從“將軍飲馬”到阿氏圓探究線段和的最值

摘要：本文從“將軍飲馬”問題開始，探究了一般圓錐曲線問題中兩條線段和的最小值問題，并通過構(gòu)造橢圓系的方式研究了一般圓錐曲線條件下的最小值.最后，借助阿波羅尼斯圓的定義，解決了帶系數(shù)的線段和的最小值問題.

關(guān)鍵詞：阿波羅尼斯圓;將軍飲馬;圓錐曲線

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）13-0033-04

1 著名的“將軍飲馬”問題

傳說在古羅馬時(shí)代的亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫.一天，一位將軍專程去拜訪他，向他請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的問題.將軍每天都從軍營A處出發(fā)，先到河邊C處飲馬，然后再去河邊的同側(cè)B處開會(huì)，他應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？據(jù)說當(dāng)時(shí)海倫略加思索就解決了它.這就是著名的“將軍飲馬”問題.

將上述問題抽象出數(shù)學(xué)模型即為如圖1中的問題：即在直線l上找一點(diǎn)C，使得AC+BC的值取到最小值.

該問題的解決方式也較為簡單，如圖2，作出點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，直線A′B與直線l的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)C′.圖2

筆者根據(jù)該模型提出如下的幾個(gè)思考：

（1）能否將直線l換成圓錐曲線呢？

（2）題目中的兩個(gè)定點(diǎn)能否是任意的呢？

（3）當(dāng)其中的某一條邊增加了系數(shù)以后如何求解最小值呢？

關(guān)于第（3）個(gè)思考我們可以通過如下的背景進(jìn)行理解：將軍每天還是從軍營A處出發(fā)，先到河邊C處飲馬，然后再去河邊的同側(cè)B處開會(huì)，因?yàn)轳R飲水前后的速度會(huì)有不同，假設(shè)v2=λv1，他應(yīng)該怎樣走才能使時(shí)間最短呢？翻譯成數(shù)學(xué)模型即是計(jì)算

1v1（AC+1λBC）的最小值問題.接下來，我們逐步地對(duì)三個(gè)問題進(jìn)行分析.

2 圓錐曲線中的最值問題

例1已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，橢圓內(nèi)一定點(diǎn)A（m，n），點(diǎn)P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，則PF1+PA的最小值為2a-AF2.

解析如圖3，根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)可知，由橢圓一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)橢圓反射后經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).連接AF2與橢圓相交，交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P.現(xiàn)證明其為最小值.

設(shè)點(diǎn)P1為橢圓上異于點(diǎn)P的任意一點(diǎn).連接P1F1，P1A，PF2，AF2.

P1F1+P1A+AF2>P1F1+P1F2=2a（三角形兩邊之和大于第三邊），

PF1+PA+AF2=PF1+PF2=2a，

即有P1F1+P1A+AF2>PF1+PA+AF2.

化簡，得P1F1+P1A>PF1+PA.

所以利用光學(xué)性質(zhì)所求的點(diǎn)P即為所求點(diǎn).

所以PF1+PA的最小值為2a-AF2.

例2在拋物線C：y2=2px（p>0）中，焦點(diǎn)為F（p2，0），拋物線內(nèi)一定點(diǎn)A（x0，y0）.點(diǎn)P為拋物線C上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PF取到最小值x0+p2.

解析 如圖4，結(jié)合拋物線的定義，PA轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離.點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離即為所求的最小值，其值為x0+p2.結(jié)合拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，設(shè)一束光線由點(diǎn)F出發(fā)經(jīng)過拋物線的反射后經(jīng)過點(diǎn)A，則拋物線上的反射點(diǎn)即為點(diǎn)P.

圖5

如圖5，設(shè)點(diǎn)P1為拋物線上異于點(diǎn)P的任意一點(diǎn).連接P1F，P1A.過點(diǎn)P及點(diǎn)P1分別作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為點(diǎn)P′，P′1.

根據(jù)拋物線的定義，得

P1A+P1F=P1A+P1P′1，

PA+PF=P′A.

結(jié)合圖形信息，得P1A+P1F≥PA+PF恒成立，即可得命題成立.

例3已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，雙曲線右支內(nèi)一定點(diǎn)A（m，n），點(diǎn)P為雙曲線C上一動(dòng)點(diǎn)，則PF2+PA的最小值為AF1-2a.

解析 根據(jù)雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可知，由雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)雙曲線反射后其反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).連接AF1與雙曲線相交，交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P.其證明過程與上述例題相似，本文不再贅述.

總結(jié)與反思上述三個(gè)例題，分別將“將軍飲馬”問題中的“直線”換成了橢圓、拋物線以及雙曲線.上述三個(gè)例題對(duì)定點(diǎn)的要求較高，其中均有一個(gè)定點(diǎn)為圓錐曲線的焦點(diǎn)，其解法的本質(zhì)均是借助了圓錐曲線的定義，將其進(jìn)行了等價(jià)轉(zhuǎn)化，再利用兩點(diǎn)間的距離或點(diǎn)到直線的距離求得最小值.如果是任意的兩個(gè)定點(diǎn)以及任意的圓錐曲線該如何進(jìn)行求解呢？筆者進(jìn)行如下的嘗試：

3 構(gòu)造橢圓系求解一般的最值問題

本文所討論的問題對(duì)于一般的圓錐曲線而言，運(yùn)算難度較大，本文僅以如下的特殊模型來說明求解的方法：

如圖6，已知點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-m，0），（m，0）.這兩點(diǎn)之外有一圓錐曲線Γ（本文以圓作為代表），設(shè)點(diǎn)P為Γ上一動(dòng)點(diǎn)，試求PA+PB的最小值.

解析以點(diǎn)A，B為焦點(diǎn)，構(gòu)造橢圓系Ca：x2a2+y2a2-m2=1，當(dāng)橢圓Ca與圓錐曲線Γ相切時(shí)，對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P.

證明如圖7，設(shè)點(diǎn)P1為圓錐曲線Γ異于點(diǎn)P的任意一點(diǎn)，連接P1A，P1B.設(shè)P1B與橢圓Ca的交點(diǎn)為Q，連接QA.

P1A+P1B=P1A+P1Q+QB>QA+QB=2a.（三角形兩邊之和大于第三邊）

所以PA+PB的最小值為2a.

上述過程提供了求解最小值的思路，但在高中階段，限于所掌握的運(yùn)算手段，具體求解過程只能針對(duì)較為特殊的曲線以及特殊的點(diǎn)進(jìn)行.

4 對(duì)于AC+λBC型最小值問題的思考與求解

在上文中，筆者分別通過橢圓、拋物線以及雙曲線進(jìn)行了舉例說明.其求解的主要思路是借助定義將其中的一邊進(jìn)行了轉(zhuǎn)化，“圓”也可實(shí)現(xiàn)邊的轉(zhuǎn)化，此時(shí)可借助阿波羅尼斯圓的性質(zhì)，將一條邊轉(zhuǎn)化為另一條邊的λ倍再進(jìn)行求解.我們先通過如下例題了解此類問題的考查方式.

例4（2021年佛山高二期末試題第16題改編）如圖8，已知點(diǎn)A（47，0），B（0，3），圓O：x2+y2=4，設(shè)點(diǎn)P為圓O上的動(dòng)點(diǎn)，求3PA+2PB的最小值.

分析所求式為3PA+2PB=3（PA+23PB）.若其中23PB可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到另一定點(diǎn)的距離，則可將原問題轉(zhuǎn)化為圓上一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和的最小值問題.本題是阿氏圓的逆向應(yīng)用題，即通過點(diǎn)B及圓O求出另一個(gè)定點(diǎn).

解析設(shè)點(diǎn)C（m，n），令PC=23PB，可求得點(diǎn)P的軌跡為

P：x2+y2-18m5x-18n-245y

=36-9（m2+n2）5.

令該圓與圓O重合，得

18m5=0，18n-245=0，36-9（m2+n2）5=4.

解得m=0，n=43.

即得點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（0，43）.

則原問題轉(zhuǎn)化為3PA+2PB=3（PA+PC），根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知3（PA+PC）≥3AC=32.

在上述解答過程中出現(xiàn)了三個(gè)方程，而僅有兩個(gè)未知數(shù)，說明該題的構(gòu)造過程有一定的確定性.比如將原問題轉(zhuǎn)化為3PA+2PB=2（32PA+PB），能否找到一點(diǎn)D使得PD=32PA，且保證點(diǎn)P的軌跡為圓O呢？通過計(jì)算可知這樣的點(diǎn)D并不存在.

我們可通過如下定義構(gòu)造出阿波羅尼斯圓的方程：設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（m，0），（0，0），PA=λPB，則點(diǎn)P的軌跡為

Pλ：（x+mλ2-1）2+y2=（λmλ2-1）2.

為此，我們可構(gòu)造出如下的題型：設(shè)點(diǎn)C（m，n）為圓Pλ外任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P為圓Pλ上一動(dòng)點(diǎn)，試計(jì)算PC+λPB的最小值.

根據(jù)上文的準(zhǔn)備可知，λPB=PA，所以PC+λPB的最小值為AC.據(jù)此，我們可以命制出如下試題供讀者練習(xí)：

例5已知點(diǎn)A（-3，0），C（-1，3），圓E：（x-3）2+y2=12，設(shè)點(diǎn)P為圓E上的動(dòng)點(diǎn)，求2PC+PA的最小值.

答案：25.

總結(jié)與反思本題涉及的兩個(gè)點(diǎn)的其中之一為阿波羅尼斯圓對(duì)應(yīng)的一個(gè)點(diǎn).那么對(duì)于任意兩點(diǎn)及圓錐曲線能否求解對(duì)應(yīng)的最值呢？為此，我們回顧上文中構(gòu)造橢圓解決一般圓錐曲線條件下的最值方法.當(dāng)構(gòu)造的橢圓與圓錐曲線相切時(shí)，兩者在此時(shí)擁有相同的公切線，我們可以借助光線的反射來解釋最短距離問題.即假設(shè)從點(diǎn)A處發(fā)射出一束光線，經(jīng)過圓錐曲線Γ的反射后恰好回到點(diǎn)B，則反射點(diǎn)P即為使得PA+PB取得最小值的點(diǎn).筆者猜想對(duì)于PA+λPB的最小值，我們可以通過光的折射進(jìn)行求解，即從點(diǎn)A處發(fā)射出一束光線，按照一定的比例經(jīng)過圓錐曲線Γ的折射后恰好回到點(diǎn)B，則折射點(diǎn)P即為使得PA+λPB取得最小值的點(diǎn).

參考文獻(xiàn)：

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[2] 榮賀，曲藝.與阿氏圓有關(guān)的廣義將軍飲馬問題[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2018，57（08）：48-52.

[3] 黃金福.利用阿波羅尼斯圓解競賽題[J].中等數(shù)學(xué)，2010（02）：5-9.

[責(zé)任編輯：李璟]

收稿日期：2022-02-05

作者簡介：郭海峰（1985.7-），男，陜西省咸陽人，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]