基于雙閉環(huán)PID控制的自平衡兩輪車的仿真研究

王一鳴，李 凌

(沈陽化工大學(xué) 信息工程學(xué)院， 遼寧 沈陽 110142)

自平衡兩輪車作為輪式機(jī)器人的一種，具有節(jié)能環(huán)保、輕便靈活等優(yōu)點(diǎn)，在各個(gè)領(lǐng)域都有著十分廣泛的應(yīng)用前景.然而該機(jī)器人屬于較為復(fù)雜的多變量、非線性、強(qiáng)耦合、欠驅(qū)動的不穩(wěn)定系統(tǒng)，針對此類系統(tǒng)的穩(wěn)定控制研究一直是機(jī)器人控制領(lǐng)域的熱門研究問題[1].高效穩(wěn)定的控制器設(shè)計(jì)方案成為了機(jī)器人行業(yè)的關(guān)鍵技術(shù)之一.隨著穩(wěn)定性控制問題日益大型化、復(fù)雜化，現(xiàn)有的傳統(tǒng)控制方法面臨著越來越大的挑戰(zhàn).目前工業(yè)領(lǐng)域普遍使用傳統(tǒng)PID控制器，其穩(wěn)定性、準(zhǔn)確性和抗干擾性已無法滿足日益增長的控制需求.自平衡兩輪車屬于多學(xué)科交叉的非線性控制系統(tǒng)，在平衡車平臺上可以對各種控制策略進(jìn)行理論研究與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，因此，自平衡兩輪車是檢驗(yàn)各種先進(jìn)控制算法的理想實(shí)驗(yàn)平臺[2].針對自平衡兩輪車的研究無論是理論研究還是工程實(shí)踐都具有十分重要的意義.

本研究以自平衡兩輪車為被控對象，對其建立了基于拉格朗日方程的數(shù)學(xué)模型,并作了線性化處理,進(jìn)而針對該系統(tǒng)設(shè)計(jì)了基于反饋校正方法的雙閉環(huán)PID控制系統(tǒng),最后在MATLAB/Simulink環(huán)境下進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了該方法的有效性，從而為該領(lǐng)域的后續(xù)研究奠定了基礎(chǔ).

1 系統(tǒng)建模

采用拉格朗日方程法對系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模.為了便于分析和計(jì)算，在不影響所關(guān)注的系統(tǒng)性能的情況下，需要對某些復(fù)雜的和難以處理的部分進(jìn)行合理假設(shè)和忽略[3],因此本研究中有以下假設(shè)條件：

(1) 將車身與重物(人體)等效成一根剛性杠桿；

(2) 車輪與地面的摩擦只有滾動摩擦(忽略滑動摩擦)；

(3) 平衡狀態(tài)時(shí),車身質(zhì)心位于兩輪中心正上方.

在數(shù)學(xué)建模過程中所涉及到的物理符號以及在系統(tǒng)中所表示的具體含意見表1.

表1 相關(guān)物理符號及含意

為了應(yīng)用拉格朗日方程法進(jìn)行系統(tǒng)建模，首先需要求解自平衡兩輪車系統(tǒng)的總動能.車體總動能可以分解為車身與車輪的平動動能和轉(zhuǎn)動動能，而要求解系統(tǒng)動能首先需要求解車身在各個(gè)狀態(tài)下的速度[4].

對于車身速度，可以將車身運(yùn)動狀態(tài)分成三種情況：前俯后仰、自身旋轉(zhuǎn)以及前行后退.由參考文獻(xiàn)[5]可知通過坐標(biāo)系分解法可以獲得不同運(yùn)動狀態(tài)下的速度分量， 將各坐標(biāo)軸上的速度分量合成即可得到車身速度，進(jìn)而可得車身各狀態(tài)下的動能，即：

車身的平動速度為

vx=v(x1)+v(x2)+v(x3),

vy=v(y1)+v(y2)+v(y3),

vz=v(z1).

車身的平動動能為

車身的轉(zhuǎn)動動能為

車輪的平動動能為

其中：vl、vr分別為左輪速度和右輪速度.

車輪的轉(zhuǎn)動動能為

對模型進(jìn)行簡化處理，則系統(tǒng)的總動能

(1)

再對平衡車進(jìn)行受力分析，并代入拉格朗日方程可以得到系統(tǒng)的精確數(shù)學(xué)模型，故系統(tǒng)在θt方向有

mbgLsinθt-Ml-Mr.

(2)

系統(tǒng)在θl方向有

(3)

其中：kl、kr為粘滯阻尼系數(shù).

系統(tǒng)在θr方向有

(4)

MbgLθt-Ml-Mr,

(5)

(6)

(7)

將實(shí)際物理參數(shù)代入數(shù)學(xué)模型可得

(8)

(9)

480.2sinθt-Ml-Mr.

(10)

2 系統(tǒng)分析

為了驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性，在MATLAB/Simulink環(huán)境下搭建出該模型并設(shè)計(jì)驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)如下文所述.

實(shí)驗(yàn)一：給系統(tǒng)附加一個(gè)初始角度，在零輸入條件下檢測系統(tǒng)的輸出情況.考慮現(xiàn)實(shí)狀況中沒有輸入的狀態(tài)下車身會向初始角度方向傾倒，車輪也會朝反方向滾動，最終車身倒下，車輪靜止不動.圖1為該實(shí)驗(yàn)的仿真波形圖.

從圖1可以看出：車身在經(jīng)過20s左右的振蕩后最終恢復(fù)到靜止?fàn)顟B(tài)，同時(shí)車身在180°位置處靜止不動，即豎直向下.這是實(shí)驗(yàn)中沒有添加約束條件，即沒有考慮實(shí)際情況中地面對車身的阻擋[7]，在無約束條件下,該結(jié)果與實(shí)際情況相同，模型符合要求.

圖1 仿真波形圖

實(shí)驗(yàn)二：初始時(shí)刻分別給定左輪轉(zhuǎn)矩為15 N·m，右輪轉(zhuǎn)矩為5 N·m，初始傾角為0.考慮實(shí)際情況中車身會向左轉(zhuǎn)向并向下傾倒[8].其輸出波形如圖2、圖3所示.

圖2 車輪轉(zhuǎn)角波形圖

圖3 車身傾角波形圖

從圖2和圖3的仿真結(jié)果可以看出：在無約束條件下，車身會向反方向傾斜，最終停留在-180°的位置，即豎直向下狀態(tài)；且左輪轉(zhuǎn)角大于右輪轉(zhuǎn)角，車身向左轉(zhuǎn)向[9].經(jīng)過驗(yàn)證，該結(jié)果與實(shí)際情況相同，模型符合要求.

3 PID控制器設(shè)計(jì)

該系統(tǒng)的兩驅(qū)動輪之間存在耦合關(guān)系，即當(dāng)左右兩輪的轉(zhuǎn)速大小相等、方向相同時(shí)，小車沿直線前進(jìn)；當(dāng)兩輪轉(zhuǎn)速大小相等、方向相反時(shí)，小車會原地旋轉(zhuǎn).因此可以推斷：平衡車在平面內(nèi)的任意運(yùn)動都可由直線運(yùn)動和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動合成產(chǎn)生[10].所以在進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)時(shí)可以分別設(shè)計(jì)直行控制器和轉(zhuǎn)向控制器來避免耦合問題，實(shí)現(xiàn)有效控制.

3.1 直行控制器

設(shè)計(jì)的直行PID控制器原理如圖4所示.由于PID控制是一種常規(guī)線性控制算法，主要針對單輸入單輸出的線性系統(tǒng)，對于自平衡兩輪車這種非線性多輸出系統(tǒng)的控制能力較差[11]，因此，需要通過設(shè)計(jì)雙閉環(huán)回路的方式來改善它的動態(tài)性能.兩個(gè)控制回路可以分別控制車身傾角和系統(tǒng)位移.

圖4 直行PID控制系統(tǒng)原理

將數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為傳遞函數(shù)可得

其中：G1(s)、G2(s)分別為內(nèi)環(huán)和外環(huán)的傳遞函數(shù).

令阻尼比ξ=0.707，閉環(huán)增益為1，調(diào)節(jié)時(shí)間為0.5 s，可得如下方程組:

解，得：Kp2=1.15，Kd2=0.16，K=-432.17.代入內(nèi)環(huán)傳遞函數(shù)則有

綜上可知直行控制器內(nèi)環(huán)參數(shù)為

D2(s)=-432.17,

為了降低系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，提升抗干擾能力，需要將系統(tǒng)設(shè)計(jì)為Ⅱ階系統(tǒng)[12]，即令D1(s)為PI控制器.設(shè)D1(s)=Kp+1/Kis，則系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

根據(jù)Ⅱ階系統(tǒng)條件，取ωc=0.5，則有

根據(jù)以上所得參數(shù)，在MATLAB/Simulink環(huán)境下搭建出系統(tǒng)直行控制器的仿真模型，進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，設(shè)置初始時(shí)刻車身傾角為0.2 rad，通過外加輸入信號給定車輪初速度為5 rad/s.輸出波形如圖5、圖6所示.從圖5和圖6的仿真結(jié)果可以看出：車速在第8 s左右開始趨于穩(wěn)定，最終保持勻速直線運(yùn)動，此時(shí)車身傾角也穩(wěn)定在0°左右.該結(jié)果符合預(yù)期的設(shè)計(jì)要求，驗(yàn)證了控制器設(shè)計(jì)的有效性.

圖5 車輪轉(zhuǎn)速波形

圖6 車身傾角波形

3.2 轉(zhuǎn)向控制器

轉(zhuǎn)向控制部分由兩輪之間的耦合關(guān)系判斷，可以通過運(yùn)動合成的方式來改變其運(yùn)動狀態(tài)[13]，故本研究采用轉(zhuǎn)速差控制方法來實(shí)現(xiàn)小車的轉(zhuǎn)向控制，系統(tǒng)以Δw(s)=wl-wr為輸入量，其值越大，轉(zhuǎn)向角度越大，反之亦然.轉(zhuǎn)向控制器結(jié)構(gòu)圖如圖7所示.

圖7 轉(zhuǎn)向控制器結(jié)構(gòu)

根據(jù)上述平衡車的直行控制與轉(zhuǎn)向控制的設(shè)計(jì)，綜合可得自平衡兩輪車的雙閉環(huán)PID控制方案，在MATLAB/Simulink環(huán)境下搭建出控制系統(tǒng)的仿真模型.

4 仿真驗(yàn)證

4.1 動態(tài)性能測試

在MATLAB/Simulink環(huán)境下進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，測試系統(tǒng)的跟蹤性能.初始時(shí)刻給定速度1.0 m/s，之后始終勻速行駛保持不變；第20 s時(shí)輸入兩輪速度差0.5 m/s，5 s后恢復(fù)為0；第40 s時(shí)輸入兩輪速度差-0.5 m/s，5 s后恢復(fù)為0[13]；第60 s時(shí)輸入兩輪速度差0.7 m/s，5 s后恢復(fù)為0；第80 s時(shí)輸入兩輪速度差-0.7 m/s，5 s后恢復(fù)為0.理論分析系統(tǒng)行駛軌跡如圖8所示.圖9～圖11為系統(tǒng)實(shí)時(shí)運(yùn)動狀態(tài)曲線.

圖8 平衡車系統(tǒng)理論行駛軌跡

由仿真結(jié)果圖9、圖10可知:系統(tǒng)初始時(shí)刻在經(jīng)過短暫調(diào)節(jié)后保持勻速直線運(yùn)動;20 s后向右轉(zhuǎn)向，5 s后繼續(xù)勻速直行;第40 s時(shí)向左轉(zhuǎn)向，5 s后繼續(xù)勻速直行;60 s后向右大轉(zhuǎn)向， 5 s后繼續(xù)勻速直行;第80 s時(shí)向左大轉(zhuǎn)向，5 s后繼續(xù)勻速直行.其行駛路徑和速度與理論分析相符.由圖11可知:系統(tǒng)運(yùn)行過程中車身傾角始終保持穩(wěn)定，證明了該控制器設(shè)計(jì)的有效性.

圖9 兩輪速度曲線

圖10 兩輪行駛距離曲線

圖11 車身傾角曲線

4.2 抗干擾性能測試

為了測試系統(tǒng)的抗干擾性能，在車身保持勻速前進(jìn)的基礎(chǔ)上，在20 s時(shí)施加幅值為0.8、脈寬為0.5 s的脈沖干擾，又在40 s時(shí)施加幅值為-0.8、脈寬為0.5 s的脈沖干擾，其輸出波形曲線如圖12所示.由圖12可知:系統(tǒng)在受到外部擾動時(shí)會有微弱的超調(diào)，在大約2 s后會重新回到原來狀態(tài)，說明該控制器在一定范圍內(nèi)具有良好的抗干擾性能.

圖12 魯棒性驗(yàn)證輸出曲線

4.3 魯棒性測試

為了驗(yàn)證系統(tǒng)的魯棒性，通過改變模型參數(shù)的方式來驗(yàn)證其性能.根據(jù)實(shí)際情況，選取車身質(zhì)量mb和質(zhì)心到輪軸的距離L作為變量，分別設(shè)計(jì)兩組實(shí)驗(yàn)：第一組實(shí)驗(yàn)選取車身質(zhì)量mb分別為60 kg、70 kg、80 kg，其他參數(shù)不變，其輸出波形如圖13、圖14所示；第二組實(shí)驗(yàn)選取質(zhì)心到輪軸的距離L分別為0.6 m、0.7 m、0.8 m，其他參數(shù)不變，其輸出波形如圖15、圖16所示.

圖13 mb變化時(shí)車身速度曲線

圖14 mb變化時(shí)車身傾角曲線

圖15 L變化時(shí)車身速度曲線

圖16 L變化時(shí)車身傾角曲線

由仿真結(jié)果可知:當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，系統(tǒng)能夠很好地適應(yīng)該變化并保持原有的穩(wěn)定性和動態(tài)特性[15],說明該控制器在一定范圍內(nèi)具有良好的魯棒性.

5 結(jié) 論

在建立自平衡兩輪車精確的數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，采用雙閉環(huán)PID控制方法設(shè)計(jì)控制器，并分別設(shè)計(jì)了直行控制器與轉(zhuǎn)向控制器，避免了系統(tǒng)存在的復(fù)雜耦合問題與繁瑣的解耦算法.在MATLAB/Simulink環(huán)境下進(jìn)行模型搭建并進(jìn)行了詳細(xì)的仿真實(shí)驗(yàn).通過分析仿真結(jié)果可得：該控制方法能夠使自平衡兩輪車達(dá)到理想的控制效果，超調(diào)量小、響應(yīng)速度快、穩(wěn)定時(shí)間短，且具有良好的魯棒性、抗干擾性和動態(tài)特性，可以實(shí)現(xiàn)對自平衡兩輪車這類非線性系統(tǒng)較好的控制；但仍存在一些不足，如控制精度及最大可控范圍有待提高等.因此，在今后還將引入更加先進(jìn)的智能控制算法來提高系統(tǒng)精度和響應(yīng)速度.綜上，該設(shè)計(jì)不僅在工程應(yīng)用上具有很高的利用價(jià)值，并且為下一步的深入研究奠定了基礎(chǔ).