基于Tikhonov正則的圖像盲復(fù)原算法

楊天驥，姜亞琴，郭小亞

(南京郵電大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南京 210023)

0 引 言

圖像復(fù)原技術(shù)在遙感觀測(cè)、生物科學(xué)、醫(yī)學(xué)影像、交通監(jiān)控等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用[1]。根據(jù)模糊核(blur kernel)是否已知，圖像復(fù)原的方法可分為兩類:一類為圖像非盲復(fù)原方法，另一類為圖像盲復(fù)原方法。眾所周知，圖像盲復(fù)原問(wèn)題的困難在于如何誤差較小地估算模糊核，而正則化是解決此類問(wèn)題的一種有效方法。首先，You等[2]提出基于H1半范數(shù)的各向同性擴(kuò)散的正則化盲復(fù)原方法。進(jìn)一步，為了保護(hù)圖像的邊緣信息，Chan等[3]用TV半范數(shù)替換H1半范數(shù)，提出基于各向異性的盲復(fù)原模型(記為Chan模型)。為了恢復(fù)圖像的更多細(xì)節(jié)信息，Huang等[4]提出基于Lipschitz空間正則的盲復(fù)原模型，但該模型的圖像復(fù)原結(jié)果對(duì)參數(shù)的選取較為敏感。James等[5]在Chan模型的基礎(chǔ)上，提出用沖擊(shock)濾波器對(duì)模糊圖像進(jìn)行預(yù)處理的半盲復(fù)原方法，該方法多用于復(fù)原背景簡(jiǎn)單的圖像，對(duì)背景復(fù)雜的圖像復(fù)原效果欠佳。針對(duì)Chan模型難以復(fù)原模糊嚴(yán)重的圖像，Krishnan等[6]提出基于L1/L2正則的圖像盲去糊模型(記為K-D模型)，并采用由粗到精的多層圖像金字塔策略處理模糊核。K-D模型在對(duì)圖像去模糊過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)振鈴現(xiàn)象(ringing phenomenon)，且難以恢復(fù)圖像中的紋理等細(xì)節(jié)。另外，為提升Chan模型的求解速度，Li等[7]結(jié)合分裂Bregman算法設(shè)計(jì)Chan模型的快速算法，并在數(shù)值求解過(guò)程中，考慮對(duì)模糊核采取閾值約束和歸一化約束的限制。隨后，李真?zhèn)サ萚8]除考慮模糊核的約束條件外，還給定約束圖像的正定性條件，采用交替方向乘子法數(shù)值求解Chan模型(記為L(zhǎng)z方法)。

針對(duì)上述模型對(duì)參數(shù)敏感的問(wèn)題，在Chan模型中引入模糊核的Tikhonov正則，提出新的盲去糊模型，并證明新的盲復(fù)原模型解的存在性。另外，采用由粗到精的多層圖像金字塔策略，構(gòu)造模糊核的初始值，再結(jié)合交替極小化(AM)方法，設(shè)計(jì)基于初始模糊核的快速算法求解所提模型。數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：所提算法在不需要模糊核動(dòng)態(tài)閾值約束的前提下，不僅能得到高質(zhì)量的圖像復(fù)原結(jié)果，而且對(duì)參數(shù)有較好的魯棒性。

1 模型介紹

設(shè)f為觀察到的含模糊和噪聲的圖像，經(jīng)典的Chan模型可表示為如下變分問(wèn)題：

(1)

其中，k表示未知的模糊核，u表示復(fù)原的圖像，*表示卷積運(yùn)算，α，β為正的權(quán)重參數(shù)。

文獻(xiàn)[3]中，Chan等采用交替迭代極小化算法數(shù)值求解模型(1)(記為Chan方法)。在迭代求解過(guò)程中，對(duì)u和k采用如下的約束限制：

以此避免由于Chan模型本身非凸所導(dǎo)致的對(duì)參數(shù)選取敏感的問(wèn)題。

圖1給出了Chan方法、Li方法以及文中提出方法的去模糊結(jié)果。其中(a)為含散焦模糊的真實(shí)圖像，(e)為(a)中所含的真實(shí)模糊核，(b)和(f)分別為Chan方法所得的去糊后的圖像和Chan方法估算的模糊核。不難發(fā)現(xiàn)，Chan模型估算出的模糊核(二范數(shù)值為0.065 5)與真實(shí)的模糊核(二范數(shù)值為0.071 0)差異較大。而且，Chan模型所得的復(fù)原圖像(b)中仍然含有較大的模糊，對(duì)應(yīng)的峰值信噪比(peak signal to noise ratio，PSNR)為25.086 3。

為了解決Chan模型復(fù)原結(jié)果對(duì)參數(shù)選取敏感的問(wèn)題，Li等對(duì)模糊核添加動(dòng)態(tài)閾值約束，設(shè)計(jì)基于分裂Bregman迭代的算法來(lái)數(shù)值求解Chan模型(記為L(zhǎng)i方法)。具體動(dòng)態(tài)閾值約束如下：

其中，δ為一個(gè)較小的正值，通常取δ=0.05。max(k)表示在迭代過(guò)程中每步估算的模糊核最大灰度值。圖1(c)給出了Li方法的去模糊結(jié)果，由于Li方法中直接采用模糊圖像f作為復(fù)原圖像u的初始值來(lái)計(jì)算模糊核，導(dǎo)致估算出的模糊核與真實(shí)的模糊核差異較大(見(jiàn)圖1)。同時(shí)，Li方法所得到去糊后的圖像(圖1(c))的質(zhì)量也欠佳。

圖1 茶杯復(fù)原圖

(a)為真實(shí)模糊圖像；(b)為Chan方法的復(fù)原圖像；(c)為L(zhǎng)i方法的復(fù)原圖像；(d)為文中方法的復(fù)原圖像；(e)～(h)分別為真實(shí)、Chan方法、Li方法、文中方法的模糊核。

2 文中模型與理論分析

為了克服Chan模型非凸導(dǎo)致的對(duì)參數(shù)選取較敏感的問(wèn)題，該文在Chan模型的基礎(chǔ)上，引入模糊核的Tikhonov正則，提出如下的變分盲去糊模型：

(2)

這里將u進(jìn)行歸一化處理，轉(zhuǎn)換到[0,1]。(u,k)?W,W={(u,k)|(u,k)∈BV(Ω)×BV(Ω),0≤u≤1}。前三項(xiàng)與Chan模型相同，第四項(xiàng)為模糊核的Tikhonov正則項(xiàng), 保證模糊核自身有“細(xì)”的稀疏特性，同時(shí)也避免模糊核過(guò)于稀疏而成為孤立的點(diǎn),防止求解過(guò)程中的過(guò)度擬合。

引入Tikhonov正則項(xiàng)后，本模型不再需要模糊核的動(dòng)態(tài)閾值約束。從圖1(d)不難看出，茶杯表面的光源恢復(fù)較好，保留了更多的細(xì)節(jié)信息。同時(shí)，由文中模型所決定的模糊核(h)與真實(shí)模糊核(e)更為接近，對(duì)應(yīng)模糊核二范數(shù)的數(shù)值為0.072 4，與真實(shí)模糊核的數(shù)值也最為接近。

接下來(lái)，給出模型(2)解的存在性證明。

定理1：設(shè)f∈L2(Ω),α,β,γ>0,則變分問(wèn)題(2)在W中存在解。

證明：給出模型(2)的能量泛函形式：

設(shè)T={(u,k)|E(u,k)≥0,(u,k)?W}。

(3)

(4)

由n∈N,0≤un≤1，通過(guò)式(3)可知{un}在BV(Ω)中一致有界。

由于BV空間的下半連續(xù)性，有：

接下來(lái)，證明下式：

由推論1可知：

3 文中算法

考慮到模糊核尺寸的選取會(huì)影響復(fù)原結(jié)果，預(yù)估模糊核的最大尺寸來(lái)獲得模糊核的初值條件，結(jié)合交替迭代極小化算法給出模型(2)的快速求解算法，從而更好地估算模糊核結(jié)果，使圖像復(fù)原效果更好。首先考慮如下模型：

引入兩個(gè)輔助變量d1,d2，將式(2)轉(zhuǎn)化為求解：

(5)

s.td1=▽u,d2=▽k

將式(5)轉(zhuǎn)化為求解無(wú)約束極值問(wèn)題，得到如下的增廣Lagrange函數(shù)：

其等價(jià)于：

這里的λ=(λ1,λ2)是Lagrange乘子向量，ρ1，ρ2>0是懲罰參數(shù)。下面分別對(duì)四個(gè)子問(wèn)題進(jìn)行求解。

(1)求解u的子問(wèn)題。

等價(jià)于求解：

由Euler-Lagrange方程得出：

再利用快速Fourier變換求出：

(6)

其中，F(xiàn)和F-1分別表示快速Fourier變換及其逆變換，K是由k構(gòu)造的方塊循環(huán)矩陣，K*表示K的共軛轉(zhuǎn)置。

(2)求解k的子問(wèn)題。

等價(jià)于求解：

由Euler-Lagrange方程得出：

再利用快速Fourier變換求出：

(7)

其中U是由u構(gòu)造的方塊循環(huán)矩陣，U*表示U的共軛轉(zhuǎn)置。

(3)求解d1的子問(wèn)題。

等價(jià)于求解：

由shrink算子可知：

(8)

(4)求解d2的子問(wèn)題。

等價(jià)于求解：

由shrink算子可知：

(9)

結(jié)合式(6)～式(9)，給出文中算法步驟：

步驟2：當(dāng)?shù)赐Ｖ?，反?fù)執(zhí)行如下步驟：

(VII)i=i+1

步驟3：迭代終止條件：

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

4.1 模糊核的初值選取

首先建立多層圖像金字塔，然后在圖像金字塔的每個(gè)分辨率層都循環(huán)地執(zhí)行模糊核的估計(jì)與圖像的復(fù)原。這里自定義模糊核的最大尺寸，設(shè)置為a*a的方陣。

(10)

其中，[x]表示對(duì)x的取整，b為常數(shù)，c表示圖像金字塔的層數(shù)，d表示對(duì)應(yīng)層數(shù)c的采樣系數(shù)，e表示每一層模糊核(方陣)的行或列，且設(shè)定的每層模糊核尺寸均為奇數(shù)，若e是偶數(shù)，則e=e+1。

由于b是該文給定的常數(shù)，若第一層模糊核的尺寸為g*g，由公式(10)可知，g>b。復(fù)原效果達(dá)到最佳時(shí)，模糊核的最大尺寸不一定等于真實(shí)尺寸，但是若與真實(shí)尺寸偏離太多，模糊核的估計(jì)肯定不精準(zhǔn)。因此，如果是仿真實(shí)驗(yàn)，假設(shè)真實(shí)模糊核尺寸為h*h，必須滿足第一層模糊核的尺寸小于真實(shí)模糊核尺寸，即g

4.2 灰度級(jí)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試圖像實(shí)驗(yàn)

本節(jié)將對(duì)多幅測(cè)試圖像進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證文中模型的復(fù)原效果，并同現(xiàn)有其他方法進(jìn)行比較。這里，用PSNR、結(jié)構(gòu)相似性(structural similarity，SSIM)和相對(duì)誤差率(relative error，ReErr)評(píng)價(jià)復(fù)原的效果。其定義形式分別為：

(11)

(12)

(13)

從式(11)～式(13)可知，PSNR、SSIM越大，復(fù)原效果越好，相反，ReErr越小，復(fù)原效果越好，表明復(fù)原后的圖像與原圖越相似。為了驗(yàn)證文中復(fù)原方法的有效性，采用四幅分辨率均為256*256像素的灰度級(jí)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試圖像測(cè)試模型(2)。實(shí)驗(yàn)參數(shù)選?。害痢?0.000 01,0.001),β∈(0,50),b=3,γ∈(0,1 000),ρ1=1.5,ρ2=6 000,并將圖像的強(qiáng)度縮放到0和1之間。算法中，tol是用來(lái)控制迭代終止的量，文中取tol=10-3。

圖2 四幅灰度級(jí)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試圖

第一組實(shí)驗(yàn)：對(duì)Lena、Rice、Coin測(cè)試高斯模糊(大小為10*10像素，方差為5)，并對(duì)三幅圖像加入方差為0.01的高斯白噪聲。

從圖3可以看出，加入高斯模糊后，Chan方法在四種方法中，對(duì)三幅灰度圖像的復(fù)原效果均較弱；K-D方法雖然能夠?qū)⒒叶葓D像的色差更好地復(fù)原出來(lái)，但會(huì)使復(fù)原圖像出現(xiàn)振鈴現(xiàn)象，且對(duì)于圖像邊緣復(fù)原效果不是很好；Lz方法由于假設(shè)一個(gè)較大的模糊核支撐域，雖然能夠較好地保持復(fù)原圖像的邊緣信息，但細(xì)節(jié)信息不能很好地體現(xiàn)，導(dǎo)致視覺(jué)效果欠佳；與之相反，文中方法通過(guò)給定模糊核的尺寸，將模糊核稀疏化，保持復(fù)原圖像邊緣信息的同時(shí)對(duì)圖像細(xì)節(jié)也進(jìn)行了復(fù)原。從表1的數(shù)值結(jié)果也可以看出，文中方法的復(fù)原效果要優(yōu)于其他三種方法。

圖3 高斯模糊下的灰度圖復(fù)原結(jié)果

表1 高斯模糊下三幅灰度圖的復(fù)原結(jié)果比較

第二組實(shí)驗(yàn)：對(duì)Satellite加入方差為0.01的高斯白噪聲，并依次測(cè)試高斯模糊、散焦模糊、均勻模糊。其中，高斯模糊(大小為10*10像素，方差為5)、散焦模糊(半徑為3.5像素)、均勻模糊(大小為7*7像素)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4，其中，第一、二、三行分別為高斯模糊、散焦模糊、均勻模糊。

從圖4可以看出，針對(duì)高斯、散焦、均勻三種模糊，文中方法的復(fù)原效果依舊有優(yōu)勢(shì)。尤其是加入散焦模糊下的衛(wèi)星復(fù)原圖像，文中方法很好地刻畫(huà)了衛(wèi)星上的細(xì)節(jié)。從表2可以看出，文中方法對(duì)高斯、散焦、均勻模糊，都有最高PSNR值和最低的ReErr值，且有2個(gè)最高SSIM值。雖然對(duì)于均勻模糊，文中方法的SSIM值不是最高，但與最高值相差不多。數(shù)值結(jié)果說(shuō)明文中方法在保持圖像結(jié)構(gòu)和復(fù)原效果等方面與其他三種方法相比都更佳。

表2 衛(wèi)星圖在三種模糊類型下的復(fù)原結(jié)果比較

5 結(jié)束語(yǔ)

引入吉洪諾夫正則項(xiàng)的模型不僅改善了Chan模型參數(shù)敏感的問(wèn)題，而且加強(qiáng)了對(duì)模糊核的約束，取代了閾值約束。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：該方法迭代運(yùn)算簡(jiǎn)便，對(duì)模糊核的估計(jì)更為精確，復(fù)原效果較好，在一定程度上減輕了復(fù)原圖像的振鈴效應(yīng)影響。

圖4 三種模糊下衛(wèi)星圖復(fù)原結(jié)果