǎo)講推理，步步緊扣，逐層深入。如果按照這個邏輯學(xué)數(shù)學(xué)，學(xué)生就會越來越有邏輯性，越來越懂道理。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的講理不等于教師和學(xué)生在課堂上去“講”，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的“理”不是用來“講”的，是用來感悟、用來分析、用來體驗的。以“理”為前提，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的直觀、形象、圖形、情境才有意義。有“理”做保障，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的推導(dǎo)、遷移、類比、證明才有根基。

參考文獻(xiàn)：

[1]史寧中. 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的修訂與核心素養(yǎng)[J]. 教師教育學(xué)報，2022 （3）.

[2]教育部.義務(wù)教育教學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）