投石問路　遷移轉(zhuǎn)化

胡軼群

[摘 要]“多邊形的內(nèi)角和”是蘇教版四年級下冊的一節(jié)探索規(guī)律的活動課。這節(jié)課主要引導(dǎo)學(xué)生通過操作活動發(fā)現(xiàn)多邊形內(nèi)角和的計算方法，讓學(xué)生經(jīng)歷由特殊到一般的學(xué)習(xí)過程，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，感悟轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

[關(guān)鍵詞]類比遷移;自主探究;小組合作;歸納推理

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2022）20-0050-03

【教材分析】

“多邊形的內(nèi)角和”在人教版教材中沒有設(shè)立獨立的章節(jié)，但是在四年級下冊第68頁中有關(guān)于求多邊形的內(nèi)角和的拓展內(nèi)容，以及六年級下冊第103頁中也有相關(guān)練習(xí)，但拓展的內(nèi)容不深，而蘇教版教材在四年級下冊專門設(shè)立一個章節(jié)來探索多邊形的內(nèi)角和的規(guī)律，旨在讓學(xué)生經(jīng)歷探究問題的過程，并從中獲得合情推理的經(jīng)驗。

【課前思考】

第一，教與學(xué)的方式。先引導(dǎo)學(xué)生畫圖分析，待學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律后，再利用幾何畫板直觀展示，激發(fā)學(xué)生自主探究問題的興趣。

第二，課堂氛圍的調(diào)控。以解決問題為目的，讓學(xué)生在一個寬松愉快的氛圍中自主發(fā)現(xiàn)并解決問題，感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系。

基于以上兩點思考，筆者確定了以下教學(xué)目標(biāo)：

1.讓學(xué)生探索并了解多邊形內(nèi)角和的計算方法，能運用多邊形內(nèi)角和的知識解決相關(guān)問題。

2.讓學(xué)生經(jīng)歷探索多邊形的內(nèi)角和的全過程，積累探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的經(jīng)驗，體會轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，激發(fā)他們的探究意識和培養(yǎng)他們的動手能力。

3.讓學(xué)生體會轉(zhuǎn)化、類比、化歸的思想在幾何中的運用，發(fā)展空間觀念，進(jìn)而體會從特殊到一般的歸納推理方法。

【教學(xué)重點】

培養(yǎng)學(xué)生的探究意識，用探究的方法獲得解決問題的經(jīng)驗。

【教學(xué)難點】

總結(jié)活動過程，形成知識經(jīng)驗，運用活動經(jīng)驗解決其他問題。

【教學(xué)過程】

一、趣味導(dǎo)入，類比遷移

師： 正式上課之前，老師請同學(xué)們猜一個謎語——三足鼎立，謎底與數(shù)學(xué)圖形有關(guān)。

生（齊）：三角形。

師：對，謎底是三角形。誰能說一說，我們學(xué)了三角形的哪些知識？

生1：三角形有三條邊，三角形具有穩(wěn)定性。

生2：三角形有三個角。

生3：按角分，三角形可以分成銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。

生4：三角形的內(nèi)角和是180°。

師：同學(xué)們對三角形的知識掌握得真牢固??！說到三角形的內(nèi)角和，你們有什么發(fā)現(xiàn)呢？

生5：三角形有大有小，但無論形狀如何變化，它的內(nèi)角和卻是固定不變的，都是180°。

師：真棒！同學(xué)們想象一下，其他多邊形的內(nèi)角和會是怎樣的呢？也是一個固定不變的度數(shù)嗎？

生6：我覺得其他多邊形的內(nèi)角和可能會比180°大。

生7：其他多邊形的內(nèi)角和應(yīng)該也是一個固定的度數(shù)，估計和180°有關(guān)系。

生8：有什么好方法可以很快地求出多邊形的內(nèi)角和呢？

師：下面我們就帶著這些問題走進(jìn)今天的課堂。

（反思：首先，教師用猜謎語的情境引出三角形，既提高了學(xué)生的興趣，又讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與文學(xué)的聯(lián)系。然后，通過引導(dǎo)學(xué)生對舊知——三角形相關(guān)知識的回顧，將重點放在三角形“無論形狀如何變化，它的內(nèi)角和卻是固定不變的”這一結(jié)論上，由此激發(fā)學(xué)生進(jìn)行類比、遷移、猜想活動，并提出問題：其他多邊形的內(nèi)角和會是怎樣的呢？也是一個固定不變的度數(shù)嗎？最后，帶著這些問題進(jìn)行教學(xué)，這些問題就是本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，是教學(xué)活動的靈魂。）

二、學(xué)生自主探究四邊形的內(nèi)角和

1.師生交流，確定研究方法

師：多邊形有很多，你們認(rèn)為應(yīng)該從幾邊形開始研究呢？

生1：四邊形。

師：是的，由簡單到復(fù)雜是探究新知的一種重要的方法。下面我們就從探究四邊形的內(nèi)角和開始。誰來說一說“四邊形的內(nèi)角和”指的是什么？

生2：就是4個角的總度數(shù)。

師：四邊形的內(nèi)角和會是多少度呢？

生3：360°。因為長方形和正方形都是四邊形，它們都有4個直角，內(nèi)角和就是4個90°，所以四邊形的內(nèi)角和是90°×4=360°。

師：長方形和正方形是特殊的四邊形，它們的內(nèi)角和是360°。如果是一般的四邊形，又怎樣求它們的內(nèi)角和呢？

生4：先用量角器量出4個角的度數(shù)，再相加。

師：這個方法當(dāng)然行得通，但是……

生5：但是操作起來太麻煩，而且有時候也會量不準(zhǔn)，這樣結(jié)果就會出現(xiàn)誤差。

師：能不能想辦法將四邊形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化成三角形的內(nèi)角和，再來求一求呢？請同學(xué)們拿出學(xué)習(xí)探究單試一試。

（反思：如何提高探究活動的有效性是引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的關(guān)鍵。在上述環(huán)節(jié)中，教師首先引導(dǎo)學(xué)生從特殊的四邊形入手，猜想出四邊形的內(nèi)角和是360°，然后讓學(xué)生思考如何求一般的四邊形的內(nèi)角和的問題。對于有學(xué)生想到的測量方法，教師在肯定的同時還指出這并不是最佳的研究方法，并提示“能不能想辦法將四邊形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化成三角形的內(nèi)角和”，鼓勵學(xué)生大膽嘗試、勇于實踐，把學(xué)生的探究活動指向核心——運用轉(zhuǎn)化的思想解決問題。）

2.學(xué)生展示，師生共同交流

師：（出示圖1）請說說你的想法？

生1：如圖2，用虛線連接四邊形相對的兩個頂點，把四邊形分成兩個三角形。因為一個三角形的內(nèi)角和是180°，所以四邊形的內(nèi)角和是180°×2=360°。

師：老師來補(bǔ)充一下，四邊形本來有4個內(nèi)角，生1通過分割的方法，把相對的2個角變成了4個角。這樣一來，四邊形的內(nèi)角和就變成了6個角的和，而這6個角的和恰好是2個三角形的內(nèi)角和，即180°×2=360°。同學(xué)們聽明白了嗎？

生（齊）：明白了。

師：這種方法是數(shù)學(xué)上一種非常重要的思想方法——轉(zhuǎn)化法。這條分割四邊形的虛線，在數(shù)學(xué)上叫輔助線。

（反思：本環(huán)節(jié)的重點是轉(zhuǎn)化法的思維過程。通過展示學(xué)生的作品，強(qiáng)調(diào)轉(zhuǎn)化的方法，用一條虛線把四邊形分成2個三角形，則四邊形的4個內(nèi)角的和剛好是2個三角形的內(nèi)角和，即180°×2=360°。）

師：只要將四邊形轉(zhuǎn)化為2個三角形，是不是就可以得到四邊形的內(nèi)角和？

生（齊）：是的。（學(xué)生毫不猶豫地回答）

師：再來看看另一位同學(xué)的分割方法（出示圖3）。你有什么想說的？

生2：這樣分割，得到3個三角形，四邊形的內(nèi)角和是540°。

生3：我覺得不對。

師： 是哪里出了問題？

生4：四邊形被分割成了3個三角形，但有的三角形的內(nèi)角并不是四邊形的內(nèi)角。

師：太棒了，你真是個善于發(fā)現(xiàn)問題、積極思考的好孩子！誰能指一指哪些角不是四邊形的內(nèi)角？請用筆做上標(biāo)記。

生5：在四邊形的一條邊上的3個角不是四邊形的內(nèi)角（上臺指）。

師：原來有3個角不是四邊形的內(nèi)角，導(dǎo)致求得的四邊形的內(nèi)角和出錯。對于這個錯誤，同學(xué)們可不可以進(jìn)行修正呢？

生6：可以，只要從540°中減去180°即可。

師：請你說說理由。

生6：因為多數(shù)的3個角剛好是一個平角（如圖4），平角等于180°。

師：太厲害了！為你的精彩發(fā)言鼓掌（師生鼓掌）?？磥恚覀冊诜指顣r，轉(zhuǎn)化后的三角形的內(nèi)角必須是四邊形的內(nèi)角，不能多也不能少。

師：老師發(fā)現(xiàn)還有同學(xué)是這樣算的（出示圖5）。

（反思：精彩能容“錯”，借助學(xué)生的“錯例”，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考轉(zhuǎn)化法的本質(zhì)，不僅是把四邊形分割成三角形，還要看分割后的三角形的所有內(nèi)角是不是四邊形的內(nèi)角。教師給予足夠的時間讓學(xué)生修正錯誤，加深了學(xué)生對轉(zhuǎn)化法的理解——不能多也不能少。

三、小組合作探索五邊形、六邊形的內(nèi)角和

1.小組探究

師：我們已經(jīng)知道了四邊形的內(nèi)角和是360°，同學(xué)們想知道更多關(guān)于多邊形內(nèi)角和的問題嗎？

（學(xué)生在學(xué)習(xí)探究單上找到五邊形、六邊形，小組內(nèi)交流方法）

2.展示匯報

生1：我把五邊形分割成3個三角形（如圖6），得到五邊形的內(nèi)角和是180°×3=540°。

生2：我把五邊形分割成1個三角形和1個四邊形（如圖7），得到五邊形的內(nèi)角和是180°+360°=540°。

生3：六邊形可以分割成4個三角形（如圖8），它的內(nèi)角和是180°×4=720°。

生4：六邊形還可以分割成2個四邊形（如圖9），360°+360°=720°。

師：大家的想法都非常妙！看來求多邊形的內(nèi)角和并不難，只要會用分割的方法，把多邊形轉(zhuǎn)化為三角形或四邊形來計算，就可以得到正確的結(jié)果。

3.歸納推理，揭示規(guī)律

（1）豎著看表1。多邊形的邊數(shù)越多，分成的三角形的個數(shù)就越多，內(nèi)角和就越大。

（2）橫著看表1。多邊形的邊數(shù)比分成的三角形的個數(shù)多2，則多邊形的內(nèi)角和=180°×分成的三角形的個數(shù)=180°×（邊數(shù)-2）。

（反思：在學(xué)生充分理解了四邊形的內(nèi)角和為360°的基礎(chǔ)上，教師放手讓學(xué)生自主探究五邊形、六邊形的內(nèi)角和。這說明教師很好地把握了教學(xué)內(nèi)容的“寬度”與學(xué)生理解的“深度”之間的關(guān)系。在展示匯報環(huán)節(jié)，教師要求學(xué)生根據(jù)轉(zhuǎn)化的圖形說出問題解決的思路，以了解學(xué)生思維的差異，把自主探究環(huán)節(jié)與之前探究四邊形的內(nèi)角和的活動進(jìn)行鏈接，形成一個完整的知識體系。在歸納推理的過程中，引導(dǎo)學(xué)生通過填表格，揭示多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)之間的關(guān)系，成就了課堂的精彩。）

四、鞏固提升，學(xué)以致用

出示鞏固練習(xí)題：

1.一個多邊形的內(nèi)角和等于720°，這個多邊形有（? ）條邊。

2.一個多邊形的邊數(shù)增加1，則內(nèi)角和增加的度數(shù)是（? ）。

3.選擇題：將一個四邊形截去一個角后，得到的多邊形的內(nèi)角和（? ）。

A.不變? ? B.增加? ? C.減少? ? D.無法確定

（反思：本環(huán)節(jié)的練習(xí)題既有基礎(chǔ)知識的運用，又有開放性思考的拓展，很好地展示了拓展類練習(xí)題的作用。）

【整體反思】

“多邊形的內(nèi)角和”雖然在各版教材中側(cè)重不同，但教師都應(yīng)以學(xué)生現(xiàn)有的知識水平為起點，通過滲透方法、凸顯過程，使學(xué)生充分感受結(jié)論的得出及規(guī)律產(chǎn)生的過程，掌握多邊形內(nèi)角和的計算方法，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的意識。

綜上所述，在探究四邊形內(nèi)角和時，學(xué)生從用量角器測量求內(nèi)角和到分割轉(zhuǎn)化成三角形求內(nèi)角和，是一個重要的思維跨越，說明學(xué)生對規(guī)律有了初步感知。教師用問題來引導(dǎo)學(xué)生自主探究，注重滲透數(shù)學(xué)思想方法，遵循由特殊到一般、由個性到共性、由猜想到驗證的探究規(guī)律，讓學(xué)生“知其然，更“知其所以然”。

（責(zé)編 李琪琦）