圓錐曲線雙切線交點軌跡探究

丁位卿 萬志紅

【摘 要】 圓錐曲線以其美妙的身姿及其它蘊藏的難以窮盡的優(yōu)美性質引起著眾多數學家與數學愛好者對它的研究興趣，對它的研究沒有彼岸.本文給出筆者對圓錐曲線上的兩動點（對應的變半徑夾角為不超過平角的定角）的雙切線軌跡進行深入地探究，新發(fā)現(xiàn)3個新命題及其推論（也是3個新定理），供讀者參考.

【關鍵詞】 圓錐曲線;雙切線交點;姊妹（衍生）橢圓

1 橢圓的雙切線交點軌跡

一、對過橢圓不同的兩點A、B，（∠AOB為不超過180°的定角），分別過A、B兩切點的切線交于點P，下面研究交點P軌跡.（另給出一個推論和一個結論性質）.

命題1 如圖1，已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）

上兩點A，B，令∠AOB=θ（定角），且0°<θ<180°，以A，B為切點分別作橢圓的切線，交點為P，則點P的軌跡方程為：

[a4（b2-y2）+b4（a2-x2）]2=4a4b4[a2y2+b2（x2-a2）]·cot2θ.

證明 我們知道過橢圓上一點（x0，y0）處的切線方程為x0xa2+y0yb2=1，即b2x0x+a2y0y=a2b2，設A（x1，y1），B（x2，y2），P（s，t），則過A，B兩點的切線方程分別為

b2x1x+a2y1y=a2b2和b2x2x+a2y2y=a2b2，且有b2x1s+a2y1t=a2b2，b2x2s+a2y2t=a2b2.所以切點弦AB的方程為b2sx+a2ty=a2b2①.

與橢圓方程b2x2+a2y2=a2b2②聯(lián)立先消去y，化簡整理得（a2t2+b2s2）x2-2a2b2sx+a4（b2-t2）=0，

所以x1+x2=2a2b2sa2t2+b2s2③，x1x2=a4（b2-t2）a2t2+b2s2④.

同理，聯(lián)立①，②兩式，再消去x化簡整理得y1+y2=2a2b2ta2t2+b2s2⑤，y1y2=b4（a2-s2）a2t2+b2s2⑥.

由已知OA=（x1，y1），OB=（x2，y2），故OA=OA，OB=OB.

所以OA·OB=x1x2+y1y2=OA·OB·cosθ⑦.

又如圖1，過O作OD⊥AB，垂足為D點，并設d=OD.

已知切點弦AB方程為b2xs+a2yt=a2b2，所以k=kAB=-b2sa2t.

由點到直線距離公式得d=OD=-b2t 1+k2=b2t 1+k2d2=b4t2（1+k2）.

又AB2=（x1-x2）2+（y1-y2）2=（1+k2）（x1-x2）2，

（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=4a4b4s2（a2t2+b2s2）2-4a4（b2-t2）a2t2+b2s2=4a4t2（a2t2+b2s2-a2b2）（a2t2+b2s2）2，所以AB2=4a4t2（a2t2+b2s2-a2b2）·（1+k2）（a2t2+b2s2）2.

所以d2·AB2=4a4b4[（a2（t2-b2）+b2s2]（a2t2+b2s2）2⑧.

因為S△AOB=12OA·OBsinθ=12AB·OD=12ABd，所以AB·d=OA·OB·sinθ. ⑨

聯(lián)立⑦，⑨兩式消去|OA|·|OB|（兩邊同時平方）得（x1x2+y1y2）2=d2·AB2·cot2θ. B10

因為x1x2+y1y2=a4（b2-t2）a2t2+b2s2+b4（a2-s2）a2t2+b2s2.

將上式和⑧式同時代入⑩式化簡整理得

[a4（b2-y2）+b4（a2-x2）]2=4a4b4[a2y2+b2（x2-a2）]·cot2θ（）

它就是交點P的軌跡方程.

由（）式，當∠AOB=θ=90°，cotθ=0.故由（）式推導出

x2aba2+b22+y2baa2+b22=1（a>b>0）（）

此軌跡是新橢圓，它與蒙日圓有四個交點，分別是（a，b），（-a，b），（-a，-b），（a，-b），

所以當θ=∠AOB=90°時，它是一個與原橢圓同中心的姊妹橢圓，于是有以下推論：

姊妹橢圓定理（推論） 從橢圓（橢圓心角為直角）上不同兩點引它的兩條切線的交點的軌跡，就是與原橢圓同中心的姊妹橢圓（如圖2）.圖2

因此，我們可以編制一道模擬高考題（取a=2，b=1）.

題 從橢圓x22+y2=1上兩不同點A，B引兩條切線PA，PB，其交點為P，滿足∠AOB=90°，求動點P的軌跡方程.

由（）式可知，點P軌跡是橢圓：x2（6）2+y2622=1.

對姊妹橢圓的結論式簡證之，因為θ=∠AOB=90°，由⑦式得x1x2+y1y2=0.

將④，⑥式同時代入上式即得證（）式.

另，在圖1中，連結OP，交AB于點C，設AB的中點為C′，則xC′=x1+x22，yC′=y1+y22，所以kOC′=y1+y2x1+x2=ts=kOP.

這樣C′既在AB上又在OP上，故C與C′重合，所以O，C，P三點共線.

于是我們就發(fā)現(xiàn)橢圓一個有趣性質：從橢圓外一點引兩條切線，該點與切點弦的中點、橢圓中心（原點）三點共線（它與∠AOB大小無關）.2 雙曲線的雙切線交點軌跡

命題2 從雙曲線外一動點P向雙曲線作兩切線PA、PB，切點分別為A、B且滿足（PO與切點弦AB交點為C，且為定角），則交點P（動點）的軌跡方程為：

命題2 雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的同一支上有兩個不同的點A，B，令∠AOB=θ（定角），且0°<θ<180°，以A，B為切點作雙曲線的兩條切線PA，PB，則交點P的軌跡方程為：

[a4（y2+b2）+b4（x2-a2）]2=4a4b4[a2y2-b2（x2-a2）]·cot2θ.

此軌跡方程形式比較優(yōu)美和諧，若令左邊a4（y2+b2）+b4（x2-a2）=0，得到如下它的一個推論.

因為是筆者原創(chuàng)，筆者將其命名為雙曲線（線心角為直角）雙切線新橢圓定理.

雙曲線衍生新橢圓定理（推論） 雙曲線x2a2-y2b2=1（b>a>0）上不同兩點A，B，PA，PB為它的兩條相交于點P的切線，切點分別是A，B. 若∠AOB=90°，交點P的軌跡是一個以雙曲線的中心為中心的新橢圓，其焦點在y軸上（見圖3），方程為：

x2abb2-a22+y2bab2-a22=1（b>a>0）.

說明：當a=b時P的軌跡就是坐標原點;當a>b時，P的軌跡不存在;

另有一個與前面橢圓類似的一個性質：原命題2除不限定∠AOB外其它條件不變，O，C，P三點共線.

對于命題2及其推論與性質的證明與命題1的證明步驟和技巧完全類似，證明過程略.

3 拋物線的雙切線交點軌跡

命題3 如圖4，對拋物線y2=2px（p>0），設拋物線上不同的兩切點A，B，且滿足θ=∠AOB為定角（限定它不超過180°），分別以A，B為切點的切線交于點P，則兩切線交點P的軌跡方程分以下兩種情況：

（1）當∠AOB=90°時，P點軌跡就是直線x=-2p;

（2）當∠AOB≠90°時，P點軌跡是雙曲線的單支.

曲線方程為：

[x+2p（1+2cot2θ）]2±4pcotθsinθ2-y22psinθ2=1，

其中心坐標為（-2p（1+2cot2θ），0），a=±4pcotθsinθ=±4pcotθ·cscθ，b=2psinθ=2p·cscθ.

（注：當0°<θ<90°時，取正號;當90°<θ<180°時，取負號）

證明 如圖4，對拋物線y2=2px（p>0），記α=∠AOx，β=∠BOx，則β-α=θ.

將x=ρcosφ，y=ρsinφ代入拋物線y2=2px，得極坐標方程為ρ=2pcosφsin2φ，所以x=ρcosφ=2pcot2φ，y=2pcotφ.

又設A（x1，y1），B（x2，y2），P（m，n），所以y1+y2=2p·（cotα+cotβ），y1y2=4p2·cotαcotβ.我們知道，過拋物線上點（x0，y0）的切線方程為y0y=p（x+x0），故切線PA的直線方程為y1y=p（x+x1），切線PB的直線方程為y2y=p（x+x2）.

兩切線交于P點，所以y1n=p（m+x1），y2n=p（m+x2），所以切點弦AB的直線方程為yn=p（m+x），即px=ny-pm，再代入y2=2px得y2=2px=2ny-2pm，即y2-2ny+2pm=0，所以y1+y2=2n，y1y2=2pm. 又因為y1+y2=2p·（cotα+cotβ），

所以2p·（cotα+cotβ）=2n，即cotα+cotβ=np①，又

y1y2=4p2·cotαcotβ，所以4p2·cotαcotβ=2pm，即cotαcotβ=m2p.②

因為θ=β-α（β>α），所以cotθ=1+cotα·cotβcotα-cotβ，cotα-cotβ=1+cotα·cotβcotθ③.

當θ=90°時，cotθ=0，即1+cotα·cotβ=0，1+m2p=0，

得m=-2p，即x=-2p.所以兩切線交點P軌跡就是直線x=-2p.

當0°<θ<180°且θ≠90°時，②式代入③得

cotα-cotβ=1+cotα·cotβcotθ=2p+m2p·cotθ④.

將④，②，①三式同時代入恒等式（cotα-cotβ）2+4cotα·cotβ=（cotα+cotβ）2.

化簡并整理得[x+2p（1+2cot2θ）]2±4pcotθsinθ2-y22psinθ2=1.

（補充說明：拋物線上不同的兩切點A，B運動時，并始終保持其定角（差角）θ=β-α為正角，凡是在x軸下方拋物線上的點對應的角均用負角表示.）命題3證畢.前面兩個命題及推論是丁位卿發(fā)現(xiàn)并完成證明的，最后一個拋物線定理是由萬志紅老師提出并證明.

作者簡介 丁位卿（1964—），男，河南長葛人，數學愛好者;在省級期刊上發(fā)表論文10余篇.

萬志紅，男（1985—），江西上饒人，中學一級教師;致力于高中數學教育教學及高考數學試題研究，擅長信息技術融于數學的解題研究.