同一單元系列課主題教研的設(shè)計與實施

鄧文婕 韋娜

【摘要】本文聚焦同一單元系列課主題教研活動，以人教版三年級下冊“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”單元系列課教學研究為例，從單元教學內(nèi)容重構(gòu)與單元教學整體規(guī)劃、單元系列課整體推進策略兩個層面，層次遞進地闡述同一單元系列課主題教研活動的設(shè)計與實施;結(jié)合案例研究探討同一單元系列課促進學生知識自然生長的策略和方法，著重論述種子課、生長課、拓展課三種系列課課型以核心素養(yǎng)為導向的教學立足點及課堂中培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的教學策略。

【關(guān)鍵詞】單元 主題教研 種子課 生長課 拓展課

【中圖分類號】G62 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2022）19-0047-05

傳統(tǒng)的小學數(shù)學單課教研，既不利于師生整體化結(jié)構(gòu)化思維的培育和發(fā)展，也不利于學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培育和發(fā)展。同一單元系列課教研，需要教師秉持單元整體教學的理念，立足教材單元或重組后的教材單元，基于單元教學內(nèi)容的學科本質(zhì)或與單元教學內(nèi)容相關(guān)的學生核心素養(yǎng)培養(yǎng)要求，對整個單元的教學內(nèi)容進行全面重構(gòu)，以種子課、生長課、拓展課等系列課的方式促進師生整體結(jié)構(gòu)化教學思維的形成，在發(fā)展教師專業(yè)能力的同時，切實激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣，發(fā)展學生的數(shù)學關(guān)鍵能力，使學生能夠在理解數(shù)學概念本質(zhì)、習得相關(guān)數(shù)學思想方法的同時，形成和發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)。本文以人教版三年級下冊“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”單元（以下簡稱本單元）系列課教學研究為例，談?wù)勎覀兊淖龇ā?/p>

一、單元教學內(nèi)容重構(gòu)與單元教學整體規(guī)劃

同一單元系列課教學的立足點是教材單元或重組后的教材單元，著眼點是數(shù)學學科本質(zhì)和數(shù)學核心素養(yǎng)。為了強化教師對單元教學的整體規(guī)劃意識，同一單元系列課主題教研需要教師精心梳理教材單元或重組后的教材單元中的教學內(nèi)容，構(gòu)建核心素養(yǎng)視域下的單元教學內(nèi)容框架，從數(shù)學知識技能、思想方法、核心素養(yǎng)三個維度對教學內(nèi)容進行全面解析與重構(gòu)，形成相關(guān)的數(shù)學知識技能結(jié)構(gòu)和數(shù)學思想方法結(jié)構(gòu)，找出單元教學重難點，分析相關(guān)核心素養(yǎng)在種子課、生長課、拓展課系列課教學中的培養(yǎng)策略及教學的結(jié)構(gòu)層次。

本單元屬于小學數(shù)學數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的課程內(nèi)容。在小學階段，數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的課程內(nèi)容主要包括“數(shù)與運算”“數(shù)量關(guān)系”兩大學習主題，兩大學習主題的課程內(nèi)容在學段之間逐段遞進、螺旋上升。本單元內(nèi)容“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”，屬于“數(shù)與運算”主題的學習內(nèi)容，其核心素養(yǎng)主要體現(xiàn)為運算能力?！读x務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出：運算能力主要是指根據(jù)法則和運算律進行正確運算的能力，要求學生“能夠明晰運算的對象和意義，理解算法與算理之間的關(guān)系”“能夠理解運算的問題，選擇合理簡潔的運算策略解決問題”“能夠通過運算促進數(shù)學推理能力的發(fā)展”，“有助于學生形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴謹求實的科學態(tài)度”。

本單元是在學生學習了筆算多位數(shù)乘一位數(shù)的運算之后的知識遞進。站在單元整體教學視角，我們重構(gòu)了本單元的教學內(nèi)容，按照種子課、生長課、拓展課的方式對單元教學進行了如圖1所示的整體規(guī)劃。

備課組以“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進位筆算）”為種子課，重點教學筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)時乘的順序、各部分積的書寫位置及實際意義，使學生能夠正確理解其中的算理;再以“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（進位筆算）”為知識生長課，引導學生基于算理，自主發(fā)現(xiàn)并總結(jié)新知識的“生長點”即兩位數(shù)乘兩位數(shù)進位筆算的方法;最后站在單元整體視角，挖掘后續(xù)學習的延伸點，在拓展課中通過兩組題目的計算，引導學生“探究兩位數(shù)乘法的規(guī)律”，讓學生明白巧算的奧妙，為后續(xù)學習三位數(shù)乘兩位數(shù)積累經(jīng)驗。

二、單元系列課促進學生知識自然生長的整體推進策略

同一單元系列課主題教研按照學生數(shù)學核心素養(yǎng)形成和發(fā)展的邏輯順序，以促進學生知識自然生長為旨歸，依次安排種子課、生長課、拓展課的教學研討。在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，“數(shù)與運算”主題教學的關(guān)鍵要素是意義、算理和算法，其中理解算理、掌握算法是形成運算能力的關(guān)鍵：將算理和算法有機融合，讓學生以理求法、法中有理，由算理直觀化過渡到算法抽象化，從而學會“明白地計算”。在整體推進本單元系列課主題教研的過程中，我們結(jié)合學生的認知特點采取了不同的教學策略，促進學生運算能力的不斷發(fā)展。

（一）種子課：運用數(shù)形結(jié)合思想，引導學生在探究式學習過程中理解筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理，掌握兩位數(shù)乘兩位數(shù)不進位筆算的方法

數(shù)形結(jié)合是一種可以使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具象化的數(shù)學思想方法。將數(shù)形結(jié)合巧妙運用于小學數(shù)學計算教學，可以使學生在心中有形、見數(shù)思形地探索相關(guān)計算方法的過程中自然理解運算的道理，并在明白算理的基礎(chǔ)上掌握正確的算法，最終形成自己的運算能力。在“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進位筆算）”種子課教學中，教師重點通過“嘗試計算·探究算法”“圖式勾連·理解算理”兩個教學環(huán)節(jié)，引導學生探索兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理和算法。

1.嘗試計算·探究算法

課堂中，教師首先課件出示教材單元中的例1，提醒學生可以借助點子圖圈一圈、算一算、說一說，自主探索14×12的計算結(jié)果;之后基于學生自主探索的方法，從中選取幾種代表性的做法，讓學生說一說。

如圖2所示，生1把12行點子平均分成了3個部分，每個部分含4行點子：先用多位數(shù)乘一位數(shù)的算法，計算14×4=56，也就是先算買4套書是多少本，再用這個結(jié)果乘3，就是買12套書一共有多少本。在學生陳述圈算方法的過程中，教師追問“14×4在點子圖的哪里”“56×3在點子圖的哪里”，對學生進行數(shù)形結(jié)合的學法引導。

如圖3所示，生2把12行點子分成了10行和2行：先算14×10=140，也就是買10套書有多少本;再算14×2=28，也就是買2套書有多少本;再算140+28=168，就是買12套書一共有多少本。此法符合算法優(yōu)化策略，且已觸及本課教學的知識生長點，是不可錯失的課程資源。

師：你是怎么想到的？

生2：把12分成10和2，就變成了兩位數(shù)乘整十數(shù)和兩位數(shù)乘一位數(shù)，這樣計算比較簡單。

師：你能找到14×10、14×2、140+28分別在點子圖的哪里嗎？

生2：（學生指圖作答后繼續(xù)發(fā)言）我還可以列豎式計算。（師課件呈現(xiàn)如圖4所示學生所列豎式）先用個位上的2去乘14，將結(jié)果8寫在個位上，將2×1的結(jié)果2寫在十位上;接著用十位上的1去乘14，將1×4的結(jié)果4寫在十位上、1×1的結(jié)果1寫在4的左邊;最后把兩次相乘的積相加，結(jié)果是168。

師：同學們有什么問題要問他嗎？

生3：為什么1乘4的積要寫在十位上？

生2：因為1在十位上，表示1個十乘4得4個十，所以要寫在十位上。用十位上的1去乘14得14個十，也就是140，末尾的0可以省略不寫，這樣更簡便。

師：生2的講解很棒！請同學們看下面的豎式（課件呈現(xiàn)如圖5所示豎式），并完成填空，想一想豎式中第一步的積28表示什么？第二步的積140表示什么？

2.圖式勾連·理解算理

該教學環(huán)節(jié)的重點是基于學生的圈算與思考，讓學生厘清算理，學會明白地計算。教學中，教師并列呈現(xiàn)了如圖6所示生2所說的豎式與圈圖，讓學生說說其中的數(shù)形關(guān)系。

生1：豎式計算先用個位上的2去乘14，和點子圖第二塊的點子數(shù)是一樣的。

生2：豎式計算第二步用十位上的1去乘14，和點子圖第一塊的點子數(shù)是一樣的，都是算14×10的積。

生3：豎式和點子圖都是把12拆分成10和2，先分別計算，再把它們的積合起來。

學生交流后，教師用課件動態(tài)演示豎式與點子圖的一一對應(yīng)、相互勾連，再進行小結(jié)：兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算，豎式計算只是分解與組合的一個變形。其實，不管是點子圖還是豎式計算，“先分后合”都是為了將新知識轉(zhuǎn)化成舊知識，把兩位數(shù)乘兩位數(shù)轉(zhuǎn)化成我們學過的兩位數(shù)乘一位數(shù)和兩位數(shù)乘整十數(shù)，再進行計算。

最后教師又引導學生觀察和思考橫式中的14×10、14×2分別在點子圖的哪里，點子圖里的14×10、14×2又分別在橫式的哪里，并得到了學生的正確回應(yīng)。

以上種子課教學，運用數(shù)形結(jié)合思想推進學生的自主探究與思考：在學生自主探究14×12的積的時候，教師讓學生在點子圖上圈圈算算，得出不同的算法，并以學生的點子圖為藍本，指引學生明確其所列橫式與點子圖的一一對應(yīng)關(guān)系，初步感受其中所蘊含的數(shù)形結(jié)合思想，溝通數(shù)、形之間的內(nèi)在聯(lián)系;在師生交流兩位數(shù)乘兩位數(shù)不進位筆算的算理、算法的過程中，教師聚焦生2的點子圖、豎式和橫式，將它們用動態(tài)演示的方式進行了分步勾連，讓學生看清算法形成的過程，促進學生理解算法中的算理。

（二）生長課：理法結(jié)合，問題導學，培養(yǎng)和發(fā)展學生自主推導兩位數(shù)乘兩位數(shù)進位筆算方法的能力

在小學數(shù)學計算教學中，算法與算理相輔相成：算理為算法提供理論支撐，算法是算理的概括與凝練，只有理法結(jié)合才能有效促進學生運算能力的提升。教師借助直觀演示，幫助學生搭建算理與算法之間的橋梁，促進學生對算理和算法的理解與內(nèi)化。

將“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（進位筆算）”作為“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進位筆算）”的生長課，其知識生長點體現(xiàn)在運算過程中的“進位”上，進位計算增加了運算過程的復(fù)雜程度。在“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（進位筆算）”生長課教學中，教師課件出示教材單元中的例2，讓學生嘗試運用豎式計算48×37的結(jié)果，并提醒學生：“在計算過程中如果遇到問題，想想能否用自己曾經(jīng)學過的知識解決？計算完畢，同桌再交流自己的算法?！睂⑿轮D(zhuǎn)化為舊知，教師始終在指導學生自主學習的方法。教師在巡堂過程中留意發(fā)現(xiàn)有價值的學情資源，請生1上臺板演了如圖7所示的豎式計算，并進行了說明。

生1：我先用個位上的7去乘48，算出7個班需要多少盒酸奶，計算中注意進位，為了防止遺忘，可以把進位的數(shù)字寫在7的左下方;再用十位上的3乘48，表示30個班需要多少盒酸奶。最后把兩次的結(jié)果加起來，7個班的加上30個班的，正好是37個班的學生所需要的酸奶總盒數(shù)。

師：第一次乘積336中百位上的3是怎么算出來的？

生1：個位上的7乘個位上的8得56，個位上寫6，向十位進5;再用個位上的7乘十位上的4得28，十位上8加5等于13，十位上寫3，向百位進1;百位上2加1等于3，所以百位上也是3。

師：第二次乘積中百位上的4是怎么算出來的？

生1：十位上的3乘個位上的8得24，在十位上寫4，向百位進2;十位上的3乘十位上的4得12，百位上的2加進位2等于4，所以百位上寫4。

師：于是我們可以得出如下結(jié)論。（帶學生一起總結(jié)）計算第二個乘數(shù)十位上3乘第一個乘數(shù)的每一位時，哪一位滿幾十向前一位進位幾，可以用筆將進位的數(shù)字標注在第二個乘數(shù)相應(yīng)數(shù)字的左下角，也可以記在心中，下一步計算時千萬別忘記加上這個“進位的數(shù)”。

師：這節(jié)課，大家利用學過的知識，解決了一個新問題！現(xiàn)在，請大家把今天學習的兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算乘法和之前學過的兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算乘法進行比較，你們發(fā)現(xiàn)了什么不同？

生：上節(jié)課的筆算乘法每一次乘的時候都不需要進位，今天的筆算乘法出現(xiàn)了比較多的進位。

師：（在課題中補充板書“進位”二字）比較這兩節(jié)課所學的筆算乘法，大家想一想，它們的計算過程有什么相同的地方？（帶學生一起小結(jié)）都是先用第二個乘數(shù)的個位數(shù)去乘第一個乘數(shù)的每一位數(shù)，得數(shù)末位和乘數(shù)的個位對齊;再用第二個乘數(shù)的十位數(shù)去乘第一個乘數(shù)的每一位數(shù)，得數(shù)末位和乘數(shù)的十位對齊;最后把兩次乘得的積加起來。

師：筆算時要特別注意什么？

生：計算中哪一位滿幾十就向前一位進幾。

以上生長課教學，教師以學生在種子課上所學的知識為基礎(chǔ)：先讓學生自主運用已學知識嘗試列豎式計算48×37;再提問學生“第一次乘積336中百位上的3是怎么算出來的”“第二次乘積中百位上的4是怎么算出來的”，聚焦本課知識“生長點”——兩位數(shù)乘兩位數(shù)的進位筆算即滿幾十向前一位進幾，適時組織課堂討論，為學生的知識生長搭建“腳手架”，留出時間和空間;最后順應(yīng)學生的學習體驗，因勢利導啟發(fā)學生總結(jié)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算方法，建構(gòu)新的運算法則，提升學生的運算能力。

（三）拓展課：對比類推，引導學生基于乘數(shù)的特殊性探究巧算的道理，進一步提升學生的運算能力

在運算能力核心素養(yǎng)中，理解算理、掌握算法固然重要，“能夠理解運算的問題，選擇合理簡潔的運算策略解決問題”“能夠通過運算促進數(shù)學推理能力的發(fā)展”更能提升學生的運算思維品質(zhì)。

對比類推是根據(jù)兩個對象在某種屬性上相同或相似，通過比較而推斷出它們在其他屬性上也相同或相似的推理過程。在拓展課教學中，教師引導學生在溝通算理與算法的基礎(chǔ)上經(jīng)歷“計算—分析—猜想—驗證猜想”的過程，發(fā)展思維的深刻性與敏銳性，從中發(fā)現(xiàn)新的運算規(guī)律，促進推理能力和運算能力的同步發(fā)展，實現(xiàn)明白、合理、簡便地計算。在“探究兩位數(shù)乘法的規(guī)律”的拓展課教學中，教師運用對比類推的方法，引導學生分別探究兩個相同的兩位數(shù)相乘、兩個“同頭尾合十”的兩位數(shù)相乘中所蘊含的新的運算規(guī)律。

1.探究兩個相同兩位數(shù)相乘的運算規(guī)律

課堂中，教師基于該單元“練習十”中的第10題，設(shè)計了一個“計算大王”比賽，讓學生在1分鐘內(nèi)快速計算15×15、25×25、35×35、45×45、55×55、65×65、75×75、85×85、95×95的積，并評選出本班的“計算大王”;之后要求“計算大王”介紹算得又對又快的方法，引導學生學會發(fā)現(xiàn)兩個相同的兩位數(shù)相乘的計算規(guī)律，讓學生學會巧算。“計算大王”的方法是把它們的乘積分成低位和高位兩個部分，用因數(shù)的個位數(shù)、十位數(shù)各自相乘得出計算的結(jié)果：（1）兩個因數(shù)的個位數(shù)相乘即5×5=25作為積的低位數(shù);（2）乘數(shù)的十位數(shù)×（乘數(shù)的十位數(shù)+1）作為積的高位數(shù)。如65×65的高位是6×（6+1）=42，低位是5×5=25，于是結(jié)果是4 225。

從結(jié)果倒推計算過程，雖然結(jié)論不差，可其中的算理何在呢？筆者再次“請”出了數(shù)形結(jié)合數(shù)學思想，引導學生去經(jīng)歷溝通豎式、點子圖之間內(nèi)在聯(lián)系的過程，以一種全新的四步計算對二步計算進行升級，讓學生從中提煉新的算法，明白該算法中所蘊含的算理。以15×15為例，先是呈現(xiàn)了生1列出的15×15的豎式和點子圖，并在點子圖中表示了豎式計算的每一步，如圖8（1）所示;之后教師課件呈現(xiàn)了自己給出的如圖8（2）所示的點子圖和豎式計算，并詢問學生“這樣寫可以嗎”，生齊答“可以”。于是教師讓大家“找一找老師的豎式和生1的豎式之間存在哪些內(nèi)在聯(lián)系，再說一說理由”。

生2：老師的豎式中有25+50=75，50+100=150。

師：也就是說，將生1的75分成了5個5和5個10，將生1的150分成了10個5和10個10。（生點頭。師課件出示：5個5和5個10，10個5和10個10。）

師：那你能在點子圖中找到這個豎式的計算過程嗎？

生2：老師把另一個因數(shù)15也進行了分割，分成了10和5。這樣，上面就變成了10×10=100，10×5=50;下面就變成了5×10=50，5×5=25。

師：這樣就把點子圖分成了4個部分。這也說明，豎式4步計算和2步計算之間是有聯(lián)系的。（教師運用課件動態(tài)演示，引導學生找到點子圖和豎式4步計算之間的一一對應(yīng)關(guān)系）

接下來，教師課件呈現(xiàn)計算題25×25及其點子圖，引導學生模仿老師的豎式4步計算方法，說一說25×25的計算過程，學生順利給出正確解答。最后，教師安排學生在探究卡上的題目35×35、45×45、55×55、65×65中任選一題，運用4步計算的方法進行豎式計算，進一步溝通點子圖和4步豎式計算之間的內(nèi)在聯(lián)系，探討“計算大王”算法的合理性。

課堂中，教師課件呈現(xiàn)“計算大王”的算法和學生運用4步計算方法完成的4道練習題，然后與學生展開了下面的對話。

師：我們回頭看一下“計算大王”的算法，再觀察這些豎式的計算過程，你有什么發(fā)現(xiàn)？（同桌交流）誰來說說為什么積的末尾是25？

生1：十位乘十位和交叉相乘的積的和都是整百數(shù)，所以積的后兩位一定是因數(shù)個位數(shù)相乘的結(jié)果，即25。

生2：十位與個位交叉相乘的積的和，剛好是十位上的整百數(shù)。

師：同學們運用自己的智慧解釋了積的低位都是25。那么，為什么積的高位上的數(shù)是乘數(shù)的十位上的數(shù)×（乘數(shù)的十位上的數(shù)+1）？誰來解釋一下？（生無應(yīng)答）

師：沒關(guān)系，我們請出前面的點子圖，或許它能讓我們明白“為什么”。請大家仔細觀察?。◣煶鍪救鐖D9所示點子圖，借助多媒體課件進行動態(tài)演示，促進學生的理解。）

師：通過點子圖的變化我們可以發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律。（1）5個20加5個20，等于10個20，比原來多了10個20，所以在十位上加1（板書：10個20;20個20）;5個30加5個30，等于10個30，比原來多了10個30，所以在十位上加1;5個40加5個40，等于10個40，比原來多了10個40，所以在十位上加1……看來，在十位上加的這個1，是因為個位和十位交叉相乘部分的和都是10個幾十。所以積的高位上的數(shù)就是乘數(shù)的十位上的數(shù)×（乘數(shù)的十位上的數(shù)+1）。

2.探究兩個“同頭尾合十”兩位數(shù)相乘的規(guī)律

運用4步計算的方法解決問題，拓展“同頭尾合十”算式的新算法，引導學生進一步理解巧算的道理。課堂中，教師課件出示算式17×13=221，62×68=4 216，44×46=2 024。讓學生觀察以上算式，發(fā)現(xiàn)其共同特征。學生很快發(fā)現(xiàn)：每個算式中的兩個因數(shù)之間都存在“十位相同，個位的和是10”的共同特征。教師把這個特征概括為“同頭尾合十”。然后讓學生基于算式“31×□□”，寫出一個同頭尾合十的算式;根據(jù)算式“□□×□□=616”“□□×□□=3 024”的結(jié)果推導其“同頭尾合十”算式。學生基于前面探討兩個相同兩位數(shù)相乘的運算規(guī)律的學習方法，探討“同頭尾合十”算式的運算規(guī)律，最終發(fā)現(xiàn)二者具有相同的運算規(guī)律，真是意外驚喜。

以上拓展課教學，教師基于數(shù)學基礎(chǔ)課程，從教材的練習題中挖掘可拓展的課程資源，將習題通過變式、引申、重組，變封閉為開放、變單一為多元，進一步發(fā)展學生的結(jié)構(gòu)化思維，讓學生在解決“一類”問題的過程中不斷發(fā)展運算能力、提升巧算水平，從中感受數(shù)學學習的樂趣。

同一單元系列課主題教研，不僅促進了教師專業(yè)能力的提升，而且有效發(fā)展了學生的學科核心素養(yǎng)：種子課促進了學生對數(shù)學的理解，為學生的知識生長種下了豐實的種子，讓學生明確了知識生長的方向;生長課引領(lǐng)學生照著種子課既定的方向，讓知識順利地生根發(fā)芽，變得枝繁葉茂;拓展課基于學科本質(zhì)促進學生理解水平的提升，使學生的知識生長結(jié)出更為豐碩的果實。如果說種子課和生長課是追求知識的“寬”，那么拓展課就是在追求思維的“深”和“精”。同一單元系列課主題教研，給教師的常態(tài)教研帶來了更多驚喜，也為學生的核心素養(yǎng)發(fā)展提供了一個很好的支架。

參考文獻

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作者簡介：鄧文婕（1984— ），廣西融水人，一級教師，主要研究方向為基于核心素養(yǎng)的小學數(shù)學單元結(jié)構(gòu)化教學;韋娜（1979— ），廣西柳州人，一級教師，主要研究方向為核心素養(yǎng)下的小學數(shù)學單元作業(yè)設(shè)計。

（責編 白聰敏）