因?yàn)樾枰?，?shù)學(xué)“活”出精彩

包仁琴

【摘? 要】沒(méi)有需要，就沒(méi)有真正的數(shù)學(xué)活動(dòng)。在數(shù)學(xué)活動(dòng)中做到：基于已知，是活動(dòng)能力的需要;善于呈現(xiàn)，是思維媒介的需要;精于評(píng)價(jià)，是數(shù)學(xué)社交的需要，有了這些，數(shù)學(xué)活動(dòng)才能“活”出精彩，這種精彩怎樣延續(xù)下去，才能實(shí)現(xiàn)真實(shí)有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

【關(guān)鍵詞】基于已知;善于呈現(xiàn);精于評(píng)價(jià);需要; 活動(dòng)能力;思維媒介;數(shù)學(xué)社交

【案例背景】

《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程要面向全體學(xué)生，適應(yīng)學(xué)生個(gè)性發(fā)展的需要，學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)和富有個(gè)性的過(guò)程。

我們?cè)诼?tīng)課中看到各種活動(dòng)單：學(xué)習(xí)單、研究單，探究單，一節(jié)課上，還會(huì)有探究活動(dòng)一、探究活動(dòng)二……但經(jīng)歷下來(lái)總有遺憾：活動(dòng)之后大部分學(xué)生開(kāi)始旁聽(tīng)，變成教師和幾個(gè)學(xué)生的精彩。數(shù)學(xué)活動(dòng)怎樣“活”出精彩？這種精彩怎樣延續(xù)下去才能讓學(xué)生在一節(jié)課中全程參與，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真正地發(fā)生？

【案例描述】

一、初次執(zhí)教《圓錐的體積》

課前準(zhǔn)備：圓柱、圓錐容器和水等等，在復(fù)習(xí)了圓柱的體積公式、圓錐的特征及各部分名稱后，揭示課題并出示研究單：⒈估計(jì)一下等底等高的圓錐的體積是圓柱的幾分之幾？⒉你準(zhǔn)備如何驗(yàn)證自己的估計(jì)結(jié)果，在小組里說(shuō)說(shuō)思路。⒊動(dòng)手操作，驗(yàn)證自己的想法。

小組活動(dòng)后我分別找兩個(gè)學(xué)生上臺(tái)，從不同角度展示實(shí)驗(yàn)：

實(shí)驗(yàn)1：在圓錐里注滿水，再倒入圓柱里。

我問(wèn)：圓錐的體積正好是與它等底等高的圓柱體積的幾分之幾？你的估計(jì)對(duì)嗎？

生：3次正好倒?jié)M，是三分之一，我估計(jì)對(duì)了！

實(shí)驗(yàn)2：在圓柱里注滿水，再倒入圓錐里。

我問(wèn)：圓柱的體積正好是與它等底等高的圓錐體積的幾倍？

生：能倒3次，說(shuō)明圓柱的體積正好是與它等底等高的圓錐體積的3倍。

我又問(wèn)：根據(jù)上面的實(shí)驗(yàn)，想一想，可以怎樣求圓錐的體積？

學(xué)生回答，我隨機(jī)板書：圓錐的體積=底面積×高×1/3，字母公式：V=1/3Sh。

最后小結(jié)：這節(jié)課我們學(xué)了什么？你有哪些收獲？

這節(jié)課下來(lái)，我索然無(wú)味，疲憊不愖：1.學(xué)生除了 做實(shí)驗(yàn)時(shí)表現(xiàn)出較高的興趣，其他時(shí)候沒(méi)精打采，除了回答我的問(wèn)題外，沒(méi)有提問(wèn)交流等主動(dòng)行為，我努力地引導(dǎo)學(xué)生深入重點(diǎn)，可學(xué)生卻成了旁觀者;⒉學(xué)生的態(tài)度是，早就知道了，只是再證明一下而已，實(shí)驗(yàn)只是好玩，并沒(méi)有深入探究思考的境界;⒊水潑得到處都是，導(dǎo)致做實(shí)驗(yàn)浪費(fèi)了大量時(shí)間。

二、再次執(zhí)教《圓錐的體積》

這學(xué)期，又到了上這節(jié)課的時(shí)候，為了避免重蹈覆轍，我對(duì)初次執(zhí)教進(jìn)行了回顧，又分析了學(xué)生當(dāng)前情況。同樣復(fù)習(xí)并板書相關(guān)知識(shí)后，圍繞“探究圓錐的體積計(jì)算方法”，我開(kāi)展了三個(gè)板塊的數(shù)學(xué)活動(dòng)：

活動(dòng)一：猜想式談話。

首先我跟學(xué)生進(jìn)行了一番以“猜想”為形式的談話：⒈到現(xiàn)在我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了哪些立體圖形的體積，接下來(lái)你想研究哪個(gè)立體圖形的體積？（學(xué)生：圓錐）⒉根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，要研究圓錐的體積，你想到了哪個(gè)圖形？（學(xué)生：圓柱）⒊（出示圖：一個(gè)圓錐和幾個(gè)與之有各種聯(lián)系的圓柱：或等底、或等高、或等底等高、或不等底不等高）你覺(jué)得研究這個(gè)圓錐的體積，哪個(gè)圓柱更合適呢？（學(xué)生：選擇等底等高的那個(gè)）⒋（出示圖：等底等高的圓柱和圓錐）猜一猜，這個(gè)圓錐與圓柱的體積會(huì)有什么關(guān)系呢？（生：二分之一、三分之一）

這個(gè)談話過(guò)程很輕松，學(xué)生表現(xiàn)得很活躍，都搶著表達(dá)自己的想法，根據(jù)學(xué)生的猜想，我在黑板上板書：二分之一和三分之一。接著，我問(wèn)：同學(xué)們的猜想對(duì)不對(duì)？下面我們需要做什么呢？（學(xué)生：我們要做實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證一下）

我問(wèn)：你想怎樣驗(yàn)證？

學(xué)生提出各種辦法……

活動(dòng)二：自主探究驗(yàn)證。

我拿出一袋學(xué)具（包括圓柱和圓錐容器，一袋鹽），請(qǐng)同學(xué)上臺(tái)比較一下這個(gè)圓柱和圓錐的底面積和高，確認(rèn)：圓柱和圓錐底面積相等、高也相等。然后出示活動(dòng)要求，讓學(xué)生閱讀，明確活動(dòng)步驟：

小組活動(dòng)

（1）做一做：在圓錐容器里裝滿鹽，再倒入空的圓柱形容器里，看看幾次正好倒?jié)M。

（2）說(shuō)一說(shuō)：通過(guò)實(shí)驗(yàn)，你能得到什么結(jié)論？

我問(wèn)：你覺(jué)得在研究過(guò)程中要注意什么？

生：我要提醒大家裝鹽時(shí)讓鹽的高度和圓錐的上面要平齊，這樣才能保證得到的結(jié)果準(zhǔn)確。

開(kāi)始研究，我巡視，并及時(shí)點(diǎn)評(píng)。結(jié)果，每個(gè)小組都小心地“刮”一下，讓鹽的高度和圓錐的上面要平齊，實(shí)驗(yàn)過(guò)程很安靜，每個(gè)組都嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致。一組（四位）同學(xué)實(shí)驗(yàn)完搶著要上臺(tái)交流（臺(tái)上，我已經(jīng)準(zhǔn)備了一盆水和等底等高的兩個(gè)大圓柱和圓錐容器）。

我提醒：下面請(qǐng)睜大你智慧的眼睛，仔細(xì)看，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，要及時(shí)告訴他們哦！

四人配合得很好：生1拿容器，生2倒水，生3說(shuō)：“這個(gè)圓錐容器的水倒入圓柱，正好是1/3”。立即有同學(xué)舉手，“你這個(gè)圓柱里的水好像不是1/3?！?/p>

臺(tái)上：確實(shí)，我們剛才做實(shí)驗(yàn)的時(shí)候漏了一些，所以有了誤差，下面我們會(huì)細(xì)心的。

臺(tái)下：你這個(gè)1/3，看著也不明顯，我建議往里面撒點(diǎn)紅墨水。

他拔出自己的紅色自動(dòng)筆芯，跑上臺(tái)往水里用力擠了一些，水立即變紅了，底下同學(xué)發(fā)出了驚呼聲。有了同學(xué)們的建議，臺(tái)上的學(xué)生做實(shí)驗(yàn)更加細(xì)心了，臺(tái)下的一雙雙眼睛跟法官似地盯著他們的動(dòng)作，專心極了。實(shí)驗(yàn)做完了，第四位同學(xué)總結(jié)道：通過(guò)實(shí)驗(yàn)，我們小組發(fā)現(xiàn)圓錐體積真的是圓柱體積的1/3。大家有什么疑問(wèn)或補(bǔ)充嗎？

臺(tái)下：我要提醒你，你們剛才說(shuō)圓錐的體積是圓柱體積的1/3，這句話是錯(cuò)的，要先強(qiáng)調(diào)它們是等底等高才行。

臺(tái)上：嗯嗯，你說(shuō)得對(duì)！謝謝你的提醒！我更新一下，等底等高的圓錐的體積是圓柱體積的1/3。

在大家的掌聲中，這場(chǎng)驗(yàn)證交流活動(dòng)結(jié)束了。

我問(wèn)：現(xiàn)在，你知道怎樣計(jì)算圓錐的體積嗎？學(xué)生說(shuō)，我隨即板書在黑板上：圓錐的體積=底面積×高×1/3，字母公式：V=1/3Sh。

活動(dòng)三：回顧驗(yàn)證過(guò)程。

我問(wèn)：“回憶一下，你們剛才是怎么研究出圓錐體積公式的呢？”隨著同學(xué)們的回憶，我板書研究過(guò)程：提問(wèn)—猜想—驗(yàn)證（比較、實(shí)驗(yàn)）—結(jié)論。

我接著問(wèn)：“經(jīng)歷這個(gè)研究過(guò)程，你有什么體會(huì)或者收獲呢？”

“我知道了等底等高的情況下圓錐的體積是圓柱的1/3，圓柱的體積是圓錐的3倍?！?/p>

“我們小組一開(kāi)始以為圓錐的體積是圓柱的1/2，實(shí)驗(yàn)以后才發(fā)現(xiàn)是1/3?！?/p>

“我們小組得出的結(jié)論并不是1/3，我們剛才對(duì)比了一下，發(fā)現(xiàn)原來(lái)我們的圓錐和圓柱并不是等底等高！老師，你給錯(cuò)容器了！”

我哈哈大笑，底下同學(xué)立即明白，嚷嚷道：“老師，這是你給的陷阱吧？”

我說(shuō)：“是??！所以你現(xiàn)在想提醒大家什么呢？”

“我要提醒大家的是只有等底等高的圓錐才是圓柱體積的1/3！”

【案例反思】

跟初次執(zhí)教比，再次執(zhí)教時(shí)，學(xué)生無(wú)論是活動(dòng)還是活動(dòng)后的交流互動(dòng)，都認(rèn)真專注、積極大膽，我儼然成了旁觀者、局外人。除了因?yàn)閷W(xué)生不同外，第一次課中各種活動(dòng)不能滿足學(xué)生的需要，而第二次課上的活動(dòng)是以學(xué)生內(nèi)在需要為出發(fā)點(diǎn)的，所以學(xué)生真的“活”動(dòng)起來(lái)了。從需要出發(fā)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)，就是抓住了學(xué)生與生俱來(lái)的心理需求，學(xué)生因?yàn)樾枰矚g。

一、基于已知，活動(dòng)能力的需要。

學(xué)生在這節(jié)課之前，已經(jīng)有過(guò)聯(lián)系長(zhǎng)方體體積尋找圓柱體積公式的研究經(jīng)驗(yàn)，也學(xué)習(xí)了圓錐的圖形特征，受外部因素影響，對(duì)圓錐體積公式也早有耳聞，因此在初次執(zhí)教的課堂中，學(xué)生覺(jué)得自己早就會(huì)了，沒(méi)有研究的必要了，所以沒(méi)有參與活動(dòng)的動(dòng)力。而再次執(zhí)教課上，我采用四個(gè)猜想式談話，逐層深入，這個(gè)環(huán)節(jié)，抓住了學(xué)生的能力點(diǎn)，已有的圓柱體積公式的研究經(jīng)驗(yàn)成為重要優(yōu)勢(shì)，促使他們根據(jù)經(jīng)驗(yàn)想到要研究圓錐的體積，要找一個(gè)與圓錐等底等高的圓柱來(lái)研究，并猜測(cè)圓錐和圓柱體積的關(guān)系，所以學(xué)生放得開(kāi)，猜測(cè)也很大膽，不再受已有公式的干擾，不僅讓研究的方向清晰明確，也增強(qiáng)了研究活動(dòng)的實(shí)際意義。

猜想式談話，一方面調(diào)動(dòng)了學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，激勵(lì)他們將已有經(jīng)驗(yàn)自覺(jué)遷移，讓他們體驗(yàn)到學(xué)有所用的快樂(lè);另一方面，猜想活動(dòng)滿足了學(xué)生的心理需要，讓他們有著強(qiáng)烈的個(gè)人存在感，期待著將要發(fā)生的事情。

基于已知，就是基于學(xué)生所屬的能力階段，促進(jìn)學(xué)生對(duì)未知進(jìn)行個(gè)性化的規(guī)劃，取得學(xué)習(xí)主動(dòng)權(quán)，為下一步的數(shù)學(xué)活動(dòng)做好知識(shí)上和心理上的充分準(zhǔn)備。

二、善于呈現(xiàn)，思維媒介的需要。

一要呈現(xiàn)合適的研究材料。實(shí)際教學(xué)中，教師在學(xué)習(xí)材料的呈現(xiàn)上往往會(huì)出現(xiàn)“越多越好、越新鮮越好、學(xué)生表現(xiàn)得越開(kāi)心越好”這類觀點(diǎn)，而忽視了學(xué)生個(gè)體思維的真實(shí)需要。上文中的初次執(zhí)教，小組活動(dòng)時(shí)水潑灑導(dǎo)致學(xué)生忙著擦桌子而忘記了思考，嚴(yán)重阻礙了學(xué)生繼續(xù)探究的進(jìn)程;再次執(zhí)教改成了細(xì)鹽，學(xué)生操作起來(lái)方便易行，直接將目光放在了驗(yàn)證重點(diǎn)上。而當(dāng)四位同學(xué)上臺(tái)展示驗(yàn)證過(guò)程時(shí)，則將材料改成了一盆水和兩個(gè)超大的等底等高的圓柱和圓錐容器。因?yàn)檫@時(shí)的材料符合全班同學(xué)的視覺(jué)需要，看得清楚，而正是因?yàn)橐曈X(jué)需要，促使那位同學(xué)主動(dòng)上臺(tái)往水里灑點(diǎn)紅墨水，讓1/3的印象更加深刻。二要呈現(xiàn)簡(jiǎn)易的活動(dòng)要求。上文中再次執(zhí)教課上，把新知猜想、活動(dòng)策劃放在談話中進(jìn)行，既很好地調(diào)動(dòng)了學(xué)生的求知欲，又促使學(xué)生主動(dòng)構(gòu)建驗(yàn)證活動(dòng)前的準(zhǔn)備工作。在此基礎(chǔ)上出示的活動(dòng)簡(jiǎn)潔明了、目標(biāo)明確，活動(dòng)流程清晰、直擊重點(diǎn)，完全契合學(xué)生此時(shí)驗(yàn)證和思考的需要，所以學(xué)生表現(xiàn)得非常專注，興致盎然。

善于呈現(xiàn)，關(guān)注的是學(xué)生思維媒介的需要，讓學(xué)生在抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)里體驗(yàn)到直觀的有思維深度的快樂(lè)，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到延續(xù)。

三、精于評(píng)價(jià)，數(shù)學(xué)社交的需要。

數(shù)學(xué)課堂就是一個(gè)小社交圈，學(xué)生需要被肯定，從而更好地展現(xiàn)自己。上文中老師的一句“你刮得真仔細(xì)！”讓這位學(xué)生充滿自信，也激勵(lì)其他學(xué)生積極模仿。高爾基說(shuō)：當(dāng)你感到一切人都需要你的時(shí)候，這種感情就會(huì)使你有旺盛的精力。初次執(zhí)教中，數(shù)學(xué)活動(dòng)只是個(gè)體行為，學(xué)生沒(méi)有被需要的自豪感，思維受到限制;再次執(zhí)教中，數(shù)學(xué)活動(dòng)是集體的合作行為：⒈四人上臺(tái)展示實(shí)驗(yàn)過(guò)程，他們互相陪伴、互相評(píng)價(jià)、互相支持;⒉談研究過(guò)程中的收獲，很多學(xué)生都講到了小組內(nèi)共同收獲與感受，說(shuō)明學(xué)生需要同伴的參與，而組員的評(píng)價(jià)，能再次激起同伴的共鳴。評(píng)價(jià)自己、評(píng)價(jià)他人、評(píng)價(jià)集體，會(huì)促使自己更加用心傾聽(tīng)別人的發(fā)言，不僅能發(fā)現(xiàn)別人的精彩觀點(diǎn)，還能提出不足或者錯(cuò)誤，逐漸提高數(shù)學(xué)交流的能力。

精于評(píng)價(jià)，是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的社交需要，是學(xué)生自我實(shí)現(xiàn)的基礎(chǔ)，學(xué)生在積極的數(shù)學(xué)社交中，得到了來(lái)自伙伴的幫助和鼓勵(lì)，才會(huì)充滿信心，思維的火花熱情碰撞，才會(huì)更加積極主動(dòng)地參與一次又一次的數(shù)學(xué)活動(dòng)。

馬克思說(shuō)：沒(méi)有需要，就沒(méi)有生產(chǎn)。我想說(shuō)：沒(méi)有需要，就沒(méi)有真正的數(shù)學(xué)活動(dòng)，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中做到基于已知，善于呈現(xiàn)，精于評(píng)價(jià)，數(shù)學(xué)活動(dòng)才能“活”出精彩。

【參考文獻(xiàn)】

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）北京師范大學(xué)出版社，2012年1月.