學(xué)“整式乘法與因式分解”， 從讀教材開始

鐘鳴

同學(xué)們，教材是我們學(xué)習(xí)的根本。在學(xué)習(xí)本章之前，先瀏覽一遍，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，本章由兩部分構(gòu)成——“整式乘法”和“因式分解”，它們是互逆變形。在本章的學(xué)習(xí)中，我們要學(xué)著從兩個(gè)方向（順向與逆向）看問題，培養(yǎng)逆向思維。

例如：乘法公式（a+b）（a-b）=a2-b2，順向看是“整式乘法”，兩個(gè)一次多項(xiàng)式的積變成了一個(gè)二次多項(xiàng)式;逆向看是“因式分解”，一個(gè)二次多項(xiàng)式分解成了兩個(gè)一次多項(xiàng)式的積。

深入閱讀各節(jié)內(nèi)容，我們還會(huì)發(fā)現(xiàn)這樣的結(jié)構(gòu)：“用不同的方法從不同的角度計(jì)算同一個(gè)圖形的面積，獲得等式”→“利用歸納，合情推理，得出法則或公式”→“依據(jù)運(yùn)算律，通過演繹推理，證實(shí)結(jié)論”。這是貫串全章的基本方法，也是代數(shù)領(lǐng)域非常重要的學(xué)習(xí)方法。我們完全可以將這一基本方法拓展到對(duì)完全立方公式的研究中。

如圖1，已知一個(gè)邊長為a+b的正方體。對(duì)于其體積V，我們可以直接整體計(jì)算，得到V=（a+b）3;還可以利用兩個(gè)小立方體的體積與6個(gè)小長方體的體積之和計(jì)算，即a3+b3+3a2b+3b2a。于是，我們得到等式①（a+b）3=a3+b3+3a2b+3b2a。

上述結(jié)論中，a、b的取值局限于正數(shù)。為了得到一般的結(jié)論，我們不妨假設(shè)以下三類情況：1.a、b中有一個(gè)是負(fù)的;2.a、b都是負(fù)的;3.a、b中有一個(gè)（或兩個(gè)）取值為零。我們將這3種情況分別代入等式①的左右兩邊，通過驗(yàn)證、歸納，猜想等式①對(duì)于任意實(shí)數(shù)都成立。但是，這只是猜想。為了在更一般意義上確立這一結(jié)論，我們還需要從數(shù)學(xué)已有的規(guī)則、事實(shí)出發(fā)，從邏輯上加以證明。因?yàn)椋╝+b）3=（a+b）2（a+b），所以我們利用完全平方公式和多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則，即可證明等式①。

讀完這一章，我們再回頭想一想便能感覺：在知識(shí)形成的過程中，圖形（幾何）直觀、符號(hào)意識(shí)、推理能力是比較重要的。

圖形直觀指畫一個(gè)圖形，直觀表示所思考對(duì)象的數(shù)學(xué)特征（關(guān)系），以便分析問題。其指導(dǎo)思想就是數(shù)形結(jié)合。我們所熟知的表格、線段圖、條形圖、扇形圖以及點(diǎn)和線段的表示等，都是圖形直觀。在本章中，圖形直觀體現(xiàn)在畫一個(gè)圖形來表示兩個(gè)可以畫等號(hào)的代數(shù)式，這既可以解釋“整式乘法”，也可以解釋“因式分解”。

符號(hào)意識(shí)就是主動(dòng)使用符號(hào)的意識(shí)。我們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，接觸的數(shù)學(xué)符號(hào)主要有兩類：1.數(shù)字、字母、圖像（表）等對(duì)象符號(hào);2.加、減、乘、除、等于、不等于等運(yùn)算符號(hào)。運(yùn)用符號(hào)，我們可以表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，還可以進(jìn)行運(yùn)算和推理。在本章中，用符號(hào)表示規(guī)律，發(fā)現(xiàn)公式（等式①），就是主動(dòng)運(yùn)用符號(hào)表示的過程;對(duì)所發(fā)現(xiàn)的公式，依據(jù)運(yùn)算律和法則進(jìn)行證明，就是符號(hào)操作的過程。

如果想把一般的規(guī)律揭示出來，你就不得不進(jìn)行符號(hào)表示;如果想證明規(guī)律的正確性，你就不得不進(jìn)行符號(hào)操作。這兩個(gè)過程既是代數(shù)運(yùn)算的過程，也是初中代數(shù)與小學(xué)算術(shù)的最大不同。

進(jìn)入初中后，我們更加重視由合情推理和演繹推理構(gòu)成的完整推理過程。合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論;演繹推理用于證明結(jié)論。合情推理和演繹推理是相輔相成的兩種推理形式，是學(xué)習(xí)本章以及全部“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域知識(shí)的有效工具。我們在閱讀教材的同時(shí)，要留意去體驗(yàn)、認(rèn)識(shí)、經(jīng)歷這樣的推理過程，在進(jìn)行合情推理時(shí)思考“合情”的理由，在進(jìn)行演繹論證時(shí)注重尋找合理的證明思路。

總之，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要閱讀教材，要重視知識(shí)形成的過程，把握一章的主線，總結(jié)基本方法，更要錘煉數(shù)學(xué)能力，增強(qiáng)數(shù)學(xué)意識(shí)，體悟數(shù)學(xué)思想，感受數(shù)學(xué)趣味。

（作者單位：江蘇省無錫市西漳中學(xué)）