“直線方向向量”的牢騷

【摘 要】 人教A版新教材選擇性必修1對(duì)平面內(nèi)點(diǎn)到直線距離的推導(dǎo)采取了兩種辦法，一是利用解方程組求出垂足的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)之間的距離公式求解;二是利用向量，利用過(guò)點(diǎn)的向量在直線法向量上的投影來(lái)求解. 本文給出了利用向量在直線方向向量上的投影來(lái)求解的方法，同時(shí)給出了平面內(nèi)直線方向向量的幾種表示和空間直線方向向量的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】 方向向量;法向量;距離

放學(xué)了，教室一下子空蕩安靜了，只剩下滿(mǎn)黑板的板書(shū)還讓人可以知道今天最后一節(jié)是數(shù)學(xué)課，學(xué)習(xí)的內(nèi)容是“平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)到直線的距離公式”.也就是，坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn)P（x0，y0）到直線l：Ax+By+C=0的距離d=Ax0+By0+CA2+B2.

突然，教室里傳來(lái)一聲嘆息，還伴隨著不時(shí)的自言自語(yǔ)聲音，讓我們偷偷進(jìn)去聽(tīng)聽(tīng)，到底是哪位同學(xué)還在教室.

“哎，只要一靜下來(lái)，我就想不通. 在三維空間，你直線縱橫捭闔，所向無(wú)敵，其實(shí)都是我出面擺平的，利用我方向向量，來(lái)解決與其它直線、平面的平行、垂直關(guān)系，來(lái)計(jì)算得到相交的角度和距離. 更重要的是，利用我還可以推導(dǎo)出你直線在空間直角坐標(biāo)系中的方程：

設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)A（-1，0，2），B（3，-1，4），則AB=（4，-1，2），設(shè)直線l上任意一點(diǎn)P（x，y，z），則AP=tAB（t∈R）.由于AP=（x+1，y，z-2），所以（x+1，y，z-2）=t（4，-1，2），從而x+1=4t，y=-t，z-2=2t，于是得到直線l的方程x=4t-1，y=-t，z=2+2t（t∈R）或x+14=y-1=z-22. 可見(jiàn)直線在平面內(nèi)和在空間內(nèi)的方程是不相同的.

那段經(jīng)歷，我都無(wú)怨無(wú)悔，任勞任怨，盡職盡責(zé). 然而一到這一章，你直線回歸到平面直角坐標(biāo)系中，你就拋棄了我方向向量.讓我情何以堪？”聽(tīng)口氣，說(shuō)話的應(yīng)該是直線l的方向向量a.

“沒(méi)有呀，你方向向量永遠(yuǎn)是我直線的殺手锏，是我直線的真摯代表，不管是在空間，還是在平面內(nèi)，判斷兩條直線平行或垂直，求相交的角和距離，永遠(yuǎn)都離不開(kāi)你方向向量. 這不，在平面直角坐標(biāo)系中，如果我的斜率存在，你方向向量就是a=（1，k）.如果不考慮斜率，方向向量可以用我的傾斜角α表示，a=（cosα，sinα）.”這應(yīng)該是直線l的聲音，語(yǔ)調(diào)中有點(diǎn)委屈無(wú)奈.

“還說(shuō)沒(méi)有，你看，在空間，依靠我可以推出你的方程，但在坐標(biāo)平面內(nèi)，你方程的五種形式，哪種是依靠我推導(dǎo)出來(lái)的？”

“哦，稍安勿躁，點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式和一般式確實(shí)都沒(méi)有用到你. 但不要忘記了，我直線還有第六種形式——參數(shù)方程，就是依靠你方向向量推導(dǎo)出來(lái)的.

設(shè)直線l過(guò)定點(diǎn)P（x0，y0），且方向向量為a=（cosα，sinα），對(duì)直線l上任意一點(diǎn)Q（x，y），必定存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得PQ=λa，即（x-x0，y-y0）=λ（cosα，sinα），從而x-x0=λcosα，y-y0=λsinα，即x=x0+λcosα，y=y0+λsinα，這就是我直線方程的第六種形式——過(guò)點(diǎn)P（x0，y0），且傾斜角為α的參數(shù)方程（其中λ是參數(shù)）. 這不就是你方向向量在空間推導(dǎo)我直線方程的翻版？”

“還有呢，你看這黑板上，推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式，我們不是在空間已經(jīng)利用我方向向量得到了一個(gè)結(jié)論嗎？為什么平面內(nèi)卻絕口不提？是不是平面內(nèi)不適應(yīng)？”“不是的，我們?nèi)匀豢梢杂每臻g的那個(gè)結(jié)論來(lái).

如圖，在l：Ax+By+C=0上取點(diǎn)A（x1，y1），則Ax1+By1+C=0，向量AP=（x0-x1，y0-y1）.

取方向向量a=（B，-A），則AP在a上的投影為

APcos〈AP，a〉=AP·aa=B（x0-x1）-A（y0-y1）A2+B2.

于是d2=AP2-AP·aa2=（x0-x1）2+（y0-y1）2-[B（x0-x1）-A（y0-y1）]2A2+B2

=A2（x0-x1）2+B2（y0-y1）2+2AB（x0-x1）（y0-y1）A2+B2

=[A（x0-x1）+B（y0-y1）]2A2+B2=Ax0+By0-（Ax1+By1）2A2+B2=（Ax0+By0+C）2A2+B2.

所以d=Ax0+By0+CA2+B2.”

“是的，空間中點(diǎn)到直線的距離就是這樣求的，它仍然適應(yīng)于平面，對(duì)我方向向量的選擇，可以根據(jù)直線方程的形式來(lái)選擇，比如斜截式y(tǒng)=kx+b中a=（1，k），一般式Ax+By+C=0中a=（B，-A），也可以用傾斜角α表示a=（cosα，sinα）.”

“不行，不行，我不服，”這時(shí)旁邊有人插話，“我是法向量，在空間中，我專(zhuān)門(mén)護(hù)衛(wèi)平面，代表平面解決所有與平面有關(guān)的問(wèn)題. 但在平面內(nèi)，我轉(zhuǎn)而來(lái)護(hù)衛(wèi)直線——可惜的是，至今直線還不認(rèn)可我.”

“怎么沒(méi)有認(rèn)可你？在點(diǎn)到直線的距離公式推導(dǎo)中，就應(yīng)用了你呀.”

“用是用到了我，但你們看看，教材第76頁(yè)中間一段話——向量1A2+B2（A，B）就是與直線l的方向向量垂直的一個(gè)單位向量——不就是直線l的法向量嗎？為什么不點(diǎn)明？好像我是私生子一樣，欲言又止.”

聽(tīng)到唰的一聲，應(yīng)該是關(guān)書(shū)的聲音，它繼續(xù)說(shuō)道：“其實(shí)，在平面內(nèi)直線l的法向量比方向向量還優(yōu)越些，比如直線l的一般式中，我就可以取n=（A，B），利用向量AP在我上面的投影求距離更快捷些.”邊說(shuō)也邊在黑板上寫(xiě)起來(lái).

如圖，d=AP·nn=A（x0-x1）+B（y0-y1）A2+B2=Ax0+By0+CA2+B2.

“哈哈，很好，很好，”這是直線l的笑聲，“當(dāng)我奔馳在空間時(shí)，一切全賴(lài)方向向量沖鋒陷陣，因?yàn)樵诳臻g我沒(méi)有給出方程;現(xiàn)在縱馬在平面內(nèi)，我有了表示的方程，所以遇到與我直線有關(guān)的問(wèn)題，就全賴(lài)方程來(lái)解決，沒(méi)有再麻煩兩位了，這不是拋棄你們，而是讓你們更多地休息，去處理更復(fù)雜的問(wèn)題. 同時(shí)，推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式，采取了幾種方法，只是告訴同學(xué)們，每一種方法都是一條途徑，愛(ài)思考的同學(xué)自然不會(huì)放過(guò)你們兩個(gè)的. 謝謝兩位的陪伴，讓我們共同努力，開(kāi)創(chuàng)向量和直線美好的未來(lái).”

掌聲響起，在空蕩的教室里顯得格外響亮.

作者簡(jiǎn)介 彭向陽(yáng)（1969—），男，湖南長(zhǎng)沙人，中學(xué)高級(jí)教師;一直熱衷于高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)研究和高中數(shù)學(xué)趣味課堂教學(xué)研究;在報(bào)刊雜志發(fā)表解題類(lèi)文章近百篇.