妙用構(gòu)造法證明數(shù)列不等式

黃艷

證明數(shù)列不等式的常用方法有數(shù)學(xué)歸納法、放縮法、構(gòu)造法等，但運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法論證過程比較繁瑣，放縮法的技巧性又較強(qiáng)，而巧妙運(yùn)用構(gòu)造法，可使問題得以簡化，快速證明結(jié)論，運(yùn)用構(gòu)造法證明數(shù)列不等式，可結(jié)合數(shù)列的特征，構(gòu)造輔助數(shù)列、函數(shù)、不等式，從而將問題轉(zhuǎn)化，以便從新的角度順利求得問題的答案，

一、構(gòu)造輔助數(shù)列

有些數(shù)列不等式證明題中的數(shù)列較為復(fù)雜，我們很難快速求得數(shù)列的和，此時(shí)，可根據(jù)數(shù)列的特征、規(guī)律，構(gòu)造輔助數(shù)列，如等差數(shù)列、等比數(shù)列、常數(shù)列，再運(yùn)用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即可快速求得數(shù)列的和，然后通過求輔助數(shù)列的和，來求得數(shù)列的和的最值，從而證明不等式成立．

二、構(gòu)造函數(shù)

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，其自變量n∈N，在證明數(shù)列不等式時(shí)，根據(jù)數(shù)列的特征，構(gòu)造關(guān)于n的函數(shù)式，即可將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，在求函數(shù)的最值時(shí)，需先根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義、導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性來求得最值．

三、構(gòu)造不等式

在證明數(shù)列不等式時(shí)，可根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，構(gòu)造新不等式，以便利用不等式的性質(zhì)，如可加性、可乘性、傳遞性來證明結(jié)論，在構(gòu)造新不等式時(shí)，可將原數(shù)列不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃巍⒎趴s、化簡，從而構(gòu)造出合適的不等式．

根據(jù)數(shù)列不等式的特征，構(gòu)造輔助數(shù)列、函數(shù)、不等式，便可將問題轉(zhuǎn)化為簡單的數(shù)列求和問題、函數(shù)最值問題、不等式證明問題來求解，這樣可以使證明的思路更加清晰、明朗，有利于提升解題的效率．

（作者單位：江蘇省如東縣馬塘中學(xué)）