在數(shù)學教學中從代數(shù)出發(fā)理解函數(shù)

摘 要：數(shù)學教學中，教師可嘗試從代數(shù)出發(fā)講授函數(shù).數(shù)是對事物的抽象，是具體的，代數(shù)用文字或符號表示普遍的數(shù)，在此基礎上，教師可引導學生認識代數(shù)產(chǎn)生的原因、代數(shù)式的分類、代數(shù)與運算法則、代數(shù)與方程、代數(shù)與公式等.為描述運動變化的數(shù)學，人們在代數(shù)基礎上發(fā)明了函數(shù).教師可從代數(shù)式的不定結(jié)果、代數(shù)與方程、代數(shù)與數(shù)軸、代數(shù)變量間關(guān)系等角度全面講述函數(shù)概念.

關(guān)鍵詞：代數(shù);方程;數(shù)軸;變量;函數(shù)

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A? ?文章編號：1008-0333（2022）24-0008-03

收稿日期：2022-05-25

作者簡介：胡乙（1982.5-），男，江蘇省南京人，碩士，講師，從事高中數(shù)學教學研究.

1 代數(shù)的產(chǎn)生及其功能早期人們將數(shù)字與實際物品聯(lián)系在一起，此時數(shù)與對象不可分割，人們不能從中提取數(shù)字.隨著生產(chǎn)實踐發(fā)展，人們對數(shù)的認識也逐漸深化，能從一支筆、一個人、一張紙中抽象出數(shù)字1，隨著抽象思維的不斷發(fā)展，人們嘗試對數(shù)再次進行抽象，用代名詞、文字、符號等代表任意數(shù)，例如用a代表1，2，3，…，等，研究文字或代名詞算術(shù)的學問稱為代數(shù)學.一般算術(shù)是一定的，具體的，而代數(shù)是不確定的、普遍的，為了深入研究生活中各種變化規(guī)律，人們在代數(shù)的基礎上又發(fā)明了函數(shù).由于代數(shù)能運用文字做幫手，故人們可用其表示算術(shù)法則、解方程、描述數(shù)學公式等.

1.1 代數(shù)與算術(shù)法則

以算術(shù)運算為例，其有一定的法則與規(guī)律，當描述加法交換律時，人們不能簡單地歸納為2+3=3+2，因為這個敘述只是上述規(guī)律的一個特點.當人們要表示整數(shù)之間關(guān)系時，必須用文字來代替具體的數(shù)字，即用代名詞來表示任意符合要求的數(shù)，這個代名詞表示的數(shù)不是固定的，而是變化的，比如用a+b=b+a描述加法交換律，上述過程可稱為算術(shù)的基本規(guī)律，其他算術(shù)基本規(guī)律也可用代數(shù)表示.有了算術(shù)規(guī)則，人們可以寫出任意代數(shù)運算的表達式，簡稱代數(shù)式.最簡單的代數(shù)式為單項式，比如axk.兩個及以上的單項式組合為多項式，如x+1.略為復雜的多項式如x3+x2+1等，由于在計算中要弄清各個對象數(shù)量關(guān)系，人們逐漸用代數(shù)來探索方程的普遍的系統(tǒng)的解法.

1.2代數(shù)與解方程

數(shù)學中最基礎的部分為算術(shù)，當人們發(fā)現(xiàn)算術(shù)中某些數(shù)量關(guān)系問題難以用普通算術(shù)方法解決，于是轉(zhuǎn)而運用代數(shù)方法.王貴水指出：“用文字代表數(shù)的學問即為代數(shù).為了尋找系統(tǒng)的、普遍的求解數(shù)量問題的解法，產(chǎn)生了以解方程為原理的初等代數(shù).”代數(shù)與方程密不可分.用數(shù)字、文字或符號表示兩個量相同的表達式稱為等式，其描述了各個對象數(shù)量間的數(shù)量關(guān)系，含有未知數(shù)的等式就是方程.如果用文字表示未知數(shù)，人們把尚未知道的數(shù)用代數(shù)表示，運用移項或約同類項的復原方法來求解未知數(shù)，這是代數(shù)的優(yōu)點，并且它可以解決原本用普通算術(shù)方法難以解決的問題.

1.3 代數(shù)與公式公式是特殊的方程，它說明了各個對象之間的關(guān)系.例如，人們用代數(shù)描述正方形面積公式S=a2，a為邊長.當a=1cm時，此時人們在代表一般數(shù)的代數(shù)中代入了特殊的數(shù)字.教師引導學生思考：如果將a與S視為兩個口袋，當代入不同的a時，S數(shù)值有何變化？S與a是否對應？比如輸入1個a，是否會出現(xiàn)2個S值？這里學生只要能判斷兩個口袋（集合）之間對應關(guān)系即可，教師運用數(shù)與代數(shù)知識，初步引導學生認識集合，為學生日后學習函數(shù)打下基礎.

2 代數(shù)與函數(shù)的聯(lián)系

隨著生產(chǎn)發(fā)展與科學技術(shù)的進步，人們需要研究變化與運動的數(shù)學，比如為了計算太陽與月亮的運動軌跡，為了計算子彈、炮彈的彈道等，人們必須發(fā)明研究變化之術(shù)的學問，即函數(shù).學生可將函數(shù)理解為描述變化和運動的數(shù)學語言.教師可與從代數(shù)式、代數(shù)方程、代數(shù)與數(shù)軸、代數(shù)變量等方面引導學生理解函數(shù).

2.1 從代數(shù)式的結(jié)果出發(fā)理解函數(shù)

代數(shù)可代表變動的數(shù)，從代數(shù)式可初步理解函數(shù)的特點.假設存在代數(shù)式x2+1，且x的值不固定，則該代數(shù)式?jīng)]有確定的數(shù)，學生可用x2+1=f（x）描述以上過程，以上代數(shù)式的值稱為x的值的函數(shù).R·柯朗與H·羅賓直接將代數(shù)式的不定結(jié)果視為函數(shù)，并提出不同量之間如果有物理關(guān)系則會出現(xiàn)函數(shù)概念，變量為集合中的一個元素.

最簡單的函數(shù)為單項式函數(shù)，其表達式為f（x）=axk，a為任意實數(shù)，k是任意正整數(shù)，其也是單項式的次數(shù).此類函數(shù)有f（x）=1，f（x）=-3x2等.

稍為復雜的為多項式函數(shù)，它是由兩個或者兩個以上單項式函數(shù)加在一起的和，如f（x）=1-3x2，其中單項式的最高次數(shù)代表該多項式的次數(shù).

更加復雜的為有理函數(shù)，它表示為一個多項式與另一個多項式的比值.例如：f（x）=x3+1x+5，，f（x）=x2x+1，f（x）=x2-2x2+2等.

此外，還有自變量x以指數(shù)形式出現(xiàn)的指數(shù)函數(shù)以及三角函數(shù)等.

2.2 從代數(shù)解方程出發(fā)理解函數(shù)

代數(shù)能用字母表示未知數(shù)，從求解方程角度，教師可運用代數(shù)引導學生學習函數(shù)的作用.在早期解方程過程中，人們總是嘗試代入特殊的數(shù)字進行求解，例如，欲求解x2+2x-1=0，則人們可以嘗試代入兩個特殊的值，使得代數(shù)式結(jié)果一個大于0，一個小于0.假設x=1，則x2+2x-1=2>0.假設x=0，則x2+2x-1=-1<0.故x的值應該位于0與1之間，取x=0.5，則x2+2x-1=0.25>0，故0與0.5之間，一定有某個值使得原代數(shù)式為0，后續(xù)計算以此類推，直到求出x為止.

在求解方程的過程中，人們每次都要寫下諸如此類代數(shù)式，對于更為復雜的方程，如6x4-5x3+4x2+2x-1=0，如果每次都要完整寫出此類代數(shù)式，則增加了負擔、降低了效率.為提高效率，正如人們用乘法代替加法一樣，在解方程中，人們可仿照代數(shù)用一個字母，比如y代表此類代數(shù)式，這種簡化的代數(shù)形式即為函數(shù).黃風義認為函數(shù)是代數(shù)的高級運算形式.對于x2+2x-1的結(jié)果，當用字母y來代表時，即y=x2+2x-1，該等式的含義是指，當x取某個數(shù)值，經(jīng)過這個代數(shù)式運算后，得到y(tǒng)的相應數(shù)值.當x取不同數(shù)值，經(jīng)過同樣代數(shù)式計算后，得到的y一般也不同.為了體現(xiàn)x的值決定y的值，人們可以擴展字母的個數(shù)，附加其他字母來代表x決定y的這個事實.例如，對于yx=x2+2x-1，其清楚地表明x決定y，y依賴于x.用yx代表x2+2x-1，即令yx=x2+2x-1，總之，人們用一個字母或者符號代表某個運算表達式，簡稱函數(shù).有時人們也可用fx來代表函數(shù)，其中字母f是函數(shù)單詞（function）的首字母.

2.3 從代數(shù)與數(shù)軸出發(fā)理解函數(shù)

數(shù)、函數(shù)是數(shù)學的基本單元.在測量連續(xù)量與離散量時，為便于比較大小，笛卡爾創(chuàng)造性地將數(shù)以幾何形式表示為直線數(shù)軸上的點，如此將難以直接比較的量轉(zhuǎn)化為易于比較的量，通過比較數(shù)軸上的不同點與原點的距離，即可知道兩個量的大小.數(shù)軸是以原點為中心，向兩端無限延伸的直線.原點與0相對應，原點右邊表示正數(shù)，其左邊表示負數(shù).人們可以將任意實數(shù)x描述為數(shù)軸上的點，可以在數(shù)軸上設定單位長度，這個點與原點的距離用設定的單位長度表示，即為實數(shù)x.如果x是一個固定實數(shù)，是具體的、個別的，則每個x都可以用數(shù)軸上某個確定的點表示，且數(shù)軸上每個點只能表示一個x.如果x是代數(shù)符號，是不確定的、普遍的數(shù)，則它是一個在數(shù)軸上不斷移動的點，假設在數(shù)軸上存在多個不確定的代數(shù)移動點，要研究其中的數(shù)量關(guān)系，就需要用到函數(shù).卡爾·P·西蒙等主張從代數(shù)與數(shù)軸出發(fā)理解函數(shù)，并視函數(shù)為數(shù)軸上實數(shù)的對應法則.

從代數(shù)與數(shù)軸考察，函數(shù)表示某一確定的對應規(guī)則，它使得對于數(shù)軸上的每個實數(shù)，都有函數(shù)確定的唯一的數(shù)軸上的實數(shù)與之對應.如果一個函數(shù)需要向任意一個實數(shù)x賦值，使得它所賦的值比實數(shù)x本身多2個單位，此時可將函數(shù)寫成f（x）=x+2，該函數(shù)給2以4值，可以寫成f（2）=4，同樣，另一個函數(shù)使得它所賦的值是實數(shù)x本身，則可以寫成g（x）=x，fx與g（x）表示不同的函數(shù).

2.4 從代數(shù)變量出發(fā)理解函數(shù)

代數(shù)為函數(shù)的發(fā)展提供了有力工具.人們用代數(shù)x可表示直線上可以任意移動的點，因為此x表示變動的數(shù)量，故人們稱為變量，變量的產(chǎn)生為函數(shù)的研究提供了方向和思路，人們可將函數(shù)視為描述變化和運動的數(shù)學語言.生活中的變量現(xiàn)象非常普遍，如果物體的面積與重量不斷變化，則以上兩個量即為變量.如果司機開車時不斷調(diào)整速度，則速度值也是變量.此外，人的呼吸、脈搏隨著情緒不斷變化，家中的自來水表、煤氣表隨著能源的消耗亦是不斷變化，以上皆為單個變量，單個變量只能孤立地描述事物的一個方面性質(zhì)，為了應對生活中的復雜問題，為全面描述事物的狀態(tài)，人們設想存在多個變量，力求從多個變量出發(fā)以更加全面地理解事物.正如醫(yī)生看病時，不光要測量心跳，還要測量血壓、體溫，與僅僅測量心跳一個變量相比，以上該組變量一般能更為完整地描述病情.綜上，從代數(shù)變量出發(fā)，教師可將函數(shù)解釋為描述了各個變量間關(guān)系的數(shù)學語言.

除了單個變量外，兩個變量間具有的關(guān)聯(lián)變化是最簡單的情形，即一個變量變動如何影響另一個變量值，學生對此也容易理解.例如商品價格對其銷售量產(chǎn)生影響，貨幣投放量對本地區(qū)銀行利率有影響，原料的投入對產(chǎn)品的產(chǎn)出有影響等等.為幫助學生理解，教師可運用生產(chǎn)機器的比喻來講授函數(shù).

整個函數(shù)如同一臺用電腦程序控制的生產(chǎn)機器.假設有兩個口袋A、B，電腦程序是某類代數(shù)運算法則，A口袋里裝有原料，向機器投入原料后機器按電腦程序進行生產(chǎn)并產(chǎn)出產(chǎn)品，這些產(chǎn)品存入B口袋.假設電腦程序為投入1單位原料，可產(chǎn)生2單位的產(chǎn)品，以此類推，投入x單位原料，則可產(chǎn)生2x單位產(chǎn)品.假設這里只投入3次原料，A口袋中投入原料分別為1單位、2單位、3單位時，相應的則B口袋中產(chǎn)出分別為2單位、4單位、6單位.從函數(shù)考察：A口袋為限制輸入量，它決定了B口袋的輸出，電腦程序或者運算法則為f，用函數(shù)描述為：

f：A→B，f： x→2x1

（1）表示：函數(shù)必有投入與產(chǎn)出，缺一不可.A口袋為投入，每一次投入必產(chǎn)生一個產(chǎn)品，這個產(chǎn)品存在于B口袋中.在具體的運算程序2x控制下，機器對x進行加工，產(chǎn)出產(chǎn)品值為2x.教師可用口袋比喻集合解釋函數(shù)定義， 如果A口袋中每一個投入物都能在B口袋中找到僅僅一個對應產(chǎn)出，則具體運算關(guān)系f就是函數(shù).A口袋為定義口袋，B口袋為上域口袋，兩個口袋間不同的對應關(guān)系決定了函數(shù)的類型.

總之，函數(shù)是代數(shù)式的不定結(jié)果，是高級的代數(shù)表達形式，表明了數(shù)軸上實數(shù)之間的對應關(guān)系，是描述各個變量間關(guān)系的數(shù)學語言.

參考文獻：

[1] 王貴水.你一定要懂的數(shù)學知識[M].北京：工業(yè)大學出版社，2015：26.

[2] R·柯朗，H·羅賓.什么是數(shù)學-對思想和方法的基本研究[M].左平，張飴慈譯.上海：復旦大學出版社，2017：278-279.

[3] 黃風義.數(shù)學一點通（下冊）[M].上海：上海財經(jīng)大學出版社，2019：189-190.

[4] 西蒙，布魯姆.經(jīng)濟學中的數(shù)學[M].楊介棒，何輝譯.北京：中國人民大學出版社，2012：10-11.

[責任編輯：李 璟]