神奇的線段垂直平分線

夏明

沈陽新民市盧家屯學(xué)校孫艷玲校長(zhǎng)的直播課《利用垂直平分線進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化》，選自遼寧教育學(xué)院“學(xué)到匯”公眾服務(wù)平臺(tái)“遼寧省初中數(shù)學(xué)學(xué)科周末名師公益課堂”，旨在引領(lǐng)教師專業(yè)發(fā)展，服務(wù)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，減輕學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)。

線段垂直平分線的神奇之處在于它能把角平分線、等腰三角形、軸對(duì)稱串在一起，形成一條神奇的知識(shí)線. 觀看了孫艷玲校長(zhǎng)的直播課《利用垂直平分線進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化》，同學(xué)們會(huì)對(duì)線段垂直平分線有更明確的認(rèn)識(shí).

知識(shí)關(guān)聯(lián)

1. 若已知點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，則必連接PA，PB，可得PA = PB，構(gòu)成等腰三角形，得到角平分線，在等腰三角形中，用角平分線的性質(zhì)解決更深入的問題.

2. 通過PA = PB，可得點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，再結(jié)合其他條件確定點(diǎn)P的位置，繼而解決等腰三角形存在性問題中以已知線段為底的頂點(diǎn)位置的確定.

3. 線段垂直平分線是線段的對(duì)稱軸，可以利用勾股定理，結(jié)合翻折問題和方程思想解決相關(guān)問題.

真題呈現(xiàn)

例1 在△ABC中，∠A = 90°，AB = AC，D，E，F(xiàn)分別在AB，AC，BC上，且AD = AE，CD為EF的中垂線，求證：BF = 2AD.

解法1：如圖1，連接DE，DF，作DG⊥BC于G.

∵DC為EF的中垂線，

∴DE = DF，CE = CF，DC⊥EF，∴∠1 = ∠2.

∵∠A = 90°，∴DA⊥AC. ∵DG⊥BC，∴DA = DG.

∵DE = DF，∴Rt△ADE ≌ Rt△GDF（HL），∴AE = GF.

∵AD = AE，∴AD = DG = GF. ∵∠A = 90°，AB = AC，∴∠B = ∠ACB = 45°.

∵∠DGB = 90°，∴∠BDG = 45°， ∴∠BDG = ∠DBG，∴DG = BG，∴DG = BG = GF，

∴DG = ?[12]BF，∴AD = [12]BF，即BF = 2AD.

解法2：如圖2，連接DE，DF，延長(zhǎng)BA到G，使GA = DA. 連接GE，則AE垂直平分DG，得到GE = DE = DF，易得∠G = ∠ADE = ∠B = ∠ACB = 45°，且DC平分∠EDF，CD平分∠ACB，可證△DEG≌△BDF，得出DG = BF，進(jìn)而得到BF = 2AD.

反思：上述兩種方法都從線段垂直平分線入手，構(gòu)造等腰三角形，并結(jié)合“三線合一”得出結(jié)論. ?解法2還運(yùn)用了“截長(zhǎng)補(bǔ)短”的數(shù)學(xué)思想.

例2 已知平面內(nèi)點(diǎn)A（0，2），B（2，0），（1）求點(diǎn)A，B所在直線的解析式；（2）坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形？

解析：（1）易得y = -x + 2.

（2）可分三種情況：①若AB = AC，則以A為圓心、AB長(zhǎng)為半徑畫圓，與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)C1，C2，C3，C4；②若AB = BC，則以B為圓心、AB長(zhǎng)為半徑畫圓，與坐標(biāo)軸交于C5，C6，C7，C8；③若AC = BC，線段AB的中垂線經(jīng)過點(diǎn)O，點(diǎn)O與C9重合. 故有9個(gè)點(diǎn)使△ABC為等腰三角形.

反思：第二問中的第三種情況，確定點(diǎn)C的位置就是利用了線段垂直平分線的判定.

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★解題時(shí)間：８分鐘

1. A，B兩點(diǎn)表示在一條東西走向公路的同旁的兩所學(xué)校，以公路所在直線為x軸建立如圖4所示的平面直角坐標(biāo)系，且點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（7，3）. （1）一輛汽車由西向東行駛，在行駛過程中是否存在一點(diǎn)C，使點(diǎn)C到A，B的距離相等？如果有，請(qǐng)用尺規(guī)作圖找出該點(diǎn)，保留作圖痕跡，不求該點(diǎn)坐標(biāo). （2）若在公路邊點(diǎn)P處建一游樂場(chǎng)，使游樂場(chǎng)到兩校距離之和最小，試通過作圖在圖4中找出建游樂場(chǎng)的點(diǎn)P的位置，并求出它的坐標(biāo).

2. 如圖5，在△ABC中，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點(diǎn)，且DE⊥DF，求證：BE + CF > EF. （答案見第27頁）

（作者單位：大連市第七十一中學(xué)）