平行四邊形遇上角平分線

翟羽佳

真題呈現(xiàn)

例1 （2021·貴州·貴陽）如圖1，在?ABCD中，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，∠BCD的平分線交AD于點(diǎn)F.若AB = 3，AD = 4，則EF的長是（）.

A. 1 ? ? ? ?B. 2 ? ? ? ?C. 2.5 ? ? ? ?D. 3

追根溯源

八年級下冊第159頁復(fù)習(xí)題第10題：如圖2，在?ABCD中，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，∠BCD的平分線交AD于點(diǎn)F，交BE于點(diǎn)G. 求證：AF = DE.

例1是在上述課本題的基礎(chǔ)上增加了AB = 3，AD = 4作為已知條件，并將求證線段相等改為求線段的長.

破解策略

解決例1的關(guān)鍵是利用平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)得到兩個(gè)等腰三角形，即△ABE和△DCF. 解題過程中需要熟悉三種基本模型：平行四邊形模型、平行線的內(nèi)錯(cuò)角模型（如圖3）和等腰三角形模型. （答案：B）

變式拓展

變式1 例1中兩個(gè)角平分線變?yōu)橐粋€(gè)角平分線，已知角度，變換字母.

例2 （2021·四川·瀘州）如圖4，在?ABCD中，AE平分∠BAD且交BC于點(diǎn)E，∠D = 58°，則∠AEC的大小是（）.

A. 61° ? ? ? ?B. 109° ? ? ? ?C. 119° ? ? ? ?D. 122°

解析：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠D = 58°，

∴AB[?]CD，AD[?]BC，∠B = ∠D = 58°，∴∠BAD = 122°.

∵AE平分∠BAD，∴∠BAE = 61°，

∴∠AEC = ∠B + ∠BAE = 119°.

故選C.

變式2將例1中平行四邊形兩鄰角的平分線變?yōu)閮蓪堑钠椒志€.

例3 （2021·河北·改編）在?ABCD中，AD > AB，∠ABC為銳角. 要在對角線BD上找點(diǎn)N，M，使四邊形ANCM為平行四邊形，現(xiàn)有如圖5中的方案，作AN平分∠BAD，交BD于N，作CM平分∠BCD，交BD于M，則該方案（填“正確”或“不正確”）.

解析：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠BAD = ∠BCD，AB = CD，AB[?]CD，

∴∠ABN = ∠CDM.

∵AN平分∠BAD，CM平分∠BCD，

∴∠BAN = ∠DCM，∴△ABN≌△CDM（ASA），

∴AN = CM，∠ANB = ∠CMD，

∴∠ANM = ∠CMN，

∴AN[?]CM，∴四邊形ANCM為平行四邊形，∴方案正確.

故應(yīng)填正確.

變式3 將例1變換為作圖探索題.

例4 （2021·重慶·B卷）如圖6，四邊形ABCD為平行四邊形，連接AC，且AC = 2AB. 請用尺規(guī)完成基本作圖：作出∠BAC的平分線與BC交于點(diǎn)E. 連接BD，交AE于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)O，猜想線段BF和線段DF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想. （尺規(guī)作圖保留作圖痕跡，不寫作法）

解析：根據(jù)用尺規(guī)作角平分線的步驟作圖，如圖7，射線AE就是所要求作的角平分線. 通過觀察、測量，得到猜想：DF = 3BF.

證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形.

∴OA = OC，OD = OB.

∵AC = 2AB，∴AO = AB.

∵∠BAC的平分線與BC交于點(diǎn)E，

∴BF = FO，∴DF = 3BF.

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★解題時(shí)間：3分鐘

如圖8，在?ABCD中，AB = 2， ∠ABC的平分線與 ∠BCD的平分線交于點(diǎn)E，若點(diǎn)E恰好在邊AD上，則BE2 + CE2的值為.（答案見第37頁）