聚焦“調整”　經(jīng)歷過程

王建芹

［摘 要］解決問題策略的學習關鍵在于“悟”，只有在課堂上讓學生充分經(jīng)歷感悟和體驗的全過程，才能實現(xiàn)對于策略的“悟”。文章以“解決問題的策略（例2）”的教學為例，提出“假設”是引子，其根本是“調整”，只有讓學生經(jīng)歷從直觀到抽象的調整過程，才能助力學生實現(xiàn)思維的進階。

［關鍵詞］解決問題的策略；畫圖；列舉；假設；調整

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2022）29-0048-03

一、課前思考

“解決問題的策略（例2）”是蘇教版教材六年級下冊第三單元的教學內容，是小學階段策略版塊的最后一個課時，是對之前學過的策略進行合理選擇、靈活運用的一節(jié)課。教材編排的例題是一道與“雞兔同籠”問題相類似的實際問題，教材在呈現(xiàn)問題之后，引導學生選用不同策略解決問題，并呈現(xiàn)學生可能出現(xiàn)的三種解題思路。第一種思路是用畫圖的策略解決問題，即假設10只全是大船，一共能坐50人，通過與42人作比較，再從圖上直觀地去掉8人；第二種思路是用列舉的策略解決問題，即根據(jù)“租10只船正好坐滿”這一條件，把10只船分為大船和小船，從“大船9只、小船1只”開始有序列舉，把可能出現(xiàn)的情況借助表格呈現(xiàn)，再通過分析比較，得出大船和小船的只數(shù)；第三種思路是用假設調整的策略解決問題，即假設大船和小船的只數(shù)同樣多，都是5只，根據(jù)船的只數(shù)來確定乘船人數(shù)，再與總人數(shù)42進行比較，依據(jù)比較的結果適當調整大船和小船的只數(shù)，從而找到正確答案。

通過對蘇教版教材呈現(xiàn)的這三種解題思路進行研究發(fā)現(xiàn)，無論是畫圖、列舉還是假設調整，都是先基于假設的船的只數(shù)算出乘船的人數(shù)，再將乘船人數(shù)與實際人數(shù)42作比較，最后通過乘船人數(shù)調整船的只數(shù)，得出最終結果。學生在解決此類問題時，應用列舉策略的較多，而選用畫圖和假設調整這兩種策略的較少，究其原因，主要是后兩種策略需要對出現(xiàn)的情況進行適當調整，而“怎樣調整”是學生學習的難點。因此，教學中既要關注策略的合理應用，更要關注不同策略應用過程中“怎樣調整”這一本質問題。

二、教學實踐

1.問題導學，建立聯(lián)系

【教學片段1】

師：我們之前學過哪些解決問題的策略？

生₁：從條件想起、從問題想起、畫圖、列表、列舉、轉化、假設等。

師：大家說得非常全面！就讓我們合理選擇、靈活運用這些學過的策略來解決問題。

師：全班42人去公園劃船，租10只船正好坐滿。每只大船坐5人，每只小船坐3人。租的大船、小船各有多少只？

（讓學生讀題，找出題中的條件和問題）

師：如何解決問題？

生₂：可以用假設法。

師：說說你的假設。

生₃：假設10只全是大船或者10只全是小船，算算坐多少人，再與42人作比較。

生₄：假設5只大船和5只小船，算算坐多少人，再與42人作比較。

……

師：看來無論是哪種方法，都要與總人數(shù)42人作比較。

師：你還打算運用哪些學過的策略來解決這個問題呢？請大家先獨立思考，然后在練習本上嘗試解決。

設計意圖：蘇教版教材從三年級上冊開始，對一些解題方法進行提煉，以單元的形式進行編排，形成“解決問題的策略”版塊。六年級的學生經(jīng)歷了前幾個階段的學習，對學過的策略已有初步的體驗與感悟，積累了應用策略的數(shù)學活動經(jīng)驗。課始，教師通過讓學生回顧并列舉學過的策略，喚醒學生已有的數(shù)學活動經(jīng)驗，為解題時策略的選擇和應用建立聯(lián)系。為降低“雞兔同籠”類問題的解題難度，教師先引導學生對數(shù)量關系進行簡要分析，將“船的只數(shù)10”與“乘船人數(shù)42”建立聯(lián)系，培養(yǎng)學生獨立思考、合理選擇、靈活解題的能力。

2.探究讓學，溝通聯(lián)系

【教學片段2】

生₁：我用的是畫圖的策略。假設10只全是大船，一共能坐50人，比原來的42人多了8人，所以只要去掉8人就可以了。我們可以在每只大船上去掉2人，4只大船就去掉8人。這4只大船就變成了小船，剩下的6只還是大船。（如圖1）

師：誰對生1的解法有疑問？

生₂：為什么每只大船非要去掉2人，去掉1人可以嗎？

生₃：每只大船坐5人，每只小船坐3人，都要坐滿。如果去掉1人，表示沒有坐滿，不符合條件，所以每只大船只能去掉2人。

師：還有誰也是用畫圖的策略？請介紹一下。

生₄：假設10只全是小船，一共能坐30人，比原來的42人少了12人，所以要在每只小船上增加2人，讓小船變成大船。這樣，6只小船增加12人，所以有6只小船變成了大船，剩下的4只仍是小船。（如圖2）

師：這兩位同學都是用畫圖的策略來解決問題的，這兩種方法有沒有相同之處？

生₅：都是通過調整乘船人數(shù)來確定大船和小船只數(shù)的，而且每只船上只能調整2人。

師：說得非常好！他們都是先假設大船或小船的只數(shù)，結合題中的條件和問題，把乘船人數(shù)與42人作比較，然后根據(jù)相差的數(shù)量進行調整，直到與42人完全相等，從而確定大船和小船的只數(shù)。運用畫圖的策略，調整的過程非常直觀，一目了然。

設計意圖：讓學生在邊畫圖邊思考的數(shù)學活動中，以“為什么非要去掉2人”為核心問題，通過直觀的圖示，突破“每只船只能調整2人”這一教學難點；讓學生在操作交流、類比分析的過程中，經(jīng)歷“乘船人數(shù)如何變化”到“大、小船只數(shù)怎樣確定”這一完整的學習過程，初步感受“怎樣調整”的方法，培養(yǎng)學生的分析推理能力。

【教學片段3】

生₁：我用的是一一列舉的方法，借助表格來完成。

師：具體說說你是怎么想的？

生₁：從9只大船、1只小船開始列舉，算出坐船人數(shù)是9×5+1×3=48（人），比實際42人多出6人，說明大船多了，所以減少1只大船，增加1只小船，乘船人數(shù)就是8×5+2×3=46（人），還多出4人，說明大船還是多了，需要再減少……當列舉到大船6只、小船4只時，乘船人數(shù)正好是6×5+4×3=42（人），與實際人數(shù)相等。（如表1）

生₂：我是從9只小船、1只大船開始列舉的……（如表2）

生₃：我是從9只大船、1只小船開始列舉的，算出乘船人數(shù)是48人，然后與42比較，發(fā)現(xiàn)多出6人，說明大船只數(shù)多了。因為每只大船只能下來2人，所以要想下來6人，需要3只大船。于是我就列舉6只大船、4只小船，通過計算，發(fā)現(xiàn)正好是42人，兩步就可以找到答案了。（如表3）

師：這位同學的列舉與前兩位有什么不一樣？

生₄：他發(fā)現(xiàn)了規(guī)律。

師：什么規(guī)律？

生₅：多出的6人與大船只數(shù)有關。去掉3只大船就會減少6人，所以大船應該是9減3得6只。

生₆：列舉的目的是解決問題，當我們發(fā)現(xiàn)船的只數(shù)和人數(shù)之間的規(guī)律時，問題就可以迎刃而解了。

師：看來，在列舉時我們既要關注船的只數(shù)，也要關注乘船人數(shù)。當規(guī)律已經(jīng)很明顯時，就可以直接確定大船和小船的只數(shù)了。

設計意圖：策略的學習關鍵在于“悟”，只有讓學生在課堂上充分經(jīng)歷感悟和體驗的過程，學生才能實現(xiàn)對策略的“悟”。學生在展示一一列舉的過程中，可通過先將乘船人數(shù)與實際人數(shù)42作比較，再結合每次只能調整2人的認知經(jīng)驗，找到調整的規(guī)律，悟出“怎樣調整”的方法。數(shù)學學習中一旦“悟”出規(guī)律，所有的問題便可迎刃而解。“跳躍式調整”躍然紙上，“假設調整”便浮出水面。

【教學片段4】

生₁：我的方法是先假設有5只大船、5只小船。船上的人數(shù)就是5×5+5×3=40（人），比實際人數(shù)少2人，說明大船少了，需要增加大船只數(shù)，減少小船只數(shù)。又因為每只船每次只能調整2人，所以大船就是6只，小船就是4只，總人數(shù)正好是42，與實際人數(shù)相等。（如表4）

師：你是怎么想到5只大船、5只小船這種“對半假設”的方法的？

生₁：剛才大家匯報的畫圖、列舉的策略給了我啟示，當大船和小船只數(shù)居中時，往上或往下調整都很方便，這樣調整的步驟少，能很快找出答案。

設計意圖：引導學生聚焦“調整”，由列舉時的“跳躍式調整”正向遷移到“假設調整”，突顯學生學習的自主性，突出教師教學的重點。假設調整策略中，假設其實只是一個引子，其根本是調整，讓學生根據(jù)“乘船人數(shù)”調整“船的只數(shù)”，逐步逼近答案，感受“對半假設”的策略優(yōu)勢。

3.應用活學，優(yōu)化策略

【教學片段5】

師（課件出示練習題）：學生制作了78件蝴蝶標本，貼在9塊展板上展出。每塊小展板貼6件，每塊大展板貼10件。大、小展板各有多少塊？

師：你怎樣解決這個問題？先獨立完成，然后與同桌交流，說說自己的想法。

生₁：我是用列舉的方法來解決的。從1塊大展板、8塊小展板開始列舉，一共可以展出58件蝴蝶標本，比實際數(shù)量少20件，所以要增加大展板的數(shù)量；2塊大展板、7塊小展板，還少16件，也就是增加1塊大展板，相差數(shù)量由20件減到16件，減少了4件，那相差16件就需要增加4塊大展板。于是，第3次列舉數(shù)量為6塊大展板、3塊小展板，這樣正好展出78件標本，與實際數(shù)量相等。（如表5）

師：在調整的過程中，你能根據(jù)相差的數(shù)量進行跳躍式調整，了不起！看來，你對如何調整已經(jīng)理解得非常透徹了。

生₂：我用的是“對半假設”的方法，從9的一半開始列舉。假設5塊大展板、4塊小展板，這樣可以展出74件，比實際數(shù)量少4件，于是增加大展板的數(shù)量，得到6塊大展板、3塊小展板，正好展出78件，一步調整就能得到答案。（如表6）

師：大家為什么不用畫圖的策略來解決呢？

生₃：數(shù)量太多，畫圖比較麻煩。

師：看來數(shù)量比較多時，畫圖就不太適合了。我們在解決問題時，要學會根據(jù)具體問題靈活選擇策略。

設計意圖：通過例題探究，讓學生合理選用策略解決問題，架構起解決此類問題完整的思維路徑，以發(fā)揮學生的學習自主性。在鞏固應用階段，設計與例題有著相似結構的習題，能夠讓學生在解決問題的過程中通過運用結構化的思維，從“經(jīng)歷”走向“經(jīng)驗”，實現(xiàn)思維進階，充分感受靈活選擇策略的重要性，最終形成理性思維。

【本文系江蘇省教育科學“十三五”規(guī)劃立項課題“指向學趣提升的小學數(shù)學復習課教學研究”（D/2020/02/198）的研究成果之一?！?/p>

（責編 羅 艷）