談談復數(shù)的幾何意義及其應用方法

李吉香

復數(shù)具有代數(shù)與幾何的雙重屬性．復數(shù)的代數(shù)形式為：z=a+bi（a、b∈R），其幾何意義是復平面內(nèi)的點Z（a，b），即平面向量OZ．復數(shù)的幾何意義反映了復數(shù)和向量之間的對應關(guān)系，體現(xiàn)了復數(shù)在復平面內(nèi)的幾何特征．科學、合理地應用復數(shù)的幾何意義，能有效提升解題的效率，那么借助復數(shù)的幾何意義，可以解決哪些問題呢？下面我們來探究一下．

一、由點的坐標求復數(shù)

任何一個復數(shù)z=a +bi（a、b∈R）可以由一個實數(shù)對（a，b）唯一確定，而實數(shù)對（a，b）與平面直角坐標系中的點一一對應，所以復數(shù)集與平面直角坐標系上的點集之間存在一一對應的關(guān)系．根據(jù)這種一一對應的關(guān)系，我們可以由點的坐標求復數(shù)，也可以根據(jù)復數(shù)確定復平面上的點的坐標．

例1．在復平面內(nèi)，已知復數(shù)2+i對應的點為A，B，C是復平面上的另兩個點，若復數(shù)1+2i與向量BA對應，復數(shù)3-i與向量麗對應，求C點對應的復數(shù)．

二、求復數(shù)的最值

根據(jù)復數(shù)與復平面內(nèi)的點之間的對應關(guān)系，以及復數(shù)的一些性質(zhì)可以確定滿足一定條件的復數(shù)在復平面內(nèi)對應的圖形（即軌跡），如lz+ 1l+lz - 11=4表示橢圓，lz-il=4表示圓．在解答復數(shù)的最值問題時，可根據(jù)復數(shù)的幾何意義，確定復平面內(nèi)點集所形成的圖形，建立關(guān)于動點的軌跡方程，結(jié)合圖形尋找臨界的情形，即可結(jié)合圖形的性質(zhì)、位置關(guān)系來求得最值．

例2．已知復數(shù)lzl=2，求復數(shù)1+√3i+z的模的最值．

滿足已知條件的復數(shù)是一個集合，這個集合中的每個元素所對應的點組成一個圖形，這個圖形就是復數(shù)Z在復平面內(nèi)表示的圖形．利用復數(shù)的幾何意義求復數(shù)的最值，一要將復數(shù)轉(zhuǎn)化為點的集合，并求得點的軌跡方程；二要借助圖形的特點、性質(zhì)、位置關(guān)系來求最值．

三、求參數(shù)的取值范圍

含參數(shù)的復數(shù)問題一般較為復雜，參數(shù)的變化決定了復數(shù)的取值，為了避免對參數(shù)的分類討論，可利用復數(shù)的幾何意義來建立參數(shù)滿足的關(guān)系式，進而求得參數(shù)的取值范圍．

解答本題，需根據(jù)復平面內(nèi)點的坐標與復數(shù)的實部、虛部之間的對應關(guān)系確定參數(shù)所滿足的不等關(guān)系式，

總之，利用復數(shù)的幾何意義解題，關(guān)鍵是把復數(shù)或關(guān)于復數(shù)的表達式轉(zhuǎn)化為點的軌跡、幾何圖形、向量，我們可以從中找到解題的思路，利用圖形、解析幾何、向量知識來解題．

（作者單位：青海省海東市第一中學）