以“思維進(jìn)階”為導(dǎo)向的高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)策略

摘 要：培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心任務(wù).在高考數(shù)學(xué)三個常規(guī)輪次的復(fù)習(xí)中，一線教師較難把握的是二輪復(fù)習(xí)，因為它是學(xué)生突破能力瓶頸，從而實現(xiàn)“思維進(jìn)階”的關(guān)鍵時期.基于此，本文結(jié)合高考二輪復(fù)習(xí)中的一些教學(xué)案例，從增進(jìn)發(fā)散和聚合思維融合、增強(qiáng)逆向思維訓(xùn)練、跳出思維定式和培養(yǎng)創(chuàng)新思維三個方面進(jìn)行分析，闡述二輪復(fù)習(xí)策略.

關(guān)鍵詞：二輪復(fù)習(xí);發(fā)散思維;聚合思維;逆向思維;微專題;創(chuàng)新思維

中圖分類號：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）24-0038-03

收稿日期：2022-05-25

作者簡介：曹玉梅（1979.11-），女，河南省信陽人，碩士，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

隨著高考改革的深入，高考試題已由“解答試題”轉(zhuǎn)向“解決問題”.“解決問題”的關(guān)鍵在于思維.在高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)中，大多數(shù)教師都是根據(jù)知識體系進(jìn)行教學(xué)，以知識框架掩蓋學(xué)生思維發(fā)展框架的現(xiàn)象較為普遍，以思維為主線的教學(xué)往往處于低水平狀態(tài).大部分學(xué)生雖然初步建立了知識體系，但不能完全建立知識間的縱橫聯(lián)系.二輪復(fù)習(xí)則起著承上啟下的作用，是學(xué)生形成系統(tǒng)化、條理化知識的重要時期，也是促進(jìn)他們內(nèi)化知識、并不斷提升知識遷移能力、閱讀能力、分析問題和解決問題能力的關(guān)鍵期.因此，在二輪復(fù)習(xí)中，促進(jìn)學(xué)生的思維方式、思維結(jié)構(gòu)、思維品質(zhì)向高層次發(fā)展，實現(xiàn)思維能力的進(jìn)階，是提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力、理解力和應(yīng)用力的可行路徑.

1 體系重建，方法重構(gòu)，增進(jìn)聚合與發(fā)散思維融合

聚合性的思維是從已有的知識儲備和經(jīng)驗之中找到能夠解決問題的有一定方向性、條理性的一種思維方式，它可以讓我們對所掌握的知識、方法得以鞏固.而發(fā)散性的思維則是針對同一個問題從不同的途徑和角度來進(jìn)行假設(shè)、探究和分析.

在二輪復(fù)習(xí)中，我們可以引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的過程中對一輪復(fù)習(xí)中的核心概念、思想方法再次進(jìn)行提煉，“聚合”成完備的知識、方法體系，再對問題的解法、結(jié)果進(jìn)行發(fā)散思考，增進(jìn)聚合與發(fā)散思維融合.筆者在二輪復(fù)習(xí)中，以下題為例對學(xué)生進(jìn)行知識、方法和思維的聚合與發(fā)散.

例1 ①tanB=2tanC，②3b2-a2=12，③bcosC=2ccosB三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中的橫線上，并解決該問題.

問題：已知△ABC的內(nèi)角A，B，C及其對邊a，b，c，若c=2，且滿足.求△ABC的面積的最大值.

解析 將①或③轉(zhuǎn)化為sinBcosC=2sinCcosB，再轉(zhuǎn)化到②.再結(jié)合c=2，得到cosA=b2+c2-a22bc=8-b22b，進(jìn)而得到：sinA=1-cos2A=1-（8-b2）24b2=20b2-b4-642b，因此，S△ABC=12bcsinA=b×20b2-b4-642b=-b2-102+362，所以，當(dāng)且僅當(dāng)b2=10時，△ABC面積取得最大值3.

筆者請學(xué)生繼續(xù)思考：①或③轉(zhuǎn)化為sinBcosC=2sinCcosB后一定要轉(zhuǎn)化到②嗎？是不是我們對這個等式的結(jié)構(gòu)分析不到位？學(xué)生馬上發(fā)現(xiàn)這個等式的結(jié)構(gòu)與sin （B±C）的展開式有關(guān)，再考慮到三角形中sinA=sinB+C=sinBcosC+cosBsinC，就會將此等式等價變形為：sinBcosC+cosBsinC=3sinCcosB，即：sinA=3sinCcosB，從而得到：a=3ccosB=6cosB.因此，S△ABC=12acsinB=asinB=6sinBcosB=3sin2B.易知，當(dāng)B=π4 時△ABC面積取得最大值3.

隨后，筆者引導(dǎo)學(xué)生跳出三角恒等變換與解三角形這一知識模塊，向其它模塊遷移.先請學(xué)生繼續(xù)思考：本題的所有已知條件其實就是“c=2，且3b2-a2=12”.這兩個條件是不是說明此三角形隱藏了某種幾何特征？

為此，筆者先引例鋪墊：△ABC中，c=2，且①b=2a （或者②b+a=2c），求△ABC的面積的最大值.學(xué)生簡單作圖后發(fā)現(xiàn)，△ABC的幾何特征是“頂點A、B固定，頂點C是動點，它與定點A、B的距離之比（和）為定值”，于是很快得出“三角形的頂點C在圓（橢圓）上”.此時，他們的思維也逐漸發(fā)散開來，開始猜想——這“隱藏的幾何特征”雖然不能直接看出，但可以通過“坐標(biāo)法”求出.于是，以AB所在直線為x軸、AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，易知頂點C（x，y）滿足：3x+12+y2-x-12+y2=12，化簡得：x+22+y2=9.顯然，當(dāng)頂點C運動至點（-2，，3）處時，△ABC面積取得最大值3.

筆者趁熱打鐵，繼續(xù)追問：可否嘗試直接用①中的兩角的正切之間的關(guān)系解決問題？此時，學(xué)生心中的疑惑集中在：如何作圖體現(xiàn)此三角形的幾何特征——“一個角的正切是另一個角的正切的2倍”？筆者引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這兩角有公共邊BC后，學(xué)生想到——將他們都放入直角三角形中，那么正切之比可能是直角邊之比.于是，過A作邊BC的高AD來構(gòu)造直角三角形，就會發(fā)現(xiàn)DC=2BD.設(shè)BD=x，則：S△ABC=12×3x×4-x2=32-x2-22+4，所以，當(dāng)且僅當(dāng)x2=2時，△ABC面積取得最大值3.

這樣，學(xué)生在探尋不同的解決方案的過程中，知識體系、思想方法得以完善，更重要的是，思維在聚合——發(fā)散——聚合中得以鍛煉.

2 執(zhí)果索因，反向思考，增強(qiáng)逆向思維訓(xùn)練

逆向思維是在研究問題時從反面觀察事物，做與習(xí)慣性的思維方向完全相反的探索.在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，無論是逆運算和逆定理，還是反例法、反證法、分析法等，逆向思維的思想無處不在，可以說逆向思維是貫穿整個中學(xué)階段的一種重要思維方式.下面筆者例舉一個數(shù)列放縮與函數(shù)相結(jié)合問題來說明逆向思維的運用.

例2 已知函數(shù)fx=13xlnx+23x-32x2，

（1）判斷f（x）的單調(diào)性;

（2）證明：312+23+34+…+nn+1>n-ln3n+1.

解析 對于第（1）問，學(xué)生能快速解決問題.但對于第二問，大部分同學(xué)想到的是先解決不等式的左邊——對數(shù)列3nn+1進(jìn)行求和，得到較簡潔的表達(dá)式，再與右邊比較大小.顯然這種正向求解的方法行不通——因為他們無法對數(shù)列3nn+1進(jìn)行求和，于是開始嘗試從不等式的右邊入手.筆者適時引導(dǎo)學(xué)生考慮左右兩邊結(jié)構(gòu)的對稱性，大膽猜想：右邊可能是某個數(shù)列bn的前n項和？此時學(xué)生終于想到：此不等式可能是同向不等式3nn+113lnnn+1+1.這樣學(xué)生就發(fā)現(xiàn)它的本質(zhì)問題是證明：3x>13lnx+1.正當(dāng)大家忙于構(gòu)造函數(shù)來證明此不等式時，又有部分同學(xué)發(fā)現(xiàn)這其實源于第一問已經(jīng)證明了的結(jié)論——f ′x=13lnx-3x+1<0恒成立.

3 跳出常規(guī)，消除“思維定式”，升華“微專題”的應(yīng)用，培養(yǎng)創(chuàng)新思維

“微專題”是從具體考點開始研究，將其所涉及的基本概念、原理、解題方法通過題組形式呈現(xiàn)，它能幫助學(xué)生內(nèi)化知識，掌握解決此類問題的“通法”.但是，它的雙重性在于：它既可能啟發(fā)學(xué)生總結(jié)規(guī)律，也可能導(dǎo)致僵化的思維：因為學(xué)生僅僅獲得熟悉情景下的數(shù)學(xué)問題的解決能力，卻無法自主分析和解決新情景下的數(shù)學(xué)問題.

例3 已知函數(shù)fx=alnx-x，a>0，若關(guān)于x的不等式fx≤1x-2e在x∈（）上恒成立，求a的取值范圍.

解析 學(xué)生在嘗試參變分離無法解決問題后，構(gòu)造函數(shù)gx=alnx-x-1x+2e，將原不等式轉(zhuǎn)化為gmax（x）≤0.對g′x=-x2+ax+1x2分析后得出：g（x）在x0=a+a2+42處取最大值.但是，ga+a2+42=alna+a2+42-a+a2+42-1a+a2+42+2e≤0難以求解.此時，學(xué)生再無思路.筆者引導(dǎo)學(xué)生思考：我們真正需要的是什么？是gx的最大值！一定要通過x0與a的關(guān)系式“-x02+ax0+1=0”將x0消去、從而將gmax（x）表示成關(guān)于a的函數(shù)嗎？學(xué)生開始嘗試先消去a，由a=x0-1x0將gmax（x）SymbolcB@0表示成（x0-1x0）lnx0-x0-1x0+2e≤0.筆者再引導(dǎo)學(xué)生思考：用此不等式求的是x0的取值范圍，這與我們的目標(biāo)——求a的取值范圍是否矛盾？學(xué)生已能自信回答：可先求出x0的取值范圍，再由a=x0-1x0 求出a的取值范圍！接下來，學(xué)生構(gòu)造函數(shù)hx=x-1xlnx-x-1x+2e，順利解出x0∈[1e，e]，從而得到a的取值范圍為[1e-e，e-1e].至此，學(xué)生開始反思——求解不順的原因是定式思維：一定要將gmax（x）≤0表示成關(guān)于a的不等式.當(dāng)然，被它束縛的也許還有老師們.我們更應(yīng)該反思我們的教學(xué)——學(xué)生不能只會機(jī)械套用公式、解法而不懂它的來龍去脈.我們?yōu)閷W(xué)生設(shè)計的各種專題和題組訓(xùn)練，要盡量一題多變，在實現(xiàn)知識、方法遷移的同時，幫助學(xué)生完善思維能力、從而提高學(xué)科素養(yǎng).

總之，“數(shù)學(xué)是思維的體操”.雖然高考改革、生情的變化、教學(xué)資源的差異，都會使二輪復(fù)習(xí)的策略隨之改變.促進(jìn)學(xué)生思維良性發(fā)展，既是我們數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的靈魂，也是保證復(fù)習(xí)效率的關(guān)鍵.堅持以思維進(jìn)階為導(dǎo)向來實施教學(xué)，不僅僅是培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力，更是通過數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，幫助學(xué)生形成良好的思考習(xí)慣和多元思維能力，從而提升創(chuàng)新思維能力，使其成為具有終身學(xué)習(xí)能力的人.

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[責(zé)任編輯：李 璟]