張霞霞
進(jìn)入新時(shí)期,我國(guó)社會(huì)對(duì)人才類(lèi)型的需求更加傾向于邏輯強(qiáng)、思維靈敏的復(fù)合型人才,而思維的培養(yǎng)不是一蹴而就的,需要長(zhǎng)期的引導(dǎo)和科學(xué)的運(yùn)用。初中階段作為思維初步成型且不斷發(fā)展的重要時(shí)期,需要融入素質(zhì)教育理念,幫助學(xué)生形成良好的思維邏輯,從而在學(xué)習(xí)和思考問(wèn)題時(shí)能游刃有余。在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中,數(shù)形結(jié)合能幫助初中生形成思維建模,具有一定的邏輯性和系統(tǒng)性,與核心素養(yǎng)的培養(yǎng)理念相一致。
一、數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)中的教學(xué)原則
(一)雙向性原則
雙向性原則是落實(shí)數(shù)形結(jié)合法的基礎(chǔ)性原則,需要教師針對(duì)某一抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行幾何分析,實(shí)現(xiàn)互補(bǔ),將復(fù)雜的代數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)換成圖形,再針對(duì)其內(nèi)涵進(jìn)行精準(zhǔn)解讀;同時(shí),利用幾何圖形來(lái)重新縷清代數(shù)關(guān)系,降低數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的難度,形成系統(tǒng)化的解題思路,既要做到“以形助數(shù)”,又要做到“以數(shù)思形”,久而久之形成抽象思維,培養(yǎng)核心素養(yǎng),這類(lèi)方式主要見(jiàn)于初中數(shù)學(xué)完全平方公式和幾何圖形類(lèi)知識(shí)點(diǎn)。
(二)由繁化簡(jiǎn)原則
由繁化簡(jiǎn)原則,顧名思義就是利用數(shù)形結(jié)合,將抽象的內(nèi)容進(jìn)行直觀演示,在“數(shù)”與“形”的變換中更加清晰、具體地展示圖形,將煩瑣且長(zhǎng)篇幅的數(shù)字關(guān)系逐一轉(zhuǎn)換成圖像語(yǔ)言,加深記憶,在腦海中形成思維建模,簡(jiǎn)化分析流程。在由繁化簡(jiǎn)的過(guò)程中需要注意數(shù)形結(jié)合方式的運(yùn)用,若題目過(guò)于煩瑣,可以用圖形來(lái)加以解讀,若是圖像不細(xì)致,則要利用數(shù)字關(guān)系解讀圖形,切忌本末倒置。
(三)等價(jià)性原則
等價(jià)性原則要求教師在解讀幾何性質(zhì)與代數(shù)時(shí)要充分反映二者的關(guān)系,確保做到無(wú)偏差、互補(bǔ)。在初中數(shù)學(xué)中有很多圖形關(guān)系和動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,或一些示數(shù)不規(guī)范,使圖像理解存在歧義的現(xiàn)象,導(dǎo)致學(xué)生思維空白?;诘葍r(jià)性原則的數(shù)形結(jié)合法能有效彌補(bǔ)這一缺陷,確保幾何關(guān)系與代數(shù)關(guān)系所表達(dá)內(nèi)涵的一致性,降低解題失誤率。
二、數(shù)形結(jié)合培養(yǎng)核心素養(yǎng)的途徑
(一)導(dǎo)入數(shù)形結(jié)合思想完善思維
數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是新時(shí)期初中數(shù)學(xué)教育的一項(xiàng)重點(diǎn)任務(wù),這一過(guò)程中要求教師將側(cè)重點(diǎn)放在思維方面的培養(yǎng)上,然而核心素養(yǎng)的養(yǎng)成需要長(zhǎng)期的積累與循序漸進(jìn)的引導(dǎo),因此教師可以在教育初始階段引入數(shù)形結(jié)合思想,提升學(xué)生認(rèn)知,在其腦海中構(gòu)建一個(gè)完整的輪廓,再進(jìn)行接下來(lái)的針對(duì)性引導(dǎo),重塑思維邏輯,形成完善的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系,在學(xué)到新知識(shí)時(shí)能自然而然地利用數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行思維轉(zhuǎn)換。
代數(shù)是初中數(shù)學(xué)中比較基礎(chǔ)的部分,但其知識(shí)點(diǎn)在后續(xù)教學(xué)中所涉及的部分很多,需要教師打下良好基礎(chǔ)。例如,在華師大版初一數(shù)學(xué)第二章“有理數(shù)”的學(xué)習(xí)過(guò)程中,首先需要詳細(xì)講解有理數(shù)、無(wú)理數(shù)、整數(shù)、正數(shù)、負(fù)數(shù)等內(nèi)容的具體概念。為了在學(xué)生思維中建立數(shù)形結(jié)合思想的基礎(chǔ),教師可以運(yùn)用具體圖像來(lái)幫助其強(qiáng)化理解,適當(dāng)融入以往教學(xué)過(guò)程中的知識(shí)點(diǎn),如小數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)等。在授課過(guò)程中可以采用問(wèn)題式引導(dǎo),根據(jù)圖1橫軸示數(shù)的內(nèi)容提出以下問(wèn)題:0點(diǎn)兩邊的數(shù)值有什么區(qū)別和共性?a與b之間存在多少有理數(shù),多少整數(shù)?|a|與|b|誰(shuí)大?A和B誰(shuí)大?
圖1 橫軸示數(shù)
有理數(shù)中比較容易混淆的知識(shí)點(diǎn)在于數(shù)值的正負(fù)性比較和絕對(duì)值比較,通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式能有效規(guī)避這類(lèi)問(wèn)題,讓學(xué)生了解和掌握數(shù)形結(jié)合的基本運(yùn)用方式,提升思想認(rèn)知,若遇到類(lèi)似問(wèn)題能巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,從而掌握有理數(shù)、正負(fù)數(shù)的規(guī)律。
(二)由“數(shù)”到“形”的分類(lèi)討論法
邏輯思維能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重點(diǎn)部分,而數(shù)形結(jié)合思想理念正是培養(yǎng)邏輯思維的最佳路徑。現(xiàn)階段,核心素養(yǎng)的培養(yǎng)理念已經(jīng)在各個(gè)中學(xué)普及,但部分初中教育工作者在授課過(guò)程中仍舊存在偏離理念、過(guò)于重視成績(jī)的現(xiàn)象,導(dǎo)致教學(xué)質(zhì)量和效率始終保持在原本水平,無(wú)法實(shí)現(xiàn)突破。此外,還存在不知如何深度落實(shí)數(shù)形結(jié)合思想的現(xiàn)象?;诖?,可以選擇最基本的分類(lèi)討論法來(lái)落實(shí)數(shù)形結(jié)合理念,從“數(shù)”到“形”優(yōu)化課堂內(nèi)容,不僅能提高學(xué)習(xí)效率,還能培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。
函數(shù)是初中生公認(rèn)的一大數(shù)學(xué)難點(diǎn),很多學(xué)生對(duì)其望而卻步,甚至一看到有關(guān)函數(shù)的題目直接跳過(guò),畏難心理較重,而初中數(shù)學(xué)中關(guān)于函數(shù)的知識(shí)占比很大,造成的直接影響就是數(shù)學(xué)成績(jī)一落千丈,還有部分學(xué)生會(huì)因此厭倦數(shù)學(xué)科目,而數(shù)形結(jié)合思想剛好可以打破這一教學(xué)困境。以華師大版初中數(shù)學(xué)“二次函數(shù)”為例,首先需要明確二次函數(shù)的難點(diǎn)是哪部分,從而對(duì)癥下藥,一般情況下基礎(chǔ)二次函數(shù)的難點(diǎn)在于規(guī)定某一范圍,求取最大最小值的部分。例如,這道題目:已知-1≤x≤a(a為大于-1的常數(shù)),求函數(shù)y=x2的最大值M和最小值m。在解題之初需要教師帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行詳細(xì)分析,首先,需要明確二次函數(shù)y=x2的圖像;其次需要明確能夠決定y=x2變化的因素在于“a”的取值范圍,判斷最值時(shí)可以借助函數(shù)圖像,并將幾個(gè)數(shù)值節(jié)點(diǎn)“-1”“0”“1”視為關(guān)鍵點(diǎn),可以歸納出四個(gè)范圍,即“-1≤a≤0”“01”;最后,需要秉持直觀性原則畫(huà)出圖像進(jìn)行分類(lèi)討論(如圖2)。
圖2 二次函數(shù)圖像
根據(jù)函數(shù)圖像能讓學(xué)生清楚地了解到a的不同范圍會(huì)得到不同的結(jié)果,為了確保不會(huì)出現(xiàn)漏項(xiàng)的問(wèn)題,教師要按照?qǐng)D像依次進(jìn)行分類(lèi)討論:
(1)-1≤a≤0時(shí),當(dāng)x=-1時(shí),y最大為1,當(dāng)x=0時(shí),y最小值為a2;
(2)0 (3)a=1時(shí),當(dāng)x=-1或1時(shí),y最大為1,當(dāng)x=0時(shí),y最小為0; (4)a>1時(shí),當(dāng)x=a時(shí),y最大為a2,當(dāng)x=0時(shí),y最小為0。 綜上,能夠直觀地向?qū)W生傳達(dá)解題思路,在其腦海中形成完整的思維邏輯,再遇到類(lèi)似的題目時(shí)他們也會(huì)采用同樣的方法來(lái)進(jìn)行作畫(huà)。在此過(guò)程中需要強(qiáng)調(diào)最后的總結(jié)部分,確保不要丟項(xiàng)漏項(xiàng),書(shū)寫(xiě)時(shí)務(wù)必將圖像與分類(lèi)討論項(xiàng)對(duì)照,注明各個(gè)圖像范圍所對(duì)應(yīng)的內(nèi)容,尤其區(qū)分“<”“≤”“=”以及范圍的正負(fù)性。 (三)由“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”的圖像解析法 除了由“數(shù)”轉(zhuǎn)“形”外,教師還可以舉一反三,利用由“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”方式來(lái)幫助學(xué)生提升思維靈活性。對(duì)初中生來(lái)說(shuō),幾何類(lèi)圖形具有一定的抽象性特點(diǎn),往往伴隨著長(zhǎng)篇幅的定義,經(jīng)常出現(xiàn)點(diǎn)位混亂的現(xiàn)象,導(dǎo)致思維模棱兩可,無(wú)法形成完整的記憶鏈。以往幾何圖形類(lèi)教學(xué)只是在黑板上畫(huà)出圖形進(jìn)行講解,有時(shí)涉及的圖形很多,讓人眼花繚亂,分不清線與線的具體關(guān)系,基于此,數(shù)形結(jié)合思想剛好能起到輔助作用。 由“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”的圖像解析法主要針對(duì)一些復(fù)雜的圖形問(wèn)題,可以合理引入直角坐標(biāo)系來(lái)直觀展示圖形之間的數(shù)量關(guān)系,做到化繁為簡(jiǎn)。以此題為例:在矩形ABCD上的CD邊存在一點(diǎn)P(與C、D點(diǎn)不重合),連接A、P兩點(diǎn)形成線段AP,并過(guò)點(diǎn)A做一條垂直線與CB延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q,連接PQ,選PQ的中點(diǎn)為M。在此圖中AD=10,AB=a,PD=8,a的值會(huì)發(fā)生大小變化,M點(diǎn)位置也會(huì)隨之變化,當(dāng)點(diǎn)M落在矩形ABCD外部后,求取a值范圍。 根據(jù)材料內(nèi)容可以發(fā)現(xiàn)題目十分煩瑣,若直接畫(huà)圖可能會(huì)更加混亂,思維無(wú)法拓展,尤其涉及動(dòng)點(diǎn)知識(shí),因此可以以直角坐標(biāo)系為基礎(chǔ)完成圖像的繪制,從而直觀地展示數(shù)字關(guān)系(如圖3),建立以B點(diǎn)為0軸的坐標(biāo)系,BA為y軸,BC為x軸,根據(jù)題意可知A為(0,a),P為(10,a-8),AP的斜率kAP=-4/5,因此可以得出AQ的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=4/5x+a,由于AQ與X軸相較于點(diǎn)Q,因此Q坐標(biāo)為(-4/5a,0),M作為QP中點(diǎn),坐標(biāo)為(5-2/5a,a/2-4),當(dāng)點(diǎn)M落在矩形ABCD外部時(shí)處于第二象限,可列出關(guān)系式5-2/5a<0和a/2-4>0,最終解得a>12.5。 圖3 利用直角坐標(biāo)系繪制的幾何圖形 數(shù)形結(jié)合的圖像解析法能化繁為簡(jiǎn),更加清晰地展示圖形之間的函數(shù)關(guān)系,尤其針對(duì)一些比較復(fù)雜的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題很有成效,同時(shí)還能起到調(diào)動(dòng)興趣、引領(lǐng)思維的作用,使其思維始終貫穿于課堂,即使在中途存在思維偏離的現(xiàn)象,也能根據(jù)圖像及時(shí)回到課堂,跟上教師思路,培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。 (四)信息技術(shù)引導(dǎo)思維建模 相比于以往的教學(xué)模式,數(shù)形結(jié)合更加注重?cái)?shù)學(xué)建模思維的培養(yǎng),通過(guò)圖形與數(shù)值轉(zhuǎn)換的方式強(qiáng)化對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解,從而讓學(xué)生深度了解圖形關(guān)系,在腦海中建立系統(tǒng)的解題思路和學(xué)習(xí)體系,在遇到新問(wèn)題時(shí)能根據(jù)數(shù)值自然而然地帶入。仍以上述的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題為例,初中生的抽象思維尚未成熟,在利用由“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”的過(guò)程中很難在腦海中形成動(dòng)態(tài)的模型,教師可以利用信息技術(shù)的可操作性將標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)輸入在教學(xué)系統(tǒng)中,通過(guò)動(dòng)點(diǎn)的移動(dòng)感受其與之相關(guān)點(diǎn)的動(dòng)態(tài)軌跡,從而在頭腦中形成思維建模。 除了解決實(shí)際問(wèn)題外,還可以將其運(yùn)用于教學(xué)中,例如,在教學(xué)華東師大版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)“與圓有關(guān)的位置關(guān)系”時(shí),由于教材中的關(guān)系類(lèi)型很多,且圖形變換中涉及的數(shù)值也很多,若仍舊采用“黑板+粉筆”的方式會(huì)浪費(fèi)更多課堂時(shí)間,且不符合由繁化簡(jiǎn)原則,無(wú)法直觀地展示動(dòng)態(tài)變化過(guò)程,在繪制的過(guò)程中學(xué)生思維也會(huì)出現(xiàn)中斷,導(dǎo)致教學(xué)效果不佳。基于此,教師可以采用信息技術(shù)的可操作性來(lái)進(jìn)行數(shù)形結(jié)合引導(dǎo),利用多媒體技術(shù)展示動(dòng)態(tài)的效果,為了提升整體效果,可以選擇坐標(biāo)軸的方式。以“圓與直線的位置關(guān)系”為例,在授課過(guò)程中教師可以在課件中作出直角坐標(biāo)系和圓,將圓心點(diǎn)放在y軸上,圓的半徑為r,圓心點(diǎn)到垂直于x軸的距離為d,通過(guò)對(duì)d輸入不同數(shù)值來(lái)展示圓和直線的位置關(guān)系,并讓學(xué)生觀察規(guī)律。此外,還可以利用教學(xué)軟件形成動(dòng)態(tài)的移動(dòng)軌跡,當(dāng)?shù)竭_(dá)臨界點(diǎn)時(shí)停頓,引導(dǎo)學(xué)生分析影響直線與圓關(guān)系的因素,并歸納為以下幾點(diǎn):1.當(dāng)d>r,直線和圓相離;2.當(dāng)d=r,直線和圓相切;3.當(dāng)d (五)數(shù)形結(jié)合培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析能力 初中階段是養(yǎng)成良好數(shù)學(xué)思維的重要時(shí)期,教育工作者在選擇教學(xué)方法時(shí)務(wù)必要結(jié)合該階段學(xué)生的思想規(guī)律,從實(shí)際情況出發(fā)。數(shù)據(jù)分析能力要求學(xué)生具備認(rèn)真的態(tài)度和縝密的思維,確保在書(shū)寫(xiě)過(guò)程中不會(huì)出現(xiàn)遺漏現(xiàn)象和書(shū)寫(xiě)錯(cuò)誤現(xiàn)象,一般情況下被統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)會(huì)相類(lèi)似,直接排列數(shù)值會(huì)造成視覺(jué)疲勞,導(dǎo)致最終結(jié)果偏離正確答案,尤其是帶有小數(shù)點(diǎn)的數(shù)據(jù),因此可以采用繪制統(tǒng)計(jì)圖表的方式直觀展示數(shù)值的變化趨勢(shì)。在實(shí)際授課過(guò)程中,教師可以以組為單位開(kāi)展統(tǒng)計(jì)活動(dòng),將學(xué)生分為3~4個(gè)小組,每組人數(shù)控制在8~10人左右,為了突出學(xué)生的主體地位,可以采用組內(nèi)合作的方式,通過(guò)討論選擇一個(gè)話題進(jìn)行組內(nèi)統(tǒng)計(jì),如短跑成績(jī)、掰手腕堅(jiān)持的時(shí)間、平板支撐堅(jiān)持的時(shí)間等,盡可能選擇能夠以秒為計(jì)數(shù)單位的內(nèi)容,以此來(lái)調(diào)動(dòng)課堂氛圍,提高學(xué)生的課堂參與度,使學(xué)生快速進(jìn)入課堂狀態(tài)。在完成統(tǒng)計(jì)圖后需要計(jì)算平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等。通過(guò)這種方式能直觀地看到數(shù)值的差異,引導(dǎo)學(xué)生注意細(xì)節(jié)變化,以數(shù)形結(jié)合的方式提升初中生的數(shù)據(jù)分析能力,做到認(rèn)真仔細(xì),避免出現(xiàn)丟項(xiàng)漏項(xiàng)的問(wèn)題,間接培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。 總的來(lái)看,數(shù)形結(jié)合對(duì)初中生來(lái)說(shuō)是效率較高的教育方法,對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)具有一定的促進(jìn)作用,通過(guò)圖像引導(dǎo)、思維導(dǎo)圖、對(duì)比等方式強(qiáng)化理解,提高記憶效果。作為新時(shí)期的數(shù)學(xué)教育工作者要不斷創(chuàng)新思維,探索更有深度的教學(xué)模式,加強(qiáng)思想引導(dǎo),充分利用客觀條件采用多樣化的教學(xué)手段,幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和思維能力。 (宋行軍)