影響高斯束偏移成像質(zhì)量和效率的主要因素分析

張志鵬，孫章慶，韓復(fù)興，王雪秋，劉明忱，高正輝

吉林大學(xué) 地球探測(cè)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，長(zhǎng)春 130026

0 引言

地震波正反演的解決方法可分為波動(dòng)理論和射線理論。波動(dòng)理論計(jì)算速度慢，計(jì)算機(jī)硬件要求高，結(jié)果準(zhǔn)確。射線理論方法計(jì)算速度快，計(jì)算機(jī)硬件要求低，結(jié)果符合預(yù)期，已廣泛應(yīng)用于地震波正演模擬、偏移成像和層析速度反演等方面。

漸進(jìn)射線理論(ART)出現(xiàn)在20世紀(jì)50年代，前蘇聯(lián)學(xué)者Babich, Karal和Keller在彈性波領(lǐng)域中利用現(xiàn)有的電磁學(xué)研究成果提出了彈性動(dòng)力學(xué)波動(dòng)方程的級(jí)數(shù)解[1]。隨后，Cerveny, Ravindra, Cerveny, Hunyga, Kravtsov和Orlov等又展開(kāi)更深入的研究并對(duì)漸進(jìn)射線理論的的發(fā)展做出了巨大貢獻(xiàn)[2]。然而,射線方法具有許多問(wèn)題，不僅對(duì)介質(zhì)的近似以及模型的微小細(xì)節(jié)方面非常敏感，而且在其動(dòng)力學(xué)特征方面也存在難以在射線焦散區(qū)、陰影區(qū)等區(qū)域獲得正確的振幅等缺陷[3]。

針對(duì)常規(guī)射線追蹤存在的問(wèn)題，相關(guān)學(xué)者發(fā)展了高斯束方法，高斯束偏移方法既使用動(dòng)力學(xué)射線追蹤，使波場(chǎng)不存在奇異性區(qū)域，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)射線方法的缺陷和不足，又具有一定的有效寬度，彌補(bǔ)了兩點(diǎn)射線追蹤費(fèi)時(shí)的不足，提高了計(jì)算效率[4]。首先高斯束相比常規(guī)射線方法，不用再進(jìn)行兩點(diǎn)射線追蹤，且對(duì)模型的速度誤差不敏感[5]。其次，因?yàn)楦咚故啾瘸Ｒ?guī)射線方法具有復(fù)值的動(dòng)力學(xué)射線追蹤參量，所以不會(huì)產(chǎn)生射線奇異性區(qū)域，有效解決了射線方法中的焦散問(wèn)題[6]。

首先，在實(shí)現(xiàn)高斯束偏移成像的過(guò)程中，由于諸多射線參數(shù)對(duì)高斯束的影響，高斯束偏移成像的精度與效率往往難以兼顧，為了平衡成像的精度與效率，筆者對(duì)高斯束偏移核心參數(shù)的選取進(jìn)行研究。關(guān)于偏移成像中的參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題，1997年， Whitmore et al.[7]通過(guò)控制各向異性參數(shù)，在TI模型下獲得了大炮檢距下的更好的擬合；2011年，岳玉波[8]就高斯束偏移的參數(shù)選擇展開(kāi)了討論，并給出了部分核心參數(shù)的選取；2015年，王華忠等[9]在凹陷模型下對(duì)CWI方法的研究中對(duì)特征射線參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)成像效率進(jìn)一步提升；2016年，楊繼東[10]通過(guò)控制Kirchhoff偏移中的偏移參數(shù)來(lái)研究格林函數(shù)的影響，并給出了不同參數(shù)下的理論計(jì)算結(jié)果的對(duì)比；2019年，Lyu et al.[11]在時(shí)空域高斯束偏移方法的研究中也給出了偏移參數(shù)的動(dòng)態(tài)選取，研究不同參數(shù)下的偏移成像效果；2019年，呂慶達(dá)[12]在Sigsbee2a模型下進(jìn)行經(jīng)典高斯束偏移方法與時(shí)空域自適應(yīng)高斯束偏移方法的對(duì)比研究中也給出了不同成像參數(shù)的數(shù)值模擬結(jié)果?？梢?jiàn)偏移參數(shù)的選取是影響成像質(zhì)量與效率的重要因素；2021年，李勤[13]在對(duì)繞射波路徑積分成像方法的研究中對(duì)不同的速度區(qū)間參數(shù)選取進(jìn)行對(duì)比，在速度區(qū)間選取適中時(shí)取得較好的成像效果。參數(shù)的選取直接關(guān)系到地震成像質(zhì)量與成像效率。

另外，速度模型需要滿足射線追蹤系統(tǒng)具有二階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，但實(shí)際情況下的速度模型極其復(fù)雜，具有突變間斷面和速度梯度[14]。為解決成像過(guò)程中成像精度的難題，對(duì)速度模型的光滑處理對(duì)偏移成像質(zhì)量的影響進(jìn)行了研究。2000年，Gray[15]就過(guò)度光滑對(duì)偏移成像質(zhì)量的影響展開(kāi)討論，使用加拿大Foothills模型、SEG/EAGE巖丘模型和Marmousi模型3種合成數(shù)據(jù)模型，得到光滑程度較低的模型會(huì)比過(guò)度光滑的模型成像質(zhì)量更好的結(jié)論。由此可見(jiàn)，速度模型的光滑程度是影響偏移成像質(zhì)量的重要因素；2005年，Pacheco et al.[16]對(duì)偏移前的速度光滑問(wèn)題是有利還是有害的問(wèn)題展開(kāi)研究，得到根據(jù)模型的復(fù)雜性和初始速度模型誤差的類型和大小，光滑處理可以提高深度偏移成像質(zhì)量的結(jié)論；2010年，白敏等[17]對(duì)理論模型和實(shí)際模型展開(kāi)研究，得到深度偏移相比時(shí)間偏移對(duì)速度誤差更敏感的結(jié)論；2018年，韓復(fù)興等[18]對(duì)PDE算法在模型光滑的處理中對(duì)偏移成像的影響展開(kāi)研究，對(duì)比了不同光滑程度的Marmousi模型對(duì)射線路徑與走時(shí)誤差的影響，得到PDE算法對(duì)速度模型進(jìn)行處理可以得到更好的偏移成像效果的結(jié)論。

關(guān)于Kirchhoff偏移中的速度模型光滑問(wèn)題， 1996年Mispel et al.[19]基于Kirchhoff疊前偏移利用Picrocol模型得到無(wú)論速度模型準(zhǔn)確與否，光滑的速度模型都足以提供成像質(zhì)量的結(jié)論；2011年Moser et al.[20]通過(guò)在包含所有可獲得的結(jié)構(gòu)信息的非光滑速度模型中，計(jì)算光滑模型中追蹤的射線路徑的走時(shí)進(jìn)行成像，大大改善了Kirchhoff偏移的深層成像質(zhì)量，尤其是鹽下成像質(zhì)量；2020年，Zhang et al.[21]在研究Kirchhoff偏移中角度域共成像點(diǎn)道集的提取方法中運(yùn)用到平滑的Marmousi模型，得到效果較好的成像結(jié)果與道集提取圖像。

單程波動(dòng)方程偏移對(duì)比Kirchhoff偏移在一般情況下成像質(zhì)量更高。1996年，Gray[22]得到相比于在復(fù)雜的模型中能獲得較高成像質(zhì)量的Kirchhoff偏移，傅里葉有限差分法偏移在復(fù)雜覆蓋層以下目標(biāo)帶偏移剖面的成像精度更高的結(jié)論；2009年Ruttum et al.[23]就速度場(chǎng)對(duì)波動(dòng)方程偏移的影響展開(kāi)研究，得到波動(dòng)方程偏移高度依賴于速度場(chǎng)空間密度，速度模型的精度直接關(guān)系到地震成像質(zhì)量的結(jié)論；2019年李勝?gòu)?qiáng)[24]在密度約束速度下的疊前深度偏移在深地震探測(cè)中的應(yīng)用展開(kāi)研究，得到適用于ZK01井的密度-速度轉(zhuǎn)換關(guān)系，并與經(jīng)典Gardner轉(zhuǎn)換公式比較，得出合適的密度-速度擬合可以得到精度更高的地震成像結(jié)果的結(jié)論。

逆時(shí)偏移成像(RTM)近幾年也成為關(guān)注焦點(diǎn)。2013年，Yang et al.[25]研究了速度對(duì)逆時(shí)偏移儲(chǔ)層成像的影響，無(wú)論是逆時(shí)偏移成像還是波動(dòng)方程深度偏移成像，為了滿足儲(chǔ)層成像精度(包括波形和水平屬性)的要求，速度誤差都不應(yīng)超過(guò)1%；2014年， Luo et al.[26]對(duì)逆時(shí)偏移Walkaway-VSP采集速度精度的影響進(jìn)行了研究，傳統(tǒng)的Walkaway-VSP成像方法雖然只可以對(duì)水平層狀成像，不能對(duì)復(fù)雜構(gòu)造成像，但是Walkaway-VSP對(duì)于逆沖推覆體成像精度較高；2017年，張思萌等[27]對(duì)逆時(shí)偏移在Marmousi模型中的雙向照明波場(chǎng)分離成像條件進(jìn)行了研究，在優(yōu)化了互相關(guān)條件之后，淺層照明效果明顯提升，但受速度場(chǎng)的影響，淺層部分噪音無(wú)法全部去除。

由以上的闡述可知，核心參數(shù)的選取對(duì)成像精度與成像效率有很大的影響，同樣的，速度模型光滑對(duì)疊前深度偏移的成像質(zhì)量有重要的影響。但是，目前的相關(guān)研究很少集中高斯束偏移這個(gè)方面。近期僅有2015年，袁茂林等[28]就高斯束核心參數(shù)對(duì)高斯束偏移的核心參數(shù)對(duì)高斯束偏移成像質(zhì)量與效率的影響進(jìn)行討論；2016年韓建光[29]對(duì)模型進(jìn)行適當(dāng)光滑處理明顯改善了高斯束成像效果的報(bào)道。事實(shí)上，參數(shù)選取與速度模型光滑問(wèn)題在高斯偏移中是非常重要的一個(gè)問(wèn)題。

鑒于此，本文對(duì)這兩個(gè)問(wèn)題展開(kāi)研究，具體研究不同核心參數(shù)的優(yōu)化選取以及不同光滑次數(shù)和光滑方式對(duì)Marmousi模型高斯束偏移成像質(zhì)量的影響，重點(diǎn)研究影響射線路徑、走時(shí)的核心參數(shù)和速度模型整體光滑和分層光滑對(duì)高斯束偏移成像的影響。

1 高斯束偏移方法

1.1 基本理論

高斯束的理論推導(dǎo)：在二維標(biāo)量介質(zhì)中,波場(chǎng)滿足下述標(biāo)量波動(dòng)方程：

(1)

圖1 二維射線中心坐標(biāo)系Fig.1 Two dimensional ray center coordinate system

在圖1的射線中心坐標(biāo)系中，可以表示波動(dòng)方程：

(2)

(3)

(4)

將式(3)、(4)代入式(2)，得：

(5)

式中：U=U(s,v,w)，若只考慮式(5)中關(guān)于ω的高階項(xiàng)，可得：

(6)

式中：U=U(s,v)為U=U(s,v,w)的漸近級(jí)數(shù)的首階項(xiàng)。然后通過(guò)以下代換：

(7)

將上式(7)其代入式(6)中，得到最終的拋物波動(dòng)方程：

(8)

式(8)的一個(gè)特解可以寫(xiě)為：

(9)

A(s)，M(s)為未知的復(fù)值函數(shù)。將式(9)代入(8)，得：

(10)

以及：

(11)

式(10)為Riccati型一階非線性微分方程，可以通過(guò)如下變換：

(12)

式中：P和Q為動(dòng)力學(xué)射線追蹤參數(shù)。式(10)可以代換為以下的線性微分方程組：

(13)

(14)

(15)

式中：Ψ為復(fù)常數(shù)。聯(lián)立式(3)、(7)、(9)、(12)、(15)就可以得到中心射線Ω鄰域的波動(dòng)方程高頻漸進(jìn)解：

(16)

P(s0)=aP1(s0)+ibP2(s0)

(17)

Q(s0)=aQ1(s0)+ibQ2(s0)

(18)

式(17)、(18)中：a和b為實(shí)常數(shù)且a×b>0；P1(s0)≠0，Q1(s0)=0為動(dòng)力學(xué)射線追蹤方程(13)、(14)的點(diǎn)源解的初始值，P2(s0)=0，Q2(s0)≠0為方程(13)、(14)的線源解的初始值。

高斯束的具體數(shù)值求解首先要根據(jù)高斯束的初始位置和初始方向,利用如下運(yùn)動(dòng)學(xué)射線追蹤方程組來(lái)求取中心射線的路徑和走時(shí)：

(19)

(20)

式(19)、(20)中：Pi(S)代表射線慢度矢量的水平和垂直分量；xi(s)和τ分別代表直角坐標(biāo)中的射線坐標(biāo)和沿射線的走時(shí)。

射線路徑和走時(shí)計(jì)算完成后，利用如下的動(dòng)力學(xué)射線追蹤方程組來(lái)求取中心射線的動(dòng)力學(xué)參量：

(21)

(22)

(23)

根據(jù)由式(21)、(22)得出的式(23)，θ代表射線的傳播方向同正軸的夾角，經(jīng)典的四階Runger-Kutta法可以用來(lái)求解如上的偏微分方程，由運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)射線追蹤方程組可知速度變化，是速度模型光滑理論的基礎(chǔ)。

最后,由射線追蹤所求得的中心射線上的有效信息,根據(jù)式(16)求取中心射線附近振幅大于中心射線振幅范圍的波場(chǎng)。

高斯束的基本性質(zhì)：在這里首先忽略式(16)中的exp(-iwt)并分離P(s)/Q(s)的實(shí)部和虛部,就可以得到具有更為明顯的物理意義的高斯束頻率域表達(dá)式：

高斯束的初始寬度和波前曲率由式(16)中動(dòng)力學(xué)射線追蹤方程的Hill給定初始值確定，其中的點(diǎn)源和線源初始條件為式(25)、(26)[30]：

Q1(s0)=1，P1(s0)=0

(25)

Q2(s0)=0，P2(s0)=1

(26)

系數(shù)和為式(27)：

(27)

式中：wr為參考頻率；w0為初始寬度。最終可以得到式(28)：

(28)

由上式可知，P(s0)/Q(s0)為一個(gè)純虛數(shù)，此時(shí)，說(shuō)明高斯束波前在其初始位置S0處為平面[31]。

1.2 疊前偏移

炮域高斯束偏移的基本原理如圖2所示，具體流程為，首先在對(duì)應(yīng)單炮的接收排列上確定束中心的位置，給出根據(jù)波場(chǎng)雙向延拓積分的疊前成像公式：

(29)

圖2 炮域高斯束偏移的基本原理Fig.2 Basic principle of Gaussian beam migration in shot field

將式(29)中的格林函數(shù)用高斯束積分表示可得下式：

(30)

接著在對(duì)應(yīng)單炮的接收排列上確定束中心的位置，得到束中心位置Lr：

(31)

聯(lián)立以上各式，可得共炮點(diǎn)道集偏移公式：

(32)

1.3 實(shí)現(xiàn)流程

式(32)偏移成像公式的核心部分：

(33)

計(jì)算流程為：①對(duì)于每個(gè)束中心位置，孔徑內(nèi)成像點(diǎn)根據(jù)高斯束的走時(shí)和振幅進(jìn)行傾斜疊加道成像；②將上述每個(gè)中心點(diǎn)射線參數(shù)成像點(diǎn)成的像加窗局部?jī)A斜疊加投影到地震道局限的位置處。

此算法可對(duì)所有的波至進(jìn)行成像，雖然精確度很高但是計(jì)算效率低，因?yàn)閷?duì)單個(gè)成像數(shù)據(jù)體，有nb個(gè)束中心位置，nps個(gè)震源高斯束，npr個(gè)接收點(diǎn)高斯束，計(jì)算量為nb×nps×npr×局部孔徑的成像運(yùn)算。

本文的高斯束偏移實(shí)現(xiàn)流程采用Hill[32]提出的一種高效率高斯束偏移方法，式(33)因?yàn)槭且粋€(gè)多維高頻復(fù)值震蕩積分，所以可以用最速下降法將積分降維提高計(jì)算效率，實(shí)現(xiàn)流程是用中心點(diǎn)和偏移距域射線參數(shù)代換積分變量中的震源和接收點(diǎn)射線參數(shù)，得到式(34)：

(34)

其中：

Ch(x,Lr,pm,w)

=?dphxdphyA(x,pm,ph)exp[-iwT*(x,pm,ph)]

(35)

式中：A(x,pm,pn)是震源和接收點(diǎn)高斯束的振幅乘積；T(x,pm,ph)是復(fù)值走時(shí)之和，雖然漸進(jìn)解由Hill[33]提出，但是沒(méi)有精確求取振幅項(xiàng)：

(36)

式中：T0是虛值走時(shí)最小時(shí)高斯束走時(shí)之和；A0是震源高斯束同接收點(diǎn)高斯束之和。將式(36)代入式(35)，得式(37)：

(37)

計(jì)算流程為：①對(duì)于每個(gè)束中心位置，掃描每個(gè)粗網(wǎng)格點(diǎn)并確定使虛值走時(shí)最小的偏移距射線參數(shù)；②對(duì)于每個(gè)束中心位置，孔徑內(nèi)成像點(diǎn)根據(jù)高斯束的走時(shí)和振幅進(jìn)行傾斜疊加道成像；③將上述每個(gè)中心點(diǎn)射線參數(shù)成像點(diǎn)成的像加窗局部?jī)A斜疊加投影到地震道局限的位置處。

此高效算法計(jì)算效率較高，計(jì)算量是nb×(nps×npr-1)×(局部孔徑的成像運(yùn)算+粗網(wǎng)格上最小虛值走時(shí)的搜索)。

2 高斯束偏移核心參數(shù)的影響

從高斯束偏移理論和公式中可以看出，在高斯束偏移中存在幾個(gè)重要核心參數(shù)，筆者研究了包括最大出射角度、傍軸射線數(shù)量、高斯束半寬、窗的半寬及束中心間隔。這些參數(shù)的選取直接影響到偏移成像質(zhì)量以及計(jì)算效率。因此，對(duì)這些參數(shù)進(jìn)行了系統(tǒng)的分析和成像測(cè)試。

按圖3中所示的紅色與綠色矩形區(qū)域分別是Marmousi模型的淺層斷層構(gòu)造與深層的背斜構(gòu)造，對(duì)淺層與深層的成像效果進(jìn)行放大對(duì)比，討論各個(gè)核心參數(shù)對(duì)成像效果的影響，根據(jù)各參數(shù)的成像調(diào)試結(jié)果，給出了優(yōu)化選取準(zhǔn)則。

紅色矩形圈定部分為斷層，綠色矩形圈定部分為背斜。圖3 高斯束偏移成像圖的主要對(duì)比部分Fig.3 Main contrast of Gaussian beam migration image

2.1 最大出射角度

地表處出射的高斯束射線受到其最大出射角度的限制，最大出射角度限制了淺部數(shù)據(jù)的讀取，本文用30°、40°、50°和90° 4種不同的最大出射角對(duì)Marmousi模型進(jìn)行成像。

圖4 最大出射角度分別為30°(a)、40°(b)、50°(c)、90°(d)的成像結(jié)果Fig.4 Imaging results with maximum exit angles of 30° (a) , 40° (b) , 50° (c) and 90° (d)

如圖4～6所示，對(duì)于最大出射角為30°(圖4a、5a、6a)、最大出射角為40°(圖4c、5c、6c)、最大出射角為50°(圖4b、5b、6b)和最大出射角為90°(圖4d、5d、6d) 偏移成像的淺層構(gòu)造部分內(nèi)容逐漸豐富，相比較而言后者的淺部構(gòu)造更加清晰；相對(duì)而言，其深部的背斜構(gòu)造逐漸失真，在最大初射角度為90°時(shí)，失真更加嚴(yán)重，當(dāng)最大出射角度取50°時(shí)，淺部構(gòu)造清晰且深層背斜構(gòu)造清晰。

圖5 最大出射角度分別為30°(a)、40°(b)、50°(c)、90°(d)的淺層斷層構(gòu)造成像結(jié)果Fig.5 Shallow fault structures imaging results with maximum exit angles of 30° (a) , 40° (b) , 50° (c) and 90° (d)

圖6 最大出射角度分別為30°(a)、40°(b)、50°(c)、90°(d)的深層背斜構(gòu)造成像結(jié)果Fig.6 Deep anticline structures imaging results with maximum exit angles of 30° (a) , 40° (b) , 50° (c) and 90° (d)

2.2 傍軸射線數(shù)量

傍軸射線數(shù)量的多少不僅影響著成像精度，同樣也影響偏移程序的成像效率，射線數(shù)量多會(huì)使成像精度變高，卻降低成像效率，反之亦然，本文調(diào)節(jié)參數(shù)為30、40、50、60。

從表1中可以看到，成像結(jié)果的質(zhì)量相差不大，而在ψ=30°時(shí)，其成像效率較之ψ=60°時(shí)相差一倍，而ψ<30°時(shí)，由于射線覆蓋不完全，無(wú)法輸出成像結(jié)果。如圖7～9所示，對(duì)于傍軸射線數(shù)量為30(圖7a、8a、9a)、傍軸射線數(shù)量為40(圖7b、8b、9b)、傍軸射線數(shù)量為50(圖7c、8c、9c)和傍軸射線數(shù)量為60(圖7d、8d、9d)偏移成像的結(jié)果變化不大，然而，相比較而言后者的計(jì)算效率更加快捷有效，取ψ=30，40，50，60的計(jì)算效率。如表1所示,相對(duì)而言，計(jì)算效率提高的同時(shí)，淺層斷層部位的成像結(jié)果明顯變差。

表1 傍軸射線數(shù)對(duì)運(yùn)算時(shí)間的影響

圖7 傍軸射線數(shù)量分別為30(a)、40(b)、50(c)、60(d)的成像結(jié)果Fig.7 Imaging results with paraxial ray numbers of 30 (a), 40 (b), 50 (c) and 60 (d)

圖8 傍軸射線數(shù)量分別為30(a)、40(b)、50(c)、60(d)的淺層斷層構(gòu)造成像結(jié)果Fig.8 Shallow fault structures imaging results with paraxial ray numbers of 30 (a), 40 (b), 50 (c) and 60 (d)

圖9 傍軸射線數(shù)量分別為30(a)、40(b)、50(c)、60(d)的深層背斜構(gòu)造成像結(jié)果Fig.9 Deep anticline structures imaging results with paraxial ray numbers of 30 (a), 40 (b), 50 (c) and 60 (d)

2.3 高斯窗的半寬

選取不同的窗半寬進(jìn)行成像測(cè)試，并分析了不同窗半寬對(duì)高斯束偏移成像質(zhì)量以及計(jì)算效率的影響，由于窗半寬與束半寬為相關(guān)參數(shù)，故于固定束半寬(497.6 m)下研究窗半寬對(duì)成像的影響。

如圖10顯示了高斯窗半寬為248.8 m(圖10a)、746.4 m(圖10b)和1 244 m(圖10c)時(shí)的成像結(jié)果。

圖10 不同窗半寬分別為248.8 m(a)、746.4 m(b)和1 244 m(c)成像結(jié)果Fig.10 Imaging results with different windows half widths of 248.8 m (a), 746.4 m (b) and 1 244 m (b)

高斯窗半寬在248.8 m時(shí)，由于高斯窗半寬過(guò)小，無(wú)法完全覆蓋所有成像區(qū)域，淺層地層成像失真較為嚴(yán)重；高斯窗半寬在1 244 m時(shí)，由于高斯窗半寬過(guò)大，成像區(qū)域的成像結(jié)果重疊，成像效果失真極其嚴(yán)重；高斯窗半寬在746.4 m時(shí)，由于高斯窗半寬合適，成像區(qū)域的成像結(jié)果清晰，淺層與深層成像效果較好。

2.4 高斯束的半寬

同樣，由于窗半寬與束半寬為相關(guān)參數(shù)，故于固定窗半寬(746.4 m)下研究束半寬對(duì)成像的影響。地表處出射的高斯束射線的束寬越窄，地震波場(chǎng)越精確。如果初始束寬過(guò)小(取99.52 m時(shí))，或者過(guò)大(取497.6 m時(shí))，會(huì)降低地震波場(chǎng)的精度。

如圖11～13所示，高斯束半寬在99.52 m時(shí)，由于高斯束半寬過(guò)小，淺層斷層地層成像失真嚴(yán)重，成像精度非常低；深層背斜構(gòu)造的成像失真情況不明顯。高斯束半寬在497.6 m時(shí)，由于高斯束半寬較小，淺層斷層地層成像失真比較嚴(yán)重，成像精度變低；深層背斜構(gòu)造的成像失真較為嚴(yán)重。高斯束半寬在248.8 m時(shí)，由于高斯束半寬合適，成像區(qū)域的成像結(jié)果清晰，淺層與深層成像效果較好。高斯束半寬過(guò)大(>497.6 m)時(shí)，由于半寬過(guò)大，導(dǎo)致無(wú)法成像。

圖11 高斯束半寬為99.52 m(a)、248.8 m(b)和497.6 m(c)成像結(jié)果Fig.11 Imaging results with Gaussian beam half widths of 99.52 m (a), 248.8 m (b) and 497.6 m (c)

圖12 高斯束半寬分別為99.52 m(a)、248.8 m(b)和497.6 m(c)的淺層斷層構(gòu)造成像結(jié)果Fig.12 Shallow fault structures imaging results with Gaussian beam half widths are 99.52 m(a), 248.8 m(b) and 497.6 m(c)

圖13 高斯束半寬分別為99.52 m(a)、248.8 m(b)和497.6 m(c)的深層背斜構(gòu)造成像結(jié)果Fig.13 Deep anticline structures imaging results with Gaussian beam half widths of 99.52 m (a), 248.8 m (b) and 497.6 m (c)

2.5 高斯束中心間隔

束中心間隔的大小不僅影響著成像精度，同樣也影響偏移程序的成像效率，束中心間隔的減小會(huì)使射線稠密，成像精度變高，卻降低成像效率，反之亦然，本文調(diào)節(jié)束中心間隔為250 m、270 m、300 m和500 m。

從表2中可以看到，其他條件固定的情況下，在束中心間隔L=250 m時(shí)，其成像效率較之L=500 m時(shí)相差近一倍。

表2 束中心間隔對(duì)運(yùn)算時(shí)間的影響

如圖14～16所示，在淺層斷層構(gòu)造的成像對(duì)比中，對(duì)于束中心間隔為250 m(圖15a)，斷層構(gòu)造成像最為清晰，而計(jì)算效率較低，對(duì)于束中心間隔為270 m(圖15b)和300 m(圖15c)的淺層成像結(jié)果的精度相近，計(jì)算效率上L=300 m的成像效率更高；在深層背斜構(gòu)造的成像對(duì)比中，對(duì)于束中心間隔為250 m、270 m、300 m和500 m(圖16)的偏移成像的結(jié)果變化不大，然而，相比較而言后者的計(jì)算效率更加快捷有效；束中心間隔為500 m(圖15d)的淺層成像結(jié)果明顯失真，束中心間隔L=250 m、270 m、300 m、500 m的計(jì)算效率如表2所示；即計(jì)算效率提高的同時(shí)，淺層斷層部位的成像結(jié)果明顯變差?？梢杂^察到在束中心間隔取L=300 m時(shí)可以在確保成像結(jié)果的精度的同時(shí)，最大效率對(duì)地下進(jìn)行成像。

圖14 束中心間隔為250 m(a)、270 m(b)、300 m(c)、500 m(d)的成像結(jié)果Fig.14 Imaging results with beam center spacing of 250 m (a), 270 m (b), 300 m (c) and 500 m (d)

圖15 束中心間隔為250 m(a)、270 m(b)、300 m(c)、500 m(d)的淺層斷層構(gòu)造成像結(jié)果Fig.15 Shallow fault structures imaging results with center spacing of 250 m (a), 270 m (b), 300 m (c) and 500 m (d)

圖16 束中心間隔為250 m(a)、270 m(b)、300 m(c)、500 m(d)的深層背斜構(gòu)造成像結(jié)果Fig.16 Deep anticline structure imaging results with center spacing of 250 m (a), 270 m (b), 300 m (c) and 500 m (d)

高斯束偏移核心參數(shù)經(jīng)過(guò)優(yōu)化后得到高斯束偏移最優(yōu)參數(shù)組合，最大出射角度取用50°，傍軸射線數(shù)取用30，高斯窗半寬取用746.4 m，高斯束半寬取用497.6 m，束中心間隔取用300 m時(shí)，可以同時(shí)確保高斯束偏移的成像精度與成像效率(圖17)。

圖17 最優(yōu)參數(shù)組合的高斯束偏移成像結(jié)果Fig.17 Gaussian beam migration imaging results with optimal parameter combination

對(duì)高斯束偏移中一系列參數(shù)的選取進(jìn)行了討論，并給出了優(yōu)化的選取準(zhǔn)則，通過(guò)數(shù)值試驗(yàn)對(duì)Marmousi模型的成像效果進(jìn)行了對(duì)比并分析高斯束偏移中重要的參數(shù)設(shè)定。本文在數(shù)值測(cè)試的過(guò)程中，均使用了最大成像角度為130°的控制原則，該角度一般情況下可以保證對(duì)有效反射能量的成像，并且排除折射波造成的低頻成像噪聲。

3 速度模型光滑的影響

3.1 理論基礎(chǔ)

運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)射線追蹤方程組(19)、(20)和(21)、(22)的求解可以用射線追蹤法，得到射線路徑、振幅和走時(shí)。式(19)、 (20)和(21)、(22)中的i=1，2，3;Q，P，V代表2×2的矩陣，v代表速度，pi代表慢度分量，xi代表位置坐標(biāo)分量。

每個(gè)分量的定義為：

式中：γI(I=1,2)代表沿著每條射線的射線參數(shù)，qI(I=1,2)代表中心射線坐標(biāo)。從運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)射線追蹤方程組(19)、(20)和(21)、(22)可知速度模型必須具有二階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)。但在實(shí)際應(yīng)用中，速度模型設(shè)置比較復(fù)雜，每一個(gè)速度都以網(wǎng)格的形式定義在節(jié)點(diǎn)上，具有不連續(xù)的速度突變間斷面和強(qiáng)烈的速度梯度。所以為了滿足射線理論的高頻近似，需要對(duì)模型進(jìn)行光滑處理減小速度的變化。

3.2 偏移速度模型光滑處理研究

射線理論要求模型滿足相對(duì)光滑的條件，速度模型的光滑是為了滿足應(yīng)用射線追蹤的高頻條件。本文采用卷積類平滑算子：

(38)

3.3 模型整體光滑對(duì)偏移成像的影響

利用式(38)的卷積類平滑算子對(duì)速度模型進(jìn)行光滑處理，設(shè)平滑因子w=0.5。圖18為橫向縱向交替光滑20次、30次、40次、120次、500次和1 000次的Marmousi模型及高斯束偏移成像圖。

如圖18所示，經(jīng)過(guò)光滑處理后，易看出隨著光滑次數(shù)的增加，速度模型的特征逐漸失真，尤其是在光滑了1 000之后，Marmousi模型的構(gòu)造特征嚴(yán)重失真。如圖19所示，光滑20次、光滑50次和光滑100次的偏移成像質(zhì)量較好，從整體上不易看出區(qū)別，但可看出光滑120次及以后偏移圖像質(zhì)量明顯下降，淺層和深層構(gòu)造逐漸失真，而光滑1 000次后整個(gè)偏移成像結(jié)果已經(jīng)嚴(yán)重扭曲和出現(xiàn)了明顯錯(cuò)誤。為了更直觀的看出Marmousi模型光滑對(duì)高斯束偏移成像的影響，放大對(duì)比分析Marmousi模型光滑20次、30次、40次、120次、500次與1 000次的高斯束偏移成像圖。

高斯束偏移成像結(jié)果與原速度模型相比，吻合得較好，能清晰得看出3個(gè)斷層。如圖20所示，雖然光滑20次(圖20b)、光滑50次(圖20c)和光滑100次(圖20d)的Marmousi模型偏移成像結(jié)果差別不是很明顯，但是相比于光滑20次和30次，光滑100次左側(cè)斷層和右側(cè)斷層下部偏移成像質(zhì)量更高。如圖20e所示，當(dāng)光滑120次后，能清楚地看到斷層界限部分失真，最右邊斷層的底部更為明顯。如圖20f所示，當(dāng)光滑500次后，最左邊和中間的斷層界限基本已經(jīng)消失，最右邊的斷層上部也只能觀察到細(xì)微界限。如圖20g所示，當(dāng)光滑了1 000次之后，斷層界限已消失，偏移圖像嚴(yán)重失真。由上述內(nèi)容知，速度模型的整體光滑處理對(duì)高斯束偏移的成像中的淺層高陡構(gòu)造影響有限，過(guò)度光滑會(huì)造成成像質(zhì)量嚴(yán)重失真，適當(dāng)光滑可以提高偏移成像質(zhì)量，在光滑次數(shù)100次以內(nèi)有較好的成像質(zhì)量。

(a)光滑20次；(b)光滑50次；(c)光滑100次；(d)光滑120次；(e)光滑500次；(f)光滑1 000次。圖19 Marmousi模型高斯束偏移成像圖Fig.19 Marmousi models of Gaussian beam migration image

(a)光滑20次；(b)光滑20次；(c)光滑50次；(d)光滑100次；(e)光滑120次；(f)光滑500次；(g)光滑1 000次。圖20 Marmousi模型及其高斯束偏移成像紅色矩形圈定部分放大圖Fig.20 Marmousi models of Gaussian beam migration imaging with red rectangle enlargement

對(duì)綠色矩形圈定部分進(jìn)行對(duì)比分析如圖21a和21b所示，高斯束偏移成像結(jié)果與原速度模型相比，吻合得較好，能清晰地看出背斜構(gòu)造。如圖21b、21c和21d所示，雖然光滑20次、光滑50次和光滑100次的Marmousi模型偏移成像結(jié)果差別不是很明顯，但是相比于光滑20次和40次，光滑50次偏移成像質(zhì)量更高，背斜構(gòu)造更清晰。如圖21e所示，當(dāng)光滑120次后，能清楚地看到背斜構(gòu)造的中上部分失真。如圖21f和21g所示，當(dāng)光滑500次和1 000次后，背斜構(gòu)造已經(jīng)嚴(yán)重失真，尤其是底部特征。由上述內(nèi)容知，相比于對(duì)淺層高陡構(gòu)造的影響，速度模型的整體光滑處理對(duì)高斯束偏移的成像中的深部底層構(gòu)造影響更大，過(guò)度光滑會(huì)造成成像質(zhì)量嚴(yán)重失真，適當(dāng)光滑可以提高偏移成像質(zhì)量。

(a)光滑20次；(b)光滑20次；(c)光滑50次；(d)光滑100次；(e)光滑120次；(f)光滑500次；(g)光滑1 000次。圖21 Marmousi模型及其高斯束偏移成像綠色矩形圈定部分放大圖Fig.21 Marmousi models of Gaussian beam migration imaging with green rectangle enlargement

從上述對(duì)比分析中可以得出以下結(jié)論：速度模型的整體光滑處理對(duì)高斯束偏移的成像中的淺層高陡構(gòu)造影響有限，但對(duì)深部底層構(gòu)造影響較大，過(guò)度光滑會(huì)造成成像質(zhì)量嚴(yán)重失真，適當(dāng)光滑可以提高偏移成像質(zhì)量。因此，在實(shí)際工作當(dāng)中為了確保高斯束成像質(zhì)量，整體光滑次數(shù)不要超過(guò)100次。

3.4 模型分層光滑對(duì)偏移成像的影響

接下來(lái)進(jìn)行模型分層光滑對(duì)偏移影響的研究，其中著重研究速度模型模型淺地層光滑對(duì)高斯束偏移質(zhì)量的影響，將Marmousi速度模型縱方向不同深度進(jìn)行光滑，地表至地下0.4 km、地下1.2～1.6 km、地下2.4～2.8 km橫縱交替光滑1 000次，在地表至地下0.2 km速度均賦值1 500 m/s，并在地下0.16～0.24 km橫縱交替光滑100次。

如圖22所示，模型分層光滑處理效果明顯，光滑部分與相鄰部分相比嚴(yán)重失真。接著將模型光滑處理后的高斯束偏移成像圖的淺層高陡構(gòu)造和深層背斜構(gòu)造放大進(jìn)行對(duì)比分析。

(a)地表至地下0.4 km光滑1 000次；(b)地下1.2～1.6 km光滑1 000次；(c)地下2.4～2.8 km光滑1 000次；(d)地表至地下0.2 km賦值速度1 500 m/s并在地下0.16～0.24 km光滑100次。圖22 光滑處理的Marmousi模型(左)和其高斯束偏移成像圖(右)Fig.22 Marmousi models (left) and its Gaussian beam migration images (right) processed by smoothing

如圖23所示，對(duì)于模型淺層光滑，地表至地下0.4 km光滑1 000次(圖23a)和地表至地下0.2 km內(nèi)速度賦值1 500 m/s，并在地下0.16～0.24 km光滑100次(圖23d)偏移成像的淺層高陡構(gòu)造嚴(yán)重失真；對(duì)于模型中層光滑，地下1.2～1.6 km光滑1 000次(圖23b)偏移成像的淺層高陡構(gòu)造部分失真，中間斷層底部尤為明顯；對(duì)于模型深層光滑，地下2.4～2.8 km光滑1 000次(圖23c)偏移成像的淺層高陡構(gòu)造較清晰，偏移成像質(zhì)量較高。

(a)地表至地下0.4 km光滑1 000次；(b)地下1.2～1.6 km光滑1 000次；(c)地下2.4～2.8 km光滑1 000次；(d)地表至地下0.2 km內(nèi)賦值速度1 500 m/s并在地下0.16～0.24 km內(nèi)光滑100次。圖23 Marmousi模型高斯束偏移成像紅色矩形圈定部分放大圖Fig.23 Marmousi models of Gaussian beam migration imaging with red rectangle enlargement

如圖24所示，對(duì)于模型淺層光滑，地表至地下0.4 km光滑1 000次(圖24a)和地表至地下0.2 km內(nèi)速度賦值1 500 m/s，并在地下0.16～0.24 km光滑100次(圖24d)偏移成像的深層背斜構(gòu)造部分失真，相比較而言后者失真要更嚴(yán)重；對(duì)于模型中層光滑，地下1.2～1.6 km光滑1 000次(圖24b)偏移成像的深層背斜構(gòu)造嚴(yán)重失真；對(duì)于模型深層光滑，地下2.4～2.8 km光滑1 000次(圖24c)偏移成像的深層背斜構(gòu)造較清晰，偏移成像質(zhì)量較高。

(a)地表至地下0.4 km光滑1 000次；(b)地下1.2～1.6 km光滑1 000次；(c)地下2.4～2.8 km光滑1 000次；(d)地表至地下0.2 km賦值速度1 500 m/s并在地下0.16～0.24 km光滑100次。圖24 Marmousi模型高斯束偏移成像綠色矩形圈定部分放大圖Fig.24 Marmousi models of Gaussian beam migration imaging with green rectangle enlargement

從上述對(duì)比分析中可以得出以下結(jié)論：速度模型淺層光滑對(duì)淺層高陡構(gòu)造和深層背斜構(gòu)造影響都較大，即高斯束偏移對(duì)近地表速度模型光滑相對(duì)敏感。速度模型淺層光滑在深層背斜構(gòu)造中部失真，在兩側(cè)影響較小，該現(xiàn)象說(shuō)明速度模型淺層光滑對(duì)高斯束偏移成像在深部橫向影響較大，縱向影響較小。近地表速度光滑程度很大時(shí)，高斯束偏移成像質(zhì)量較差，該現(xiàn)象說(shuō)明高斯束偏移對(duì)近地表速度模型的精度要求很高，即在進(jìn)行復(fù)雜近地表偏移成像時(shí)，近地表速度建模尤為重要。

4 結(jié)論

(1)對(duì)高斯束偏移的高斯束核心參數(shù)問(wèn)題進(jìn)行了研究，在高斯束偏移的過(guò)程中，關(guān)鍵參數(shù)(最大出射角度、傍軸射線數(shù)、高斯窗半寬、窗中心間隔和束中心間隔等參數(shù))的選擇決定了最終的成像精度與成像效率。

(2)對(duì)模型光滑問(wèn)題進(jìn)行了研究，速度模型的整體光滑處理對(duì)高斯束偏移的成像中的淺層高陡構(gòu)造影響有限，但對(duì)深部底層構(gòu)造影響較大，過(guò)度光滑會(huì)造成成像質(zhì)量嚴(yán)重失真，適當(dāng)光滑可以提高偏移成像質(zhì)量。因此，在實(shí)際工作當(dāng)中為了確保高斯束成像質(zhì)量整體光滑次數(shù)不要超過(guò)100次。

(3)速度模型淺層光滑對(duì)高斯束偏移成像的淺層高陡構(gòu)造和深層背斜構(gòu)造影響都較大，即高斯束偏移對(duì)近地表速度模型光滑相對(duì)敏感，因此對(duì)于中深層偏移成像，對(duì)速度模型的光滑尤其是淺層光滑要格外慎重。

(4)速度模型淺層光滑對(duì)高斯束偏移成像在深部橫向影響較大，縱向影響較小；高斯束偏移對(duì)近地表速度模型的精度要求很高，即在進(jìn)行復(fù)雜近地表偏移成像時(shí)，近地表速度建模尤為重要。