緊扣價(jià)值悟特性 抓住關(guān)系來(lái)抽象

陳素華　冷滿紅

什么是數(shù)學(xué)？簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)數(shù)學(xué)就是符號(hào)加邏輯。數(shù)學(xué)符號(hào)因其精確、嚴(yán)謹(jǐn)、可以參加運(yùn)算等特征而具有自身的特殊性。如何引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷符號(hào)的抽象過(guò)程，知道符號(hào)表達(dá)的現(xiàn)實(shí)意義，能夠初步運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)量、關(guān)系和一般規(guī)律，感悟表達(dá)的結(jié)論具有一般性，并為過(guò)渡到代數(shù)式的運(yùn)算、方程的教學(xué)等奠定基礎(chǔ)？本文以“用字母表示數(shù)”第一課時(shí)的教學(xué)為例進(jìn)行探討。

一、在遵循歷史中梯度推進(jìn)，體會(huì)抽象必要性

從數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史來(lái)看，用字母表示數(shù)經(jīng)歷了漫長(zhǎng)而曲折的過(guò)程，大致可以分為三個(gè)階段：一是用算術(shù)算式表示數(shù)，二是用文字語(yǔ)句來(lái)表示數(shù)，三是用字母表示數(shù)。遵循這一歷史進(jìn)程，學(xué)生要從用自然數(shù)等表示數(shù)量多少的數(shù)字符號(hào)表達(dá)走向用字母表示一般數(shù)量與關(guān)系的概念符號(hào)表達(dá)。為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，一方面，需要喚醒學(xué)生算術(shù)表達(dá)的經(jīng)驗(yàn)，在反復(fù)表達(dá)中引導(dǎo)學(xué)生反思，意識(shí)到算術(shù)表達(dá)的局限性；另一方面，需要讓學(xué)生通過(guò)歸納推理，用已知推斷未知，從而實(shí)現(xiàn)從具體走向一般。

為此，在引導(dǎo)學(xué)生用小棒擺三角形，并用算式表示所需要的小棒根數(shù)之后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：（1）你會(huì)用算式表示了嗎？你還能繼續(xù)寫(xiě)這樣的算式嗎？寫(xiě)得完嗎？（2）你寫(xiě)的算式中，能否找到一個(gè)算式可以表示這里所有的情況？（3）觀察一下你寫(xiě)的算式，什么變了，什么沒(méi)變？（4）你能用一句話來(lái)描述三角形的個(gè)數(shù)與小棒根數(shù)之間的關(guān)系嗎？這句話可以表示出這里所有的情況嗎？（5）如果讓你選，你會(huì)選擇這些算術(shù)算式還是這句話來(lái)表示剛才的情況，為什么呢？（6）剛才的算式真的寫(xiě)不完嗎？你能不能想想辦法，用一個(gè)式子來(lái)表示所有的情況呢？（7）小棒的根數(shù)是用一個(gè)新的字母表示，還是用含有字母的式子表示更好呢？為什么？（8）這三種表達(dá)方式，如果讓你選，你會(huì)選哪種呢？為什么？

在書(shū)寫(xiě)算術(shù)算式的活動(dòng)中，學(xué)生一方面適應(yīng)用一個(gè)算式表示結(jié)果（小棒的總根數(shù)），一方面積累一定數(shù)量的算式為后續(xù)經(jīng)過(guò)歸納推理，抽象得出一般結(jié)論提供探究素材。對(duì)書(shū)寫(xiě)過(guò)程的反思，促使學(xué)生意識(shí)到：這樣的算術(shù)算式有無(wú)數(shù)個(gè)，這些算術(shù)算式都有相同的結(jié)構(gòu)，即都是用三角形的個(gè)數(shù)乘3；在這些算式中，任何一個(gè)單獨(dú)的算式都不能表示所有的情況?；顒?dòng)中，不斷變化的數(shù)量為抽象成用字母或含有字母的式子表示數(shù)提供了必要性，不變的數(shù)量關(guān)系為學(xué)生經(jīng)歷由抽象走向一般的過(guò)程提供門(mén)徑。

這樣的教學(xué)過(guò)程，與數(shù)學(xué)史上有關(guān)符號(hào)抽象的發(fā)展歷程基本吻合，體現(xiàn)了知識(shí)的“再發(fā)現(xiàn)”過(guò)程。學(xué)生在梯度推進(jìn)中感悟用字母表示數(shù)的概括性、簡(jiǎn)潔性特點(diǎn)，體會(huì)到抽象的必要性與進(jìn)行抽象的基本方法。

二、在變與不變中聚焦關(guān)系，感悟抽象關(guān)鍵點(diǎn)

從學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)來(lái)看，在本課之前，學(xué)生已具備用字母表示數(shù)的一些經(jīng)驗(yàn)。與舊知對(duì)比，本課學(xué)習(xí)的難點(diǎn)應(yīng)是從用符號(hào)表示單個(gè)數(shù)量，走向用“字母式”表示相關(guān)數(shù)量與數(shù)量關(guān)系。要突破其中的難點(diǎn)，完成抽象過(guò)程，需要繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)抓住“關(guān)系”來(lái)表達(dá)。為此，可以設(shè)置如下教學(xué)環(huán)節(jié)。

結(jié)合線段圖出示：甲、乙兩地之間的公路長(zhǎng)280千米，一輛汽車(chē)從甲地開(kāi)往乙地。然后引導(dǎo)學(xué)生思考交流：（1）汽車(chē)可能在哪個(gè)位置？已行的路程是哪一段？未行的呢？（2）不管汽車(chē)在哪個(gè)位置，什么數(shù)量不會(huì)發(fā)生變化？（3）如果汽車(chē)已經(jīng)行駛了50千米，剩下的路程是多少？你會(huì)用算式來(lái)表示嗎？如果已行了74.5千米呢？200千米呢？（4）在剛才所寫(xiě)的算式中，什么變了，什么不變？這樣的算式寫(xiě)得完嗎？（5）已行的路程有多少種情況，該怎么表示，用字母a表示可以嗎？用字母b表示可以嗎？（6）剩下的路程該怎么表示，用字母c來(lái)表示可以嗎？280-a與c相比，在表示剩下的路程上，有什么優(yōu)勢(shì)呢？（7）在這個(gè)式子中，字母a表示的數(shù)量最小是多少？最大呢？

從線段圖的直觀感知——在變化之中尋找關(guān)系，奠定抽象的具象基礎(chǔ)；到用數(shù)字符號(hào)計(jì)算——在計(jì)算中體會(huì)關(guān)系，豐富抽象的運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)；到用概念符號(hào)來(lái)表達(dá)——在概括中書(shū)寫(xiě)關(guān)系，用符號(hào)表達(dá)抽象結(jié)果。在這個(gè)教學(xué)過(guò)程中，教師始終圍繞著不變的數(shù)量關(guān)系來(lái)做文章，為學(xué)生從具象到抽象提供了思考問(wèn)題的視角與思路，使其感悟抽象關(guān)鍵點(diǎn)，積累數(shù)學(xué)抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

三、在分層練習(xí)中逐步進(jìn)階，提升抽象表達(dá)能力

抽象的主要對(duì)象是現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系，抽象形成了數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，并用定義或符號(hào)加以表達(dá)。面對(duì)具體情境中的數(shù)量關(guān)系，學(xué)生能否正確運(yùn)用符號(hào)進(jìn)行表達(dá)，是學(xué)生抽象水平的外在表現(xiàn)。如果說(shuō)前面的教學(xué)實(shí)現(xiàn)了對(duì)抽象特點(diǎn)的感悟與表達(dá)門(mén)徑的理解，那么接下來(lái)的練習(xí)環(huán)節(jié)則應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生具體運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)量、關(guān)系和規(guī)律，從而形成表達(dá)的一般策略。

1. 基本練習(xí)——直面本課知識(shí)內(nèi)核。

學(xué)生獨(dú)立完成后，展開(kāi)師生交流：表格中什么在變，什么不變？問(wèn)題引導(dǎo)直指本課教學(xué)的核心內(nèi)容——抓住關(guān)系來(lái)表達(dá)，幫助學(xué)生形成基本技能。

2. 變式練習(xí)——構(gòu)造矛盾，完善結(jié)構(gòu)。

在練習(xí)中，教師適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生思考：x米表示的是哪段路程？小麗家到學(xué)校的路程可不可以用x米或者含有x的式子來(lái)表示？如果知道小麗家到學(xué)校的路程比小軍家到學(xué)校的路程多300米呢？“800+x+y”表示的是從哪里到哪里的路程？一系列的追問(wèn)，引領(lǐng)學(xué)生深度感悟用字母表示單獨(dú)數(shù)量與用字母式表示相關(guān)數(shù)量的不同，在辨析中提升符號(hào)表達(dá)的能力。

3. 拓展練習(xí)——變化關(guān)系，體會(huì)不同。

（1）出示：椅子的價(jià)格線段、桌子的價(jià)格線段。提問(wèn)：這里椅子的價(jià)格是未知數(shù)，該怎么表示？桌子的價(jià)格呢？ （2）將桌子的價(jià)格線段均分為四等份，且每份和椅子的價(jià)格相等。接著引導(dǎo)思考：桌子的價(jià)格現(xiàn)在你還想用y來(lái)表示嗎？為什么？ （3）桌子的價(jià)格再增加20元。提問(wèn)：現(xiàn)在還能用4x來(lái)表示嗎？該如何表示呢？（4）增加條件：一共470元。提問(wèn)：你能用一個(gè)等式來(lái)表示這道題中的數(shù)量關(guān)系嗎？

四個(gè)問(wèn)題，指向抽象的不同層次，從表示沒(méi)有關(guān)系的兩個(gè)數(shù)量，到有關(guān)系的數(shù)量表達(dá)，到最后用“方程”表示等量關(guān)系，在逐層進(jìn)階中提升學(xué)生的抽象表達(dá)能力。

（作者單位：安徽省潛山市余井中心學(xué)校 江蘇省蘇州市相城第一實(shí)驗(yàn)小學(xué)）