橢圓知識結(jié)構(gòu)與拓展

■河南南陽市一中 鄭書芬

一、知識結(jié)構(gòu)框架

二、實例分析

題型一：橢圓的定義及其簡單性質(zhì)

已知焦點在x軸上的橢圓1的離心率是e,且,則實數(shù)m的取值范圍為_____。

解：因為橢圓=1的焦點在x軸上,所以0＜m＜2。因為e,所以e。因為所以＜1,解得0＜m所以實數(shù)m的取值范圍為

點評:求與離心率范圍有關(guān)的問題,關(guān)鍵是找出a、b、c滿足的關(guān)系式,然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程或不等式進(jìn)行求解,同時要注意隱含條件e∈(0,1)。

題型二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

橢圓中心是坐標(biāo)原點,長軸在x軸上,離心率,已知點到橢圓上的點的最遠(yuǎn)距離是7,求這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

解：設(shè)所求橢圓方程為1(a＞b＞0)。

因為,所以a=2b,于是橢圓方程化為=1。

設(shè)橢圓上的點M(x,y)到點P距離為d,則d2=x2+=4b2+y2-3y+=-3+4b2+3。

對f(y)=-3+4b2+3的最值情況進(jìn)行討論:

(1)當(dāng)-b≤-,即b≥時,=4b2+3=7?b=1,橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為=1;

(2)當(dāng)＜-b,即b＜時,=f(-b)=7?b=7,與矛盾。

綜上所述,當(dāng)y=時,有=4b2+3=7,b=1。

故所求橢圓方程為+y2=1。

點評:(1)利用離心率確定a與b的關(guān)系。(2)利用最值進(jìn)一步確定b的值。(3)由橢圓方程=1(a＞b＞0)得-b≤y≤2b,由d2=-(y )+4b2+3知d2是y的二次函數(shù),其對稱軸為y=,故應(yīng)就二次函數(shù)對稱軸與區(qū)間[-b,b]的位置關(guān)系進(jìn)行討論。本題容易在求最值時忽視b的范圍而沒有加以討論,導(dǎo)致解題過程出錯。

題型三：焦點三角形

設(shè)P為橢圓=1(a＞b＞0)上任意一點(不在x軸上),F1,F2為焦點,且∠F1PF2=θ,證明:

(1)△F1PF2的周長為定值2a+2c;

(2)在△F1PF2中,有S△F1PF2=b2·

(3)在△FPF中,有cos1=1-2e2,并且點P在y軸上時θ角的張角最大。

證明：(1)△F1PF2的一邊長為焦距2c,另兩邊的和為定值2a,所以周長為定值2a+2c。

(2)記|PF1|=r1,|PF2|=r2,由橢圓的第一定義得,r1+r2=2a,故(r1+r2)2=4a2。

在△F1PF2中,由余弦定理得-2r1r2cosθ=(2c)2。

配方得(r1+r2)2-2r1r2-2r1r2cosθ=4c2,即4a2-2r1r2(1+cosθ)=4c2。

由任意三角形的面積公式得:

(3)設(shè)|PF1|=r1,|PF2|=r2,則在△F1PF2中,由余弦定理得:

當(dāng)且僅當(dāng)r1=r2,即點P在y軸上時cosθ取得最小值,而角θ取得最大值。

點評:(1)利用橢圓的定義求周長。(2)利用正、余弦定理相結(jié)合求解面積。(3)通過本例要掌握以下結(jié)論:①橢圓上一點和兩焦點組成的三角形叫焦點三角形,有一個角為直角的焦點三角形叫焦點直角三角形;②橢圓中 S△F1PF2=b2tan;③ 在 橢 圓 的△F1PF2中,有cosθ-1=1-2e2,并且點P在y軸上時θ角的張角最大。

跟蹤練習(xí)：

1.求過點 (),且與橢圓=1有相同焦點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

由c2=a2-b2可得b2=4,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1。

點評:充分利用橢圓的定義求解。

2.已知橢圓C=1(a ＞b＞0)的離心率為,點 (2 ,2)在C上。

(1)求C的方程。

(2)直線l不過原點O且不平行于坐標(biāo)軸,l與C有兩個交點A,B,線段AB的中點為M。證明:直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值。

解：(1)由題意有1,解得a2=8,b2=4。

所以C的方程為=1。

(2)(法一)設(shè)直線l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM)。

將y=kx+b代入=1得(2 k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0。

于是直線OM的斜率即k·k=。所以直線OM的斜率與OM直線l的斜率的乘積為定值。

所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值。

點評:圓錐曲線中的定點、定值、定線問題是高考中的?？碱}型,難度一般較大,常常將直線、圓及圓錐曲線等知識結(jié)合在一起,注重對數(shù)學(xué)思想方法的考查。解題時可以通過直接推理、計算,并在計算推理的過程中消去變量,從而得到定值。

本題的一般性結(jié)論:不過原點O的直線l交橢圓C=1于A,B兩點,線段AB的中點為M,則kAB·kOM=