熱塵埃等離子體中(2+1)維塵埃聲孤波的傳播特征*

林麥麥 付穎捷 宋秋影 于騰萱 文惠珊 蔣蕾

(西北師范大學物理與電子工程學院,蘭州 730070)

研究了由塵埃顆粒、電子和非熱離子所組成的非磁化熱塵埃等離子體中(2+1)維非線性塵埃聲孤波的傳播特征.首先,利用約化攝動法推導得到了用來描述(2+1)維非線性塵埃聲孤波的Kadomtsev-Petviashvili(KP)方程,并采用行波解法進行了定性分析,從而獲得了該系統(tǒng)的相圖及Sagdeev 勢方程;然后,利用數(shù)學軟件的數(shù)值模擬分析方法討論了等溫和絕熱兩種狀態(tài)下,熱塵埃等離子體系統(tǒng)中不同參數(shù)對KP 方程的非線性系數(shù)、色散系數(shù)、系統(tǒng)相圖、Sagdeev 勢函數(shù)及孤立波解的影響.最終,研究結(jié)果表明:等溫和絕熱狀態(tài)下,塵埃顆粒的質(zhì)量、電子和非熱離子的溫度、數(shù)密度及分布狀態(tài)等多種系統(tǒng)參數(shù)對非線性塵埃聲孤波的振幅、寬度及波形等傳播特征均存在重要影響.

1 引言

近年來,多組分塵埃等離子體中的非線性波動現(xiàn)象引起了人們的廣泛關(guān)注和深入研究[1?5].塵埃等離子體作為一種電離氣體,主要組成成分包括電子、離子及塵埃顆粒等多種粒子.塵埃等離子體涉及許多自然現(xiàn)象和宇宙星際物質(zhì),廣泛應用于工業(yè)、天體、材料、核聚變等基礎(chǔ)研究和應用領(lǐng)域[6,7].非線性塵埃聲波作為等離子體中重要的非線性波動過程,于1990 年由Rao 等[8]首次在理論上作出預言,并由Barkan 等[9]1995 年在實驗上得以證實.由此非線性塵埃聲波被學者們廣泛研究,例如:Ma 和Liu[10]發(fā)現(xiàn)了塵埃聲孤波的存在.Xie 等[11]研究了塵埃電荷對塵埃聲孤子的影響.El-Taibany[12]研究了非線性塵埃聲波在多組分非均勻塵埃等離子體(由帶正電荷、負電荷的塵埃顆粒、麥克斯韋分布的電子和離子組成)中的傳播特性.Paul 等[13]研究了含非熱電子和類渦旋離子分布的非磁化塵埃等離子體中塵埃聲波的非線性傳播特征.El-Labany 等[14]還研究了雙光譜電子分布的多組分塵埃等離子體中塵埃聲波的非線性傳播特征.含有非熱離子分布的塵埃等離子體更接近實驗室等離子體和空間等離子體,自Schamel[15]提出非熱力學平衡離子的離子分布,學者們對含有非熱離子分布的塵埃等離子體進行了大量研究[16?27].非熱離子分布極大地改變了大振幅靜電孤束結(jié)構(gòu)的性質(zhì),研究非熱離子對塵埃聲孤波特征的影響有助于理解天體物理塵埃等離子體系統(tǒng)中局域靜電擾動的非線性特性,例如土星環(huán)中靜電波的非線性行為[19].Tasnim 等[24]研究了具有不同溫度非熱離子的塵埃等離子體中的圓柱形和球形塵埃加德納孤子.Emamuddin 和Mamun[25]研究了塵埃聲激波在無碰撞非磁化塵埃等離子體(含兩種不同溫度的超熱電子、非熱離子和帶負電荷的黏性塵埃流體)中的傳播特征.Mendoza-Brice?o 等[26]使用Sadgeev勢方法,在絕熱狀態(tài)下對含有三組分熱塵埃等離子體中一維塵埃聲孤波進行了理論研究.王紅艷和段文山[27]曾發(fā)表過關(guān)于一維情況下三組分等離子體(大質(zhì)量、帶負電的塵埃顆粒且塵埃顆粒帶電量可變、滿足Boltzmann 分布的電子和非熱力學平衡分布的離子)中塵埃聲波的研究.在此基礎(chǔ)上本文擴展到二維情況,并使用約化攝動法求解KP 方程以及Sagdeev 勢方法探究了等溫與絕熱兩種狀態(tài)下各系統(tǒng)參數(shù)對塵埃聲孤波傳播特性的影響.

本文著重研究由塵埃顆粒、電子和非熱離子組成的非磁化熱塵埃等離子體中的(2+1)維非線性塵埃聲波.首先利用約化攝動法推導得到了用來描述非線性塵埃聲孤波的(2+1)維KP 方程;然后利用數(shù)值模擬的方法討論不同系統(tǒng)參數(shù)對KP方程中非線性系數(shù)及色散系數(shù)的影響;最后根據(jù)定性分析法和Sagdeev 勢方法分析并討論了不同系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)相圖、Sagdeev 勢函數(shù)和(2+1)維非線性塵埃聲孤波傳播特征的重要影響;在結(jié)論處分析了將研究結(jié)果應用到土星環(huán)的可行性.

2 原始方程及其求解

根據(jù)磁流體力學理論,考慮由塵埃顆粒、電子和呈現(xiàn)非熱分布的離子所組成的非磁化熱塵埃等離子體[28],忽略粒子間的碰撞,可以得到含有非熱離子的熱塵埃等離子體中(2+1)維非線性塵埃聲波的無量綱化方程組:

由電中性條件可知ni0=ne0+zdnd0,ni0,ne0和nd0分別是未擾動時的離子、電子和塵埃顆粒的數(shù)密度,zd為塵埃顆粒荷電量.上述方程中塵埃顆粒數(shù)密度nd和離子數(shù)密度ni分別由nd0和ni0無量綱化.ud,vd分別為塵埃流體在x,y方向的無量綱化速度,由塵埃聲速Cd=(zdTi/md)1/2無量綱化,其中Ti為離子溫度,md為塵埃顆粒質(zhì)量.壓強pd由nd0zdTd無量綱化,其中Td是塵埃溫度.電勢φ由Ti/e 無量綱化.空間變量x,y由Debye 長度λDd=[Ti/(4πzdnde2)]1/2無量綱化,時間t由塵埃等離子體頻率的倒數(shù)無量綱化.其他系統(tǒng)參數(shù):σi=Ti/Te,σd=Td/Ti,μ=ne0/ni0,Te為電子溫度.γ=1 或3 分別表示等溫和絕熱情況.

上述系統(tǒng)中非線性塵埃聲波的相速度遠小于離子熱速度,離子數(shù)密度ni滿足非熱力學平衡分布[29,30]:

其中α是決定快離子數(shù)的參數(shù),當α=0 時,離子數(shù)ni滿足Boltzmann 分布.

對(1)—(5)式作坐標伸展變換,令:η=εy,τ=ε3/2t,ξ=ε1/2(x?v0t),其中ε是表征非線性強度的小參數(shù),v0為線性波的速度.與此同時,對(1)—(5)式中的各未知量作如下形式的攝動展開:

將(7)—(12)式代入(1)—(5)式,并按ε的不同次冪展開.

在ε的最低次冪下,求得

在ε的較高次冪下:

在ε的最高次冪下:

并最終化簡,求得(2+1)維非線性塵埃聲孤波所滿足的KP 方程:

其中

3 KP 方程的分析討論

首先,借助數(shù)學軟件對KP 方程的非線性系數(shù)A和色散系數(shù)B進行討論.圖1 給出了σd取值不同時,KP 方程的非線性系數(shù)A在等溫和絕熱狀態(tài)下隨著非熱離子數(shù)α的變化規(guī)律,其中σi=0.9,μ=0.6,md=0.6,v0=0.15.圖1 表明:在等溫和絕熱狀態(tài)下,非線性系數(shù)A隨著非熱離子數(shù)α的增大而減小,并隨著參數(shù)σd的增大而增大.由于σd=Td/Ti,即當塵埃顆粒溫度Td升高或非熱離子的溫度Ti降低時,非線性系數(shù)A將增大,并且當?shù)入x子體處于絕熱狀態(tài)時,非線性系數(shù)增幅更加明顯.這說明:等離子體系統(tǒng)中的塵埃顆粒與離子的溫度之比σd對非線性系數(shù)A的影響在絕熱狀態(tài)下相較于等溫狀態(tài)更為顯著.

圖1 σd 取值不同時,非線性系數(shù)A 隨參數(shù)α 的變化(a) 等溫狀態(tài),γ=1;(b) 絕熱狀態(tài),γ=3Fig.1.Nonlinear coefficient A with respect to the parameter α for different values of σd: (a) Isothermal state;(b) adiabatic state.

為了更加深入地了解其他系統(tǒng)參數(shù)對非線性系數(shù)A的影響,利用數(shù)學軟件的數(shù)值模擬方法,分別給出了md,μ,σi取值不同時,KP 方程的非線性系數(shù)A在等溫和絕熱狀態(tài)下隨著非熱離子數(shù)α的變化規(guī)律,如圖2 和圖3 所示.圖2 和圖3 表明:在等溫和絕熱狀態(tài)下,非線性系數(shù)A都隨著非熱離子數(shù)α的增大而減小,且其他參數(shù)取值不同時對非線性系數(shù)A的影響各不相同.圖2(a)及圖3(a)顯示:在等溫和絕熱狀態(tài)下,非線性系數(shù)A隨著塵埃顆粒質(zhì)量md的增大而減小,且絕熱狀態(tài)下md對非線性系數(shù)A的影響更加明顯.圖2(b)及圖3(b)表明:在等溫和絕熱狀態(tài)下,非線性系數(shù)A隨著參數(shù)μ的增大而大幅遞增.考慮到μ=,說明平衡狀態(tài)下的電子數(shù)密度ne0增大或非熱離子的數(shù)密度ni0減小,將使系統(tǒng)的非線性系數(shù)A的強度增強,并且在絕熱狀態(tài)下增加的程度更加顯著.從圖2(c)及圖3(c)可以看出:在等溫和絕熱狀態(tài)下,非線性系數(shù)A隨著參數(shù)σi的增大而增大,由于σi=Ti/Te,即電子溫度降低時非線性系數(shù)A將增大.

圖2 (a)—(c) md,μ,σi 取值不同時,等溫狀態(tài)(γ=1)下非線性系數(shù)A 隨參數(shù)α 的變化Fig.2.Nonlinear coefficient A with respect to the parameter α in isothermal state under the condition of different values of (a)?(c) md,μ,σi .

圖3 (a)—(c) md,μ,σi 取值不同時,絕熱狀態(tài)(γ=3)下非線性系數(shù)A 隨參數(shù)α 的變化Fig.3.Nonlinear coefficient A with respect to the parameter α in adiabatic state under the condition of different values of (a)?(c) md,μ,σi .

綜上所述,含有非熱離子的熱塵埃等離子體中塵埃顆粒的質(zhì)量、電子和非熱離子的溫度以及數(shù)密度等多種系統(tǒng)因素均對KP 方程的非線性系數(shù)A存在不可忽略的重要影響.

圖4 給出了md,σd取值不同時,KP 方程的色散系數(shù)B在等溫狀態(tài)和絕熱狀態(tài)下隨線性波速度v0的變化規(guī)律.圖4(a)和圖4(c)展示了v0=0.1—0.6 時,色散系數(shù)在等溫和絕熱狀態(tài)下隨塵埃顆粒質(zhì)量md的增加而增大,且取相同塵埃顆粒質(zhì)量時,絕熱狀態(tài)下的色散系數(shù)比等溫狀態(tài)下大一個數(shù)量級.圖4(b)及圖4(d)說明了:隨著σd取值的增大,等溫和絕熱狀態(tài)下的色散系數(shù)也在變大,即當塵埃顆粒溫度Td升高或非熱離子的溫度Ti降低時,色散系數(shù)B將增大;同樣,σd取值相同時絕熱狀態(tài)下的色散系數(shù)比等溫狀態(tài)下大一個數(shù)量級.

圖4 色散系數(shù)B 隨參數(shù) v0 的變化 (a),(b) 等溫狀態(tài),γ=1;(c),(d) 絕熱狀態(tài),γ=3Fig.4.Dispersion coefficient A with respect to the parameter v0 in (a),(b) isothermal state and (c),(d) adiabatic state,respectively.

4 系統(tǒng)相圖、Sagdeev 勢函數(shù)及孤立波解

假設(shè)KP 方程(13)有如下形式的孤立波解:

φ1=φ1(θ),θ=kξ+lη?u0τ,

其中k,l分別為ξ,η方向的波數(shù);u0為波速.

則(13)式可以變?yōu)?/p>

(14)式積分后可得

化為二維自治系統(tǒng):

圖5(a)和圖5(b)分別是等溫和絕熱狀態(tài)下的相平面(φ1,ψ)及軌線分布圖,各個參量的取值分別為σi=0.9,μ=0.6,md=0.6,v0=0.15,σd=0.3,α=0.1.圖5 表明:在該系統(tǒng)中存在線性周期波軌道、非線性周期波軌道及孤立波解軌道.

圖5 相平面(φ1,ψ)及軌線分布圖 (a) γ=1;(b)γ=3Fig.5.Track of phase plane:(a) γ=1;(b) γ=3.

(15)式經(jīng)過積分變換可得Sagdeev 勢方程:

Sagdeev 勢函數(shù)為V(φ1)=.

接下來通過數(shù)值模擬對Sagdeev 勢進行分析.圖6 和圖7 分別是在等溫狀態(tài)和絕熱狀態(tài)下σd取不同值時,Sagdeev 勢隨φ1的變化規(guī)律,可以看出在φ1=0處,.除φ1=0以外,仍存在一個φm,使得V(φm)=0,且當 0<φ1<φm時V(φ1)<0.滿足以上條件可知含有非熱離子的熱塵埃等離子體中存在壓縮孤立波.并且由圖6 和圖7 可以看出,等溫和絕熱狀態(tài)下σd=Td/Ti越大φm越小,即塵埃顆粒溫度Td升高或非熱離子的溫度Ti降低時,孤立波振幅的最大值φm將減小.通過對比兩幅圖可以看出,等溫狀態(tài)下粒子所處的勢阱深度(the depth of potential)比絕熱狀態(tài)下大兩個數(shù)量級.

圖6 σd 取不同值時,等溫狀態(tài)(γ=1)下Sagdeev 勢V(φ1)隨 φ1 的變化Fig.6.The Sagdeev potential V(φ1)with respect to φ1 in isothermal state for different values of σd.

圖7 σd 取不同值時,絕熱狀態(tài)(γ=3)下Sagdeev 勢V(φ1)隨 φ1 的變化Fig.7.The Sagdeev potential V(φ1)with respect to φ1 in adiabatic state for different values of σd.

圖8(a)—(d)分別給出了α,σi,μ,md取不同值時,Sagdeev 勢在等溫狀態(tài)下隨φ1的變化規(guī)律.圖8(a)表明孤立波的振幅φm隨著非熱離子數(shù)α的增加而增大.圖8(b)說明σi=Ti/Te越大,即電子溫度降低時孤立波的振幅φm越小.圖8(c)表示孤立波的振幅φm隨著參數(shù)μ的增大而降低,由于μ=,說明平衡狀態(tài)下的電子數(shù)密度ne0增大或非熱離子的數(shù)密度ni0減小,將使孤立波振幅φm降低.圖8(d)表明孤立波的振幅φm隨著塵埃顆粒的質(zhì)量md的增加而增大.

圖8 (a)—(d) α,σi,μ,md 取不同值,等溫狀態(tài)(γ=1)下Sagdeev 勢 V(φ1)隨 φ1 的變化Fig.8.The Sagdeev potential V(φ1)with respect to φ1 in isothermal state under the condition of different values of (a)?(d) α,σi,μ,md.

圖9(a)—(d)分別給出了α,σi,μ,md取不同值時,Sagdeev 勢在絕熱狀態(tài)下隨φ1的變化規(guī)律.可以看出,絕熱狀態(tài)下Sagdeev 勢隨φ1的變化趨勢以及壓縮孤立波的振幅隨系統(tǒng)參數(shù)的變化規(guī)律與等溫狀態(tài)下相似,但等溫狀態(tài)下粒子所處的勢阱深度比絕熱狀態(tài)下大兩個數(shù)量級.上述結(jié)果說明,多組分熱等離子體中的各種系統(tǒng)參數(shù),諸如:平衡態(tài)時電子和非熱離子的數(shù)密度、塵埃顆粒的溫度和質(zhì)量、電子和非熱離子溫度等,對該系統(tǒng)中存在的壓縮孤立波的振幅均產(chǎn)生不同程度的重要影響.

圖9 (a)—(d) α,σi,μ,md 取不同值,絕熱狀態(tài)(γ=3)下Sagdeev 勢 V(φ1)隨 φ1 的變化Fig.9.The Sagdeev potential V(φ1)with respect to φ1 in adiabatic state under the condition of different values of (a)?(d) α,σi,μ,md.

由(16)式可以得到KP 方程的孤立波解如下:

圖10(a)和圖10(b)分別給出了等溫和絕熱狀態(tài)下,孤立波φ1的波形隨著非熱離子數(shù)α的變化規(guī)律.圖10(a)顯示:在等溫狀態(tài)下,該系統(tǒng)存在壓縮孤立波(φm >0),且孤立波的振幅隨著非熱離子數(shù)的增大而增大,與此同時孤立波的寬度則逐漸減小.另外,通過對比圖10(a)與圖10(b)不難發(fā)現(xiàn),等溫狀態(tài)下系統(tǒng)中的孤立波相較于絕熱狀態(tài)時,振幅更高,寬度更小.

圖10 α 取值不同時,孤立波 φ1 的波形變化 (a) 等溫狀態(tài),γ=1;(b) 絕熱狀態(tài),γ=3Fig.10.Waveform of solitary waves φ1 for different values of α:(a) Isothermal state;(b) adiabatic state,respectively.

圖11 和圖12 分別給出了σd,σi,μ,md取不同值時,塵埃聲孤波在等溫和絕熱狀態(tài)下波形的變化規(guī)律.圖11(a)和圖12(a)展示了在等溫和絕熱兩種不同狀態(tài)下,塵埃顆粒溫度與非熱離子溫度的比值σd=Td/Ti越小,孤立波的振幅越大而寬度越小,這說明孤立波振幅隨塵埃顆粒溫度的降低而增大,孤立波的寬度隨塵埃顆粒溫度的降低而減小.圖11(b)和圖12(b)表明在等溫和絕熱狀態(tài)下非熱離子溫度與電子溫度的比值σi=Ti/Te越小,孤立波的振幅隨之增大而寬度減小.圖11(c)和圖12(c)表明:在等溫和絕熱狀態(tài)下,系統(tǒng)中的壓縮孤立波的振幅隨著平衡態(tài)時的電子數(shù)密度與非熱離子數(shù)密度的比值μ=的增大而減小.這說明:當多組分的復雜熱等離子體中平衡狀態(tài)下電子數(shù)密度減小或非熱離子數(shù)密度增大時,壓縮孤立波的振幅將逐漸增加,而其寬度將不斷減小.圖11(d)和圖12(d)顯示:在等溫和絕熱狀態(tài)下,系統(tǒng)中的壓縮孤立波的振幅隨塵埃顆粒質(zhì)量md的增加而增大,寬度隨塵埃顆粒質(zhì)量md的增加而減小.

圖11 (a)—(d) σd,σi,μ,md 取不同值時,等溫狀態(tài)(γ=1)下孤立波 φ1 的波形變化Fig.11.Waveform of solitary waves φ1 in isothermal state under the condition of different values of (a)?(d) σd,σi,μ,md .

圖12 (a)—(d) σd,σi,μ,md 取不同值時,絕熱狀態(tài)(γ=3)下孤立波 φ1 的波形變化Fig.12.Waveform of solitary waves φ1 in adiabatic state under the condition of different values of (a)?(d) σd,σi,μ,md.

綜上所述,我們不難看出:含有非熱離子的多組分復雜熱等離子體中的(2+1)維非線性塵埃聲孤波的振幅、寬度及波形等傳播特征均與該系統(tǒng)中的多種系統(tǒng)參數(shù)存在緊密關(guān)系.

5 結(jié)論

本文研究了包含電子、非熱離子和塵埃顆粒的多組分熱塵埃等離子體中的(2+1)維非線性塵埃聲孤波的傳播特征.首先,運用約化攝動法,推導得到用來描述多組分熱塵埃等離子體中的(2+1)維非線性塵埃聲孤波的KP 方程,并利用數(shù)值模擬的方法討論了多組分熱塵埃等離子體中的各個系統(tǒng)參數(shù)對KP 方程中的非線性系數(shù)及色散系數(shù)的重要影響.然后,根據(jù)系統(tǒng)相圖、Sagdeev 勢函數(shù)和孤立波解分析了不同系統(tǒng)參數(shù)下非線性塵埃聲孤波的傳播特征.結(jié)果表明:塵埃顆粒的質(zhì)量及溫度、平衡狀態(tài)下電子數(shù)密度和非熱離子數(shù)密度以及電子和非熱離子的溫度等多種系統(tǒng)參數(shù)對非線性塵埃聲孤波的振幅、寬度及波形均存在不可忽略的重要影響.而文中二維情況下塵埃聲孤波的振幅與寬度隨塵埃溫度的變化趨勢與一維情況下相似[26].

Kotsarenko 等[31]研究了塵埃等離子體中離子聲孤子、塵埃聲孤子和離子-塵埃孤子的色散關(guān)系,將土星環(huán)中的輪輻結(jié)構(gòu)與圓柱形離子-塵埃孤子進行對比研究發(fā)現(xiàn):依據(jù)土星環(huán)中等離子體參數(shù)計算,獲得理論上孤子的橫向尺寸近似為1000 km,這與空間觀測到的土星環(huán)輪輻結(jié)構(gòu)基本接近.Wang 等[32]利用卡西尼號飛船上的無線電和等離子體波科學儀器(RPWS)所檢測到的數(shù)據(jù),研究了卡西尼號2004 年第一次通過土星環(huán)時的塵埃顆粒特征.當小顆粒以高速撞擊航天器時,會立即汽化并產(chǎn)生呈放射狀擴張的等離子體,顆粒釋放的電荷將產(chǎn)生極化電場,在RPWS 電場天線上產(chǎn)生電壓脈沖,其振幅與撞擊粒子質(zhì)量成正比.塵埃顆粒的質(zhì)量分布可由電壓脈沖的振幅分布來確定,遠離環(huán)平面的區(qū)域中大塵埃顆粒的數(shù)量比靠近環(huán)平面的區(qū)域少.根據(jù)模擬結(jié)果中塵埃顆粒質(zhì)量與塵埃聲孤波振幅的關(guān)系,可知靠近環(huán)平面區(qū)域中的局域靜電孤立波的振幅大于遠離環(huán)平面區(qū)域中的局域靜電孤立波的振幅.Pickett 等[33]對2004—2008 年觀測距離小于10Rs的卡西尼號RPWS WBR 數(shù)據(jù)中觀測到的典型雙極靜電孤波(ESW)進行了分析.在最接近土衛(wèi)二時檢測到的ESW 振幅增加為幾十到100 mV/m,且周圍磁場有了顯著增加,可能是由于土衛(wèi)二周圍的等離子體環(huán)境導致的.土星F 環(huán)中典型塵埃等離子體參數(shù)為[34,35]:ne0?10—20 cm?3,nd0?1—10 cm?3,Te?8—80 eV,Zd?10—100.在我們的研究中,基本保持離子溫度與電子溫度的比值σi=Ti/Te在0.9,研究結(jié)果可以應用到土星環(huán)中,為預測土星F 環(huán)中局域靜電孤立結(jié)構(gòu)的非線性特性提供一定理論基礎(chǔ).