反思建構(gòu)，讓“不等式”之樹枝繁葉茂

高榮興

一元一次不等式（組）是初中階段比較重要的內(nèi)容。類比一元一次方程，我們把含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式叫作一元一次不等式。由幾個含有同一個未知數(shù)的一元一次不等式組成的不等式組就叫作一元一次不等式組。下面，我們一起來梳理一下本章的內(nèi)容。

學(xué)習(xí)這一章，我們先要對不等式的性質(zhì)進(jìn)行研究。同學(xué)們在學(xué)習(xí)時要與等式的性質(zhì)進(jìn)行對比，弄清兩者的相同與不同之處。在了解了不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上，我們再分兩個方面進(jìn)行學(xué)習(xí)。一方面是對概念的學(xué)習(xí)，比如，在本章，我們要知道什么是一元一次不等式（組），什么是一元一次不等式的解和解集，一元一次不等式（組）的解集如何表示等。另一方面是對方法的學(xué)習(xí)，比如，如何解一元一次不等式（組），步驟有哪些;如何用一元一次不等式（組）解決實(shí)際問題，解決問題的關(guān)鍵是什么;等等。按照這個思路，我們就可以將本章“知識樹”的主干畫出來了（如圖1）。

同學(xué)們在學(xué)習(xí)的過程中，還要結(jié)合著練習(xí)、運(yùn)用，不斷反思建構(gòu)，只有這樣，“不等式”之樹才會枝繁葉茂。接下來，我們來到不等式的應(yīng)用，通過對典型例題的分析，體驗(yàn)知識的生長。

例1 已知x=2是關(guān)于x的不等式x-3m+1≤0的一個解，那么m的取值范圍為 。

一般地，能夠使一元一次不等式成立的未知數(shù)的值，叫作一元一次不等式的解。若這個值是不等式的解，則將該值代入，不等式成立。本題中，把x=2代入不等式，不等號仍成立，即2-3m+1≤0，進(jìn)而可得m≥1。若已知條件變成“‘x=2’不是關(guān)于x的不等式x-3m+1≤0的解”，要求m的取值范圍，該怎么做呢？請同學(xué)們自行思考。

例2 （1）如果不等式組[x<8，x>m]無解，則下列數(shù)軸示意圖正確的是（ ）。

（2）已知不等式組[x≤2，x≤m]的解集是x≤2，則m的取值范圍是______。

幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫作由它們所組成的一元一次不等式組的解集。要在數(shù)軸上表示出不等式組的解集，就要把每個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來。數(shù)軸上的點(diǎn)把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集。我們也可以通過口訣來確定不等式組的解集，即“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小解不了”。第（1）題中，因?yàn)椴坏仁浇M無解，所以數(shù)軸上沒有兩條線段重合的區(qū)間，答案選D。第（2）題，因?yàn)樵坏仁浇M的解集是x≤2，所以根據(jù)“同小取小”，可以判斷“m>2”，但我們發(fā)現(xiàn)“m=2”也符合題意，綜合起來可得“m≥2”。我們在解決類似問題時，都要注意“=”的問題。

與一元一次方程的解法類似，解一元一次不等式一般也有去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、將項(xiàng)的系數(shù)化為1這幾步。但其中略有不同的是，在對一元一次不等式去分母和系數(shù)化為1時，要注意不等號方向是否要發(fā)生改變。如果不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號方向是要改變的。而解一元一次不等式組的步驟是：先分別求出不等式組中各個不等式的解集，再求出這些不等式的解集的公共部分，即這個不等式組的解集。確定不等式的解集的公共部分，我們可以借助數(shù)軸，也可以利用口訣。

（1）去分母，得6x-3（x-1）≤12-2（x+2），

去括號，得6x-3x+3≤12-2x-4，

移項(xiàng)，得6x-3x+2x≤12-4-3，

合并同類項(xiàng)，得5x≤5，

系數(shù)化為1，得x≤1。

在數(shù)軸上表示解集，如圖2所示。

（2）解不等式2x-4>3（x-2），得x<2;解不等式4x>[x-72]，得x>-1。借助數(shù)軸或利用口訣“大小小大中間找”可知，不等式組的解集為-1

例4 某市公交公司為落實(shí)“綠色出行，低碳環(huán)保”的城市發(fā)展理念，計(jì)劃購買A、B兩種型號的新型公交車，已知購買1輛A型公交車和2輛B型公交車需要165萬元，購買2輛A型公交車和3輛B型公交車需要270萬元。

（1）A型公交車和B型公交車每輛各多少萬元？

（2）公交公司計(jì)劃購買A型公交車和B型公交車共140輛，且購買A型公交車的總費(fèi)用不高于購買B型公交車的總費(fèi)用，那么該公司最多購買多少輛A型公交車？

對于一元一次不等式應(yīng)用題，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)數(shù)量之間的不等關(guān)系，然后設(shè)出未知數(shù)，正確列出一元一次不等式。（1）設(shè)A型公交車每輛x萬元，B型公交車每輛y萬元，由題意得[x+2y=165，2x+3y=270，]解得[x=45，y=60。]答：A型公交車每輛45萬元，B型公交車每輛60萬元。（2）設(shè)該公司購買m輛A型公交車，則購買（140-m）輛B型公交車，由“購買A型公交車的總費(fèi)用不高于購買B型公交車的總費(fèi)用”，列出一元一次不等式，得45m≤60（140-m），解得m≤80。答：該公司最多購買80輛A型公交車。