無(wú)窮大的和與差等價(jià)代換定理及應(yīng)用

田學(xué)剛，王少英

無(wú)窮大的和與差等價(jià)代換定理及應(yīng)用

田學(xué)剛，王少英

（濱州學(xué)院 理學(xué)院，山東 濱州 256603）

研究自變量趨于有限值情形下無(wú)窮大的和與差等價(jià)代換問(wèn)題．利用泰勒公式刻畫(huà)出任意２個(gè)無(wú)窮大的和與差，當(dāng)２個(gè)無(wú)窮大等價(jià)時(shí)，給出它們差的等價(jià)代換定理；當(dāng)２個(gè)無(wú)窮大負(fù)等價(jià)時(shí)，給出它們和的等價(jià)代換定理．結(jié)合具體實(shí)例探討等價(jià)代換定理在解決含無(wú)窮大和差的復(fù)雜未定式極限中的應(yīng)用．

無(wú)窮大；等價(jià)；泰勒公式

極限是高等數(shù)學(xué)的主要工具，熟練掌握求極限的方法對(duì)理工科學(xué)生的專(zhuān)業(yè)學(xué)習(xí)非常重要，同時(shí)極限的計(jì)算也是碩士研究生考試的重點(diǎn)內(nèi)容[1]．關(guān)于無(wú)窮大的比較及等價(jià)代換引起了國(guó)內(nèi)學(xué)者的廣泛關(guān)注，文獻(xiàn)[2-4]給出無(wú)窮大比較的定義，提出了無(wú)窮大階的概念，在２個(gè)無(wú)窮大非負(fù)等價(jià)（非等價(jià)）時(shí)利用極限運(yùn)算法則研究了２個(gè)無(wú)窮大和（差）的等價(jià)代換，并推廣到有限個(gè)無(wú)窮大的情況．孫衛(wèi)衛(wèi)[5]等在研究無(wú)窮大和差代換的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究了冪指函數(shù)中的等價(jià)無(wú)窮大代換問(wèn)題，給出了其在冪指函數(shù)的實(shí)例應(yīng)用．李紅菊[6]等利用極限運(yùn)算法則研究了一類(lèi)分子是無(wú)窮大差的分式未定式，得到了無(wú)窮大的差能代換的充分條件．李海霞[7]等討論了幾個(gè)常見(jiàn)無(wú)窮大階的比較，重點(diǎn)給出了在極限計(jì)算、判定方程有根等方面的應(yīng)用．張燕[8]等通過(guò)舉例說(shuō)明了２個(gè)相互等價(jià)的無(wú)窮大的差不一定是無(wú)窮大．王禧宏[9]和孟獻(xiàn)青[10]討論了利用無(wú)窮大和無(wú)窮小的關(guān)系求極限的方法．這些成果豐富了無(wú)窮大代換定理，為更好地求極限奠定了基礎(chǔ)．目前，尚未解決的問(wèn)題是２個(gè)相互等價(jià)的無(wú)窮大的差是否還是無(wú)窮大，２個(gè)相互等價(jià)的無(wú)窮大的差如何替換，以前的主要研究方法是極限運(yùn)算法則和初等變形，本文利用無(wú)窮大和無(wú)窮小的關(guān)系、泰勒公式等技巧研究２個(gè)無(wú)窮大和與差的代換問(wèn)題，給出尋找等價(jià)無(wú)窮大的方法和應(yīng)用實(shí)例．

1　主要結(jié)果及證明

定理２的證明方法與定理1類(lèi)似．

同理可以證明結(jié)論（2）． 證畢．

2　實(shí)例應(yīng)用

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系．高等數(shù)學(xué)：上冊(cè)[M]．7版 北京：高等教育出版社，2014：52-55．

[2] 王梅英，陸偉東．無(wú)窮小與無(wú)窮大的階在極限運(yùn)算及判級(jí)數(shù)斂散性中的應(yīng)用[J]．南京審計(jì)學(xué)院學(xué)報(bào)，2007，4（2）：73-76．

[3] 劉桂仙，劉慶升．求極限的等價(jià)無(wú)窮大代換[J]．高等數(shù)學(xué)研究，2011，14（1）：51-52．

[4] 張傳芳．再談關(guān)于無(wú)窮大量的等價(jià)性問(wèn)題[J]．高等數(shù)學(xué)研究，2020，23（5）：5-6，9．

[5] 孫衛(wèi)衛(wèi)，孫建英．等價(jià)無(wú)窮大在未定式計(jì)算中的應(yīng)用[J]．哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)版學(xué)報(bào)，2014，30（3）：69-72．

[6] 李紅菊，丁健．關(guān)于等價(jià)無(wú)窮大量代換求極限的補(bǔ)充[J]．長(zhǎng)春大學(xué)學(xué)報(bào)，2015，25（10）：46-50．

[7] 李海霞，聶東明．無(wú)窮大的比較及應(yīng)用[J]．山東農(nóng)業(yè)工程學(xué)院學(xué)報(bào)，2016，33（10）：131-132．

[8] 張燕，程翔宇．無(wú)窮大相減極限問(wèn)題求解[J]．安徽水利水電職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2018，18（1）：68-70．

[9] 王禧宏．?dāng)?shù)列及函數(shù)極限不存在、無(wú)界及有關(guān)無(wú)窮大問(wèn)題的討論[J]．高等數(shù)學(xué)研究，1998（3）：25-26．

[10] 孟獻(xiàn)青．幾類(lèi)常見(jiàn)函數(shù)的極限計(jì)算方法[J]．山西大同大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2020，36（6）：33-36．

Equivalent substitution theorem of sum and difference of infinity and its application

TIAN Xuegang，WANG Shaoying

（School of Science，Binzhou University，Binzhou 256603，China）

The equivalent substitution of the sum and difference of infinity was studied when the independent variable tends to finite value．The sum and difference of any two infinities are firstly characterized by Taylor formula，and then the equivalent substitution theorem of their difference is given when two infinities are equivalent，and meanwhile the equivalent substitution theorem of their sum is provided when two infinities are negatively equivalent．Finally，some specific examples are given to show the application of equivalent substitution theorem in the calculation of complex indefinite form limit with infinite sum and difference．

infinity；equivalence；Taylor formula

1007-9831（2022）11-0026-06

O172

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2022.11.005

2022-04-13

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（61703050）——網(wǎng)絡(luò)化隨機(jī)系統(tǒng)的事件觸發(fā)濾波與故障檢測(cè)；濱州學(xué)院重點(diǎn)教改項(xiàng)目（BYJYZD201808）——新工科下基于應(yīng)用型人才培養(yǎng)的高等數(shù)學(xué)模塊化分層教學(xué)研究與實(shí)踐；濱州學(xué)院教改項(xiàng)目（BYJYYB201733）——基于專(zhuān)業(yè)服務(wù)的應(yīng)用型本科院校高等數(shù)學(xué)課程改革研究與實(shí)踐

田學(xué)剛（1980-），男，山東鄒平人，講師，碩士，從事泛函分析和控制理論研究．E-mail：xuegangtian@163.com