淺析轉(zhuǎn)化思想在解答立體幾何問題中的應(yīng)用

李小強(qiáng)

轉(zhuǎn)化思想是指采用某種手段，使問題得以變換的一種數(shù)學(xué)思想，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，可將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題;將難解的問題轉(zhuǎn)化為容易求解的問題;將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，從而提升解題的效率.本文主要談一談如何運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想解答立體幾何問題，

一、利用轉(zhuǎn)化思想證明線面的平行與垂直關(guān)系

（1）依據(jù)立體幾何中的線線平行、線面平行、面面平行的性質(zhì)定理和判定定理可知：由線線平行可證明線面平行，由線面平行可證明面面平行，由線面平行可證明到線線平行，由面面平行可證明線面平行;（2）依據(jù)立體幾何中的線線垂直、線面垂直、面面垂直的性質(zhì)定理和判定定理可知：由線線垂直可證明線面垂直，由線面垂直可證明面面垂直，由線面垂直可證明線線垂直，由面面垂直可證明線面垂直.也就是說，線線、線面、面面之間的平行和垂直關(guān)系可以相互轉(zhuǎn)化，在證明其中一種關(guān)系受阻時，可利用轉(zhuǎn)化思想，通過證明其他兩種關(guān)系來證明問題，

在無法直接證明直線與平面平行、平面與平面垂直時，可運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，先根據(jù)直線與平面平行的判定定理、平面與平面垂直的判定定理，證明平面外一條直線與平面內(nèi)一條直線平行、直線與平面垂直，進(jìn)而證明直線與平面平行、平面與平面垂直，

二、利用轉(zhuǎn)化思想求空間距離

當(dāng)直線與平面平行時，直線上任意一點(diǎn)到平面的距離等于直線與平面之間的距離，所以在求直線與平面之間的距離時，可將問題轉(zhuǎn)化為求直線上任意一點(diǎn)到平面的距離;當(dāng)平面與平面平行時，一個平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個平面的距離等于平面與平面之間的距離，所以在求兩個平行平面之間的距離時，可將問題轉(zhuǎn)化為求一個平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個平面的距離.而點(diǎn)到平面的距離，即為點(diǎn)到平面內(nèi)的射影的距離，所以點(diǎn)到平面的距離，可轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到其射影點(diǎn)的距離.

例2.如圖2所示，平面PAC⊥平面ABC，等腰Rt△ABC的斜邊是AC，E，F(xiàn)，O分別是線段PA，PB，AC的中點(diǎn)，G為線段OC的中點(diǎn)，若PA =PC= 10，AC= 16，求直線FG與平面BOE之間的距離.

解：設(shè)線段BC的中點(diǎn)為M，連接FM，GM，

因?yàn)槠矫鍲MG∥平面BOE，

因此FG∥平面BOE.

直線FG與平面BOE之間的距離即為點(diǎn)G到平面BOE的距離.

根據(jù)題意可知直線BO⊥平面PAC.

因此BO⊥EO，BO⊥GO，

解答本題，需靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想.首先根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)，將問題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)G到平面BOE的距離;然后利用等積法，將三棱錐G - BOE的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐E-BOG的體積，從而構(gòu)建方程，求得空間距離.

在求解空間距離問題時，有時可運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，根據(jù)題意添加合適的輔助線，或?qū)缀误w進(jìn)行切割，將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，利用平面幾何中的性質(zhì)、公理、定理等進(jìn)行求解.

例3.如圖3所示，已知正方體ABCD-AiBiCiDi的棱長為2，點(diǎn)E為線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段DiE上運(yùn)動，那么點(diǎn)P到直線CC1距離的最小值等于_____ .

通過添加輔助線，將異面直線間的距離轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離，便將復(fù)雜的立體幾何問題轉(zhuǎn)化為簡單的平面幾何問題，再結(jié)合正方體的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)就能求得最小距離，

例4.已知ABC-A，B，C1是正三棱柱，AB=3，AA1=4，M是線段AA，的中點(diǎn)，P是線段BC上一點(diǎn)，點(diǎn)P沿正三棱柱側(cè)面經(jīng)過側(cè)棱CCi到達(dá)點(diǎn)M的最短路線長為√29.設(shè)點(diǎn)Ⅳ是這條最短路線與線段C1C的交點(diǎn).

（I）求正三棱柱ABC-AiBiC，的側(cè)面展開圖的對角線長;

（Ⅱ）求線段PC和NC的長，

解：（I）根據(jù)題意易知，正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面展開圖是矩形，且該矩形的長為9，寬為4，所以正三棱柱ABC-AiBlC1的側(cè)面展開圖的對角線長為h=√97，

解答本題，只需將正三棱柱的側(cè)面展開，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中矩形的對角線長、兩點(diǎn)間的最小距離問題，根據(jù)矩形以及直角三角形的性質(zhì)即可順利解題，

總之，在解答立體幾何問題時，靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將線面之間的平行、垂直關(guān)系進(jìn)行互化，將空間中點(diǎn)、線、面之間的距離轉(zhuǎn)化為簡單的幾何運(yùn)算問題，不僅能降低解題的難度，還能有效地提升解題的效率，在解題時，同學(xué)們需明確幾何圖形的特點(diǎn)，通過聯(lián)想、觀察、比較、類比，根據(jù)解題需求和相關(guān)的定理、性質(zhì)明確轉(zhuǎn)變問題的方向.

（作者單位：江西省寧都中學(xué)）