基于混沌灰狼優(yōu)化算法的栽植機(jī)四桿機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計

李樹森， 劉陳惠子， 鄔博文

(東北林業(yè)大學(xué)，黑龍江 哈爾濱 150040)

農(nóng)林業(yè)生產(chǎn)是保證人類生存發(fā)展的第一要素[1]。近年來，隨著我國人口的不斷增長，快速提升農(nóng)林業(yè)生產(chǎn)能力成為一項必須完成的重要任務(wù)[2]。移栽機(jī)械化能夠克服傳統(tǒng)人工作業(yè)勞動強度大、效率低的局限性，有效提升作物的產(chǎn)量與品質(zhì)。本文擬對栽植機(jī)四桿機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計問題進(jìn)行研究，四桿機(jī)構(gòu)可以按照預(yù)設(shè)運動規(guī)律實現(xiàn)移動、擺動及轉(zhuǎn)動等各種復(fù)雜的功能，具有運動精確度高、行程遠(yuǎn)、磨損小的特點[3]。在實際應(yīng)用中，構(gòu)件的尺寸決定了四桿機(jī)構(gòu)的運動規(guī)律，是機(jī)構(gòu)的主要誤差來源。由于機(jī)構(gòu)的運動規(guī)律與構(gòu)件參數(shù)之間存在著復(fù)雜的非線性關(guān)系，這使得該機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計成為一項有挑戰(zhàn)性的課題。

近些年來，研究人員通過運動軌跡、受力分析等方法對栽植機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化[4-7]。這些方法都取得了較好的效果，但需要相關(guān)機(jī)構(gòu)與環(huán)境的額外數(shù)理知識。針對此問題，智能優(yōu)化算法被應(yīng)用于連桿機(jī)構(gòu)的設(shè)計優(yōu)化[8-10]，該方法不依賴于目標(biāo)問題的具體模型，具有較好的魯棒性與靈活性[11]。申屠留芳等將遺傳算法用于紅薯四桿栽植機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計，所得設(shè)計結(jié)果較傳統(tǒng)的MATLAB求解器具有更好的偏差率。秦璐等將模擬退火算法用于擺缸八桿機(jī)構(gòu)的角度與長度設(shè)計，展現(xiàn)了較好的全局搜索性能。沈明秀[12]等用粒子群算法優(yōu)化平面四連桿的運動參數(shù)，優(yōu)化后的機(jī)構(gòu)能輸出更小的角加速度與線加速度。

本研究針對栽植機(jī)四桿機(jī)構(gòu)設(shè)計問題，提出一種基于混沌灰狼優(yōu)化算法的優(yōu)化設(shè)計方法。首先以四桿栽植機(jī)構(gòu)為研究對象建立了軌跡誤差最小化的優(yōu)化模型。其次提出了一種混沌灰狼優(yōu)化算法，通過嵌入混沌初始化、混沌擾動與自適應(yīng)非線性算子來增強搜索能力。最后將所提方法應(yīng)用于栽植機(jī)四桿機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計，驗證本文方法更適用于栽植機(jī)四桿機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計。

1 數(shù)學(xué)模型

栽植機(jī)四桿機(jī)構(gòu)簡化圖如圖1所示，ABCD為平面四桿機(jī)構(gòu)，桿AB為伺服電機(jī)驅(qū)動的驅(qū)動桿，桿BC為連桿，桿CD為搖桿，桿AD為機(jī)架。本文將四桿栽植機(jī)構(gòu)的原點選擇為A點，建立直角坐標(biāo)系并根據(jù)預(yù)設(shè)的理想軌跡取8個離散點位。要求當(dāng)桿AB轉(zhuǎn)動一周時，連桿BC上的點M完成圖上的軌跡，離散點位見表1。其中，i為離散點序號，Sxi和Syi分別為理想軌跡的x軸和y軸坐標(biāo)，θi和Δθi分別為輸入角及其變化量。

圖1 栽植機(jī)四桿機(jī)構(gòu)簡圖

表1 理想軌跡運動坐標(biāo)

1.1 設(shè)計變量

由圖1所示的幾何關(guān)系可知，當(dāng)A點位置固定時，連桿BC上的點M的軌跡主要取決于各連桿的長度l1，l2，l3，l4，l5和角度參數(shù)β，γ，θ0。其中，β為AD與x軸的夾角；γ是BM與BC的夾角；θ0是AB與AD的初始角度；φi為BC與x軸夾角；εi為BD與AD夾角；ηi為BC與BD連線的夾角。故設(shè)計變量為：

X=[x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8]

=[l1，l2，l3，l4，l5，β，γ，θ0]

(1)

由圖中幾何關(guān)系可知：

1.2 目標(biāo)函數(shù)

優(yōu)化設(shè)計的目標(biāo)是使點M的運動軌跡盡可能與預(yù)設(shè)軌跡相符合，可以理解為與離散點間的位置偏差最小化，因此目標(biāo)函數(shù)按照點M的坐標(biāo)(Mxi，Myi)與理想點坐標(biāo)(Sxi，Syi)的誤差均方根建立，即：

(2)

1.3 約束條件

根據(jù)實際設(shè)計需求，得到如下約束條件[13-14]：

10≤l5≤30?g13(X)=10-x5≤0

g16(X)=x6-30≤0

-0°≤γ≤15°?g17(X)=0-x7≤0

g18(X)=x7-15≤0

0°≤θ0≤60°?g19(X)=0-x8≤0

g20(X)=x8-60≤0

綜上所述，本次優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型為：

2 混沌灰狼優(yōu)化算法

2.1 灰狼優(yōu)化算法

灰狼優(yōu)化算法通過模擬灰狼群捕獵的行為來實現(xiàn)優(yōu)化搜索?；依侨菏俏挥谑澄镦滍敹说牟妒橙后w，具有嚴(yán)格的社會等級制度，通常由4種地位的狼組成：α、β、δ和ω。前三者作為族群內(nèi)的精英個體，在搜尋獵物時距離獵物的距離依次遞減，而ω作為普通個體，將跟隨精英個體進(jìn)行搜尋。算法步驟可簡單概括如下：

包圍機(jī)制：灰狼捕獵過程中首先會對獵物進(jìn)行包圍，數(shù)學(xué)描述為：

D=|C·X*(t)-X(t)|

(3)

X(t+1)=X*(t)-A·D

(4)

式中：t為當(dāng)前迭代次數(shù)；X*(t)為群體最優(yōu)解位置；X(t)為個體位置；A和C為系數(shù)向量，A=2a·r1-a，C=2·r2，r1和r2為0-1范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)；a是從2線性減小到0的常數(shù)。

狩獵機(jī)制：ω跟隨α、β、δ的引導(dǎo)進(jìn)行狩獵，其位置更新方式描述為：

X1=Xα-A1·Dα

(5)

X2=Xβ-A2·Dβ

(6)

X3=Xδ-A3·Dδ

(7)

(8)

式中：Xα、Xβ、Xδ為α、β、δ的位置；X1、X2、X3為方向向量；A與D的設(shè)置與包圍機(jī)制相同。

2.2 Tent混沌初始化與擾動

混沌序列是一種非線性動力現(xiàn)象，其主要特點是具有遍歷性、隨機(jī)性和規(guī)律性[15]。在求解優(yōu)化問題時，與基本上依賴概率的隨機(jī)搜索相比，混沌序列可以更快地執(zhí)行整體搜索。因此，混沌被應(yīng)用于各種優(yōu)化算法中[16-17]，常見的混沌有Logistic映射與Tent映射。單梁等[18]證明了Tent映射的遍歷均勻性和收斂速度均優(yōu)于Logistic映射。Tent混沌映射的動力學(xué)迭代函數(shù)如下：

X(t+1)=X(t)/a，0≤Xn≤a
X(t+1)=(1-X(t))/(1-a)，a

(9)

式中：參數(shù)a∈[0，1]。

將所生成的混沌序列映射到優(yōu)化目標(biāo)的取值范圍時即可作為初始化策略。除此之外，將混沌序列作為隨機(jī)擾動算子引入算法，可以幫助算法克服陷于局部最優(yōu)解的問題，提升尋優(yōu)精確度。應(yīng)用上式生成混沌序列Z，混沌擾動的數(shù)學(xué)描述如下：

newX=min+(max-min)Z

(10)

式中：max和min是變量的上下限，對個體進(jìn)行混沌擾動的表達(dá)式為：

newX′=(X′+newX)/2

(11)

式中：X′和newX′分別表示被添加擾動的個體和擾動后的個體位置。

2.3 自適應(yīng)非線性算子

灰狼優(yōu)化算法的步長算子a是平衡其探索與開發(fā)的關(guān)鍵。原算法中a是線性遞減參數(shù)難以滿足實際優(yōu)化情況，本文重新構(gòu)造一種自適應(yīng)非線性算子a(t)。

(12)

式中：amax和amin分別表示參數(shù)上下限；a1表示非線性部分；t表示當(dāng)前迭代；Tmax表示最大迭代次數(shù)，f(p)表示個體適應(yīng)度；ave表示種群平均適應(yīng)度；β是自適應(yīng)參數(shù)可按不同需要調(diào)整。

由上式可知a(t)由非線性部分a1和自適應(yīng)部分β組成。一方面，非線性部分a1表現(xiàn)為前期函數(shù)下降緩慢，給全局探索充分時間；后期函數(shù)迅速下降收斂，加快算法收斂速度。另一方面，自適應(yīng)部分β通過平均適應(yīng)度評判每只狼的質(zhì)量。對于較差的個體調(diào)整其搜索方向來保持種群多樣性；對于較好的個體則減小步長來開發(fā)周邊更好的解，從而增強收斂精度。

3 機(jī)構(gòu)優(yōu)化實驗

實驗在4.40 GHz CPU和12 GB內(nèi)存的PC機(jī)、Windows 10操作系統(tǒng)和MATLABR2016b環(huán)境中進(jìn)行。應(yīng)用混沌灰狼優(yōu)化算法對上述栽植機(jī)四桿機(jī)構(gòu)的模型進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，在給定的約束條件下，本文算法最終得到的各變量最優(yōu)尺寸參數(shù)為：

其目標(biāo)函數(shù)值為f(X*)=0.540 3。為了公平比較，在固定的數(shù)學(xué)模型下，與文獻(xiàn)[13]中通過MATLAB迭代求解的結(jié)果f′(X*)=0.620 6相比，顯然本文方法所優(yōu)化得到的設(shè)計參數(shù)具有更小的目標(biāo)函數(shù)值，這表示本文方法設(shè)計的栽植機(jī)四桿機(jī)構(gòu)的構(gòu)件尺寸參數(shù)更加合理，整體機(jī)構(gòu)具有更小的軌跡偏差。

4 結(jié)論

本文提出了一種基于混沌灰狼優(yōu)化算法的栽植機(jī)四桿機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法。首先，以栽植機(jī)四桿機(jī)構(gòu)為研究對象，建立了軌跡誤差最小化的函數(shù)優(yōu)化模型。其次，提出了一種混沌灰狼優(yōu)化算法。新算法嵌入了混沌初始化與擾動機(jī)制并設(shè)計了一種非線性自適應(yīng)算子，分別用于增強原方法的多樣性、跳出局部能力以及平衡探索與開發(fā)。最后，將所提方法應(yīng)用于求解栽植機(jī)四桿機(jī)構(gòu)的優(yōu)化模型，并與傳統(tǒng)的MATLAB求解工具相比較。實驗結(jié)果表明，本文方法設(shè)計的栽植機(jī)四桿機(jī)構(gòu)具有更合理的參數(shù)尺寸，其運動偏差僅為迭代求解方法的87%。在未來，將會繼續(xù)研究更高效的優(yōu)化方法，并應(yīng)用于更復(fù)雜的農(nóng)林業(yè)機(jī)構(gòu)設(shè)計問題中。