“包含除”在理解分?jǐn)?shù)意義上的作用

陳小惠

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中“分?jǐn)?shù)”的定義為：把一個(gè)整體平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫分?jǐn)?shù)。這個(gè)整體叫做單位“1”。提到“平均分”，自然是離不開(kāi)除法，學(xué)生在二年級(jí)學(xué)習(xí)《除法意義》時(shí)已經(jīng)知道平均分有等分除和包含除兩種，也能理解一個(gè)除法算式可以表示兩種意義。如：

（等分除）12個(gè)竹筍，平均放在4個(gè)盤(pán)子里，每盤(pán)幾個(gè)？

（包含除）12個(gè)竹筍，每4個(gè)放一盤(pán)，能放幾盤(pán)？

雖然都是用除法算式12÷4=3來(lái)表示，但所代表的意義卻是不同的。

到了分?jǐn)?shù)，同樣也是有等分除和包含除兩種情形，只不過(guò)推廣到不是整數(shù)的結(jié)果。

（等分除）先知道分幾份，求每份所分的結(jié)果大小。如：一塊月餅平均分成4塊 , 每塊有多大？答案是塊。

（包含除）先知道部分的大小，求這部分占整體的多少。如：一盒餅干12塊，取出3塊，問(wèn)取出部分占整盒餅干的多大一部分？由于12包含了4個(gè)3（12÷3=4），所以3塊餅干恰好是12塊餅干平均分成4份之后的1份，也就是占整盒餅干的。

通過(guò)對(duì)比分析可知，等分除的問(wèn)題是從整體到部分，問(wèn)的是部分的大小。包含除的問(wèn)題則是從部分到整體，即已知部分的大小，問(wèn)整體含有幾個(gè)這樣的部分，即部分在整體里“占多少 ”。這兩種平均分的情形同樣重要不可偏廢，如果一提到平均分就只想到等分除的模型，就會(huì)限制人們對(duì)分?jǐn)?shù)的理解。然而學(xué)生和教師往往偏愛(ài)“等分除”，而把包含除給忽略了。我們來(lái)看下面這道題：

判斷正誤：下圖是一個(gè)三角形，兩腰均為三等分（如圖1），因?yàn)椴皇瞧骄?，所以陰影部分不能用分?jǐn)?shù)表示。

這道題考查學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義本質(zhì)的理解，學(xué)生答題情況如下：三年級(jí)正確率1.1%（測(cè)試人數(shù)87，正確1），四年級(jí)正確率8.6%（測(cè)試人數(shù)93，正確8），五年級(jí)正確率55.6%（測(cè)試人數(shù)81，正確45），六年級(jí)正確率67.4%（測(cè)試人數(shù)95，正確64）。

從數(shù)據(jù)可以看出，這道題的正確率并不高，尤其是三年級(jí)的學(xué)生，是什么原因影響了學(xué)生的判斷？筆者對(duì)部分學(xué)生和教師進(jìn)行了訪談，發(fā)現(xiàn)三年級(jí)學(xué)生主要受“平均分就是等分除”的觀念以及教材課后一道練習(xí)題的影響：

判斷正誤：下圖中的涂色部分能用表示嗎？（圖2）

在這道題里涂色部分是不能用表示的，學(xué)生受到這道題的負(fù)遷移影響很大。

陰影部分能不能用來(lái)表示，學(xué)生出錯(cuò)的原因主要是只考慮了平均分的第一種情形，即把一個(gè)三角形等分成3份，每份就是這個(gè)三角形的。而圖1的分法卻不是學(xué)生眼里的平均分，學(xué)生自然認(rèn)為這樣的表示方法是錯(cuò)誤的。事實(shí)上這里是平均分的第二種情形，即知道這部分的大小，求該部分在整體中占多少，也就是問(wèn)整個(gè)圖形里包含幾個(gè)這樣的部分。必須以這個(gè)部分作為標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)圖形進(jìn)行分割。通過(guò)新的分割可以得到這個(gè)部分占整個(gè)圖形的。所以圖1中的陰影部分可以用來(lái)表示。如圖3：

這種方法同樣適用在任意三角形中，如圖4：

通過(guò)以上分析，如果只停留在“平均分為幾份”的“等分除”模型會(huì)固定學(xué)生的思維，不利于學(xué)生全面理解分?jǐn)?shù)的意義，也不利于學(xué)生靈活應(yīng)用分?jǐn)?shù)解決實(shí)際問(wèn)題。事實(shí)上，“包含除”在分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)上具有重要的意義。

1. 揭示分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，體現(xiàn)分?jǐn)?shù)的本質(zhì)

從數(shù)產(chǎn)生的歷史來(lái)看，在度量和平均分時(shí)出現(xiàn)不能正好得到整數(shù)結(jié)果的情況，就需要將整數(shù)進(jìn)行擴(kuò)展，分?jǐn)?shù)就在這種需要中應(yīng)運(yùn)而生。也就是，分?jǐn)?shù)的來(lái)源在于自然數(shù)除法的推廣。五年級(jí)下冊(cè)（人教版）：

該情境提出的問(wèn)題是：“剩余繩長(zhǎng)不足一節(jié)，怎么記”。即以一節(jié)繩子作為單位長(zhǎng)度進(jìn)行測(cè)量，剩余一段不足一節(jié)的繩子的長(zhǎng)度如何用分?jǐn)?shù)表示？如果按照“等分除”的方法，必須預(yù)先知道要把這一節(jié)繩子平均分成幾份，再看剩余的那段繩子占其中幾份，才能寫(xiě)出這個(gè)分?jǐn)?shù)。但是在測(cè)量前是無(wú)法預(yù)先知道要把這一節(jié)繩子平均分成幾份的，因而這是“包含除”的問(wèn)題，即要知道“剩余的繩子是幾分之幾節(jié)”就要看一節(jié)繩子里包含幾個(gè)剩余繩子的長(zhǎng)度。如果3個(gè)“剩余部分”正好是一節(jié)繩子的長(zhǎng)度，剩余部分的長(zhǎng)度就可以用表示。但實(shí)際上，這樣度量很多時(shí)候不容易得到最后的結(jié)果。如果用包含除不能得到整數(shù)的結(jié)果，例如，一節(jié)繩子長(zhǎng)度為15厘米，剩下的繩子長(zhǎng)度為7厘米，怎么表示？ 其實(shí)，“剩余繩子的長(zhǎng)度是幾分之幾節(jié)”也就是求“剩余繩子的長(zhǎng)度占一節(jié)繩子長(zhǎng)度的幾分之幾”，這就轉(zhuǎn)化成了求“一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾”的問(wèn)題。根據(jù)除法的意義，可以用“7÷15”計(jì)算，根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，得到，即剩余繩子的長(zhǎng)度是節(jié)。張奠宙先生認(rèn)為，通過(guò)大量的包含除的實(shí)例，可以幫助學(xué)生建立這樣的數(shù)學(xué)模型：如果一節(jié)繩子長(zhǎng)n厘米，剩余長(zhǎng)度長(zhǎng)m厘米，那么，剩余長(zhǎng)度是這節(jié)繩子長(zhǎng)度的。

2. 揭示分?jǐn)?shù)除法顛倒相乘的計(jì)算算理

分?jǐn)?shù)除法是依據(jù)顛倒相乘的規(guī)則進(jìn)行的，學(xué)生在計(jì)算方面沒(méi)有困難，但對(duì)于理解這樣計(jì)算的原理卻不大容易。分?jǐn)?shù)除以整數(shù)用等分除可以很快理解，如：÷2，即把平均分成2份，也就是求的是多少，所以÷2=×=。但對(duì)于分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)的情形如果用等分除就不大適合，但卻可以很方便地使用包含除。

如：分?jǐn)?shù)除整數(shù)3÷，總不能說(shuō)把3塊餅平均分給個(gè)人吧，但可以問(wèn)3里面包含幾個(gè)。只要畫(huà)圖（圖5）一看就知道，1里面包含3個(gè)，所以3里面包含9個(gè)，即3÷=3×3=9。

又如：分?jǐn)?shù)除分?jǐn)?shù)÷，即求里有幾個(gè)。如圖6 ，左面的圖通過(guò)數(shù)軸上的點(diǎn)，說(shuō)明里有2個(gè)，即÷=2。右圖的數(shù)軸則說(shuō)明了2里包含了4個(gè)，即×4=2。所以÷=×4=2。

3. 理解比和比例

為了便于學(xué)生理解，分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)是從部分——整體之間的關(guān)系出發(fā)的，從表面上看，是表示“這樣的一份或幾份”，從數(shù)學(xué)本質(zhì)上看，表示的是“部分和整體的比”。即，“比”的定義則將分?jǐn)?shù)進(jìn)行了擴(kuò)展，使分?jǐn)?shù)不再局限于部分和整體之間的比，而是“一部分和另一部分的比”。另一部分可以是整體也可以是部分，也就是說(shuō)，可以把一部分當(dāng)作新的整體。比如，半個(gè)蘋(píng)果是一個(gè)蘋(píng)果的，個(gè)蘋(píng)果是半個(gè)蘋(píng)果的。一個(gè)蘋(píng)果可以看成整體，半個(gè)蘋(píng)果也可以看成整體。也就是說(shuō)，“比 ”的概念是把一個(gè)部分作為新的整體來(lái)看，研究彼此之間的“包含除”關(guān)系，如圖7。

把白色這一部分圖形當(dāng)作整體看，白色部分圖形的大小包含了4個(gè)黑色部分圖形的大小，從包含除的角度看，可以得出黑色部分圖形的大小是白色部分的。即二者的面積之比是1；4，比值為。但這種包含除與“比”的關(guān)系，并非自然而然地獲得，大部分學(xué)生看到的分?jǐn)?shù)是和，需要在平時(shí)的教學(xué)中大力培養(yǎng)。

從上文的分析對(duì)比中，我們可以看到等分除的模型告訴學(xué)生分?jǐn)?shù)是什么，而包含除的模型則需要學(xué)生探索如何用分?jǐn)?shù)表示。這兩種平均分的方法在分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)和應(yīng)用中是“一體兩翼”的關(guān)系，同樣重要，不可偏廢。