數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透研究

福建省三明市明溪縣城關(guān)中學(xué) 葛后輝

一直以來(lái)，在基礎(chǔ)教育課程體系結(jié)構(gòu)當(dāng)中，數(shù)學(xué)都是十分重要的組成部分，也是最具難度的一項(xiàng)知識(shí)。對(duì)初中生來(lái)說(shuō)，雖然已經(jīng)形成了較為完善的思維體系結(jié)構(gòu)、且已經(jīng)積累了一定數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，但在面對(duì)較為復(fù)雜且抽象的知識(shí)和問(wèn)題時(shí)，他們還是極易陷入認(rèn)知和理解誤區(qū)，進(jìn)而阻礙自身在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的健康發(fā)展。此時(shí)，教師就需要不斷尋找能夠促進(jìn)其思維能力提高和學(xué)習(xí)效果提升的教學(xué)手段，滲透數(shù)形結(jié)合思想由此被提出。

一、初中階段數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)的阻礙分析

1.學(xué)生興趣不足。

就初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)來(lái)說(shuō)，存在的最為嚴(yán)重的問(wèn)題就是學(xué)生積極性不足的問(wèn)題。一部分學(xué)生由于在過(guò)往的小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中沒(méi)有形成足夠完善且系統(tǒng)的知識(shí)體系，也沒(méi)有形成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn)與思維，因此會(huì)在進(jìn)入初中之后，面對(duì)難度已然提升到新的高度之上的數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生一定“抗拒學(xué)習(xí)”的情緒，出現(xiàn)不積極參與學(xué)習(xí)活動(dòng)、不主動(dòng)思考數(shù)學(xué)問(wèn)題的表現(xiàn)。在這樣的“學(xué)生不配合”狀態(tài)下，遑論數(shù)形結(jié)合教學(xué)工作無(wú)法落實(shí)，就連基本的理論教學(xué)都無(wú)法很理想地推進(jìn)。

2.思維定式嚴(yán)重。

其次，就是思維過(guò)于刻板的問(wèn)題，不僅體現(xiàn)在學(xué)生之上，更與教師息息相關(guān)。即便是新課改已經(jīng)提出了一段時(shí)間，依舊有一些教師局限在傳統(tǒng)的“應(yīng)試”思維當(dāng)中，認(rèn)為“創(chuàng)新教育方法”是對(duì)寶貴的教學(xué)時(shí)間的浪費(fèi)，仍然采取“灌輸式”的教學(xué)方法向?qū)W生傳授數(shù)學(xué)知識(shí)，甚至直接將與“類(lèi)型題應(yīng)該怎樣做”相關(guān)的解題方法告訴給學(xué)生。在這種模式下，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的吸收和解題方法的掌握是被動(dòng)且浮于表面的，不僅思考問(wèn)題的能力得不到有效提高，甚至還會(huì)陷入思維定式當(dāng)中，形成“被動(dòng)接受知識(shí)”“投機(jī)取巧”等不良學(xué)習(xí)習(xí)慣。

二、初中數(shù)學(xué)滲透數(shù)形結(jié)合思想的價(jià)值

1.點(diǎn)燃學(xué)生學(xué)習(xí)熱情。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：有效的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)是教師與學(xué)生的統(tǒng)一，應(yīng)體現(xiàn)“以人為本”的理念，學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主體，是學(xué)習(xí)的真正主人，在積極參與學(xué)習(xí)的過(guò)程中不斷得到全面發(fā)展。在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)過(guò)程中，將數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用在初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)當(dāng)中，最明顯的優(yōu)勢(shì)就是可以解決學(xué)生興趣不足的問(wèn)題，再次點(diǎn)燃他們探究數(shù)學(xué)知識(shí)的熱情。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，數(shù)形結(jié)合，就是將代數(shù)知識(shí)與圖形知識(shí)整合起來(lái)，并借助具象的表示方法展現(xiàn)在學(xué)生眼前。而初中階段的學(xué)生雖然在一定程度上脫離了“習(xí)慣于憑借直觀(guān)觀(guān)察和具象思考理解問(wèn)題”的具象思維模式，畢竟還是能夠在具象知識(shí)的直觀(guān)指示下更好地理解相關(guān)內(nèi)容，提升學(xué)習(xí)興趣。

2.助力學(xué)生思維發(fā)展。

數(shù)學(xué)本質(zhì)上就是一門(mén)思維十分嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科知識(shí)，這也就意味著，探究數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程，就是發(fā)展思維能力的過(guò)程。對(duì)此，初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出了初中教師在向?qū)W生傳授數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中，要關(guān)注他們的思維形成情況，大力培養(yǎng)其邏輯思維能力。將數(shù)形結(jié)合理念滲透在實(shí)際教學(xué)活動(dòng)當(dāng)中，無(wú)論是以形講數(shù)還是借數(shù)講形，均對(duì)實(shí)現(xiàn)該目標(biāo)大有幫助。一旦教師能夠?qū)?shù)形知識(shí)緊密結(jié)合起來(lái)并引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)探究，面對(duì)數(shù)形結(jié)合內(nèi)容，初中生們的思考必然是多元且深入的。久而久之，在不斷的多元思考和深入分析中，他們不僅能加強(qiáng)對(duì)知識(shí)的理解和掌握，還可以將思維水平順利提升到新的層次之上。

3.提高學(xué)生解題素質(zhì)。

最后，就是在提高學(xué)生解題素質(zhì)方面的優(yōu)勢(shì)。數(shù)學(xué)在中考試卷中占據(jù)著極大的分值比例，這也就意味著，即便是走出“應(yīng)試”教育模式，從“讓學(xué)生更有底氣地迎接中考”和數(shù)學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的核心功能出發(fā)，教師都要注重對(duì)學(xué)生解決問(wèn)題的能力培養(yǎng)。在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生遇到無(wú)法解決的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，教師要科學(xué)的引導(dǎo)，分析題意，學(xué)生動(dòng)手操作畫(huà)圖，在數(shù)形結(jié)合模式下，這一目標(biāo)可以較為輕松地實(shí)現(xiàn)。對(duì)于一些較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，若只是簡(jiǎn)單地圍繞代數(shù)思想或幾何思想展開(kāi)思考，學(xué)生能夠獲得的思維啟發(fā)是有一定限制的，這也就阻礙了他們的問(wèn)題解答。但是，若掌握了數(shù)形結(jié)合的思考規(guī)律，他們就能夠在遇到該類(lèi)型問(wèn)題時(shí)，直接通過(guò)畫(huà)圖將代數(shù)信息以更加清晰的形式呈現(xiàn)出來(lái)，同時(shí)開(kāi)闊自己的解題思路。長(zhǎng)此以往，在不斷的思考和鍛煉中，他們的解題能力必然會(huì)達(dá)成質(zhì)的提高。

三、初中數(shù)學(xué)滲透數(shù)形結(jié)合思想的路徑

1.明確內(nèi)容，充分準(zhǔn)備。

初中數(shù)學(xué)的內(nèi)容是繁雜的，且難度隨著年級(jí)的提高與日俱增。而無(wú)論是基礎(chǔ)的學(xué)習(xí)活動(dòng)，還是教學(xué)模式的優(yōu)化、對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和思維培養(yǎng)，都是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，難以在短時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)。這也就意味著，想要將數(shù)形結(jié)合思想穩(wěn)步、高效地滲透到初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)當(dāng)中，教師必須從一開(kāi)始就做好充分的準(zhǔn)備工作。對(duì)此，一方面就是對(duì)整個(gè)初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容展開(kāi)分析，明確“可以借助數(shù)形結(jié)合思想來(lái)講解”的相關(guān)知識(shí)，進(jìn)而設(shè)計(jì)出更加科學(xué)的“結(jié)合教學(xué)方法”，把握住“滲透教育”的時(shí)機(jī)。另一方面，就是對(duì)學(xué)生的知識(shí)水平和學(xué)習(xí)能力展開(kāi)分析，尤其是要對(duì)他們的幾何思維和代數(shù)思維的發(fā)展情況分別展開(kāi)評(píng)估。這樣一來(lái)，了解了學(xué)生對(duì)“數(shù)形結(jié)合”“空間數(shù)學(xué)知識(shí)”“代數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)”的接受程度，教師設(shè)計(jì)出來(lái)的“結(jié)合教學(xué)方法”便會(huì)更加符合他們的現(xiàn)實(shí)需要，學(xué)生也更容易接受并且理解、參與。如此，教師明確了“教什么”“怎樣教”，學(xué)生知曉了“學(xué)什么”“如何學(xué)”，師生之間的配合更加默契，數(shù)形結(jié)合的滲透效果以及數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)效果均會(huì)越來(lái)越好。

2.重視例題，注意講解。

教材是師生共同探究數(shù)學(xué)知識(shí)的重要依托，想要讓學(xué)生對(duì)理論知識(shí)形成更深刻的理解和更扎實(shí)的掌握，圍繞教材例題講解知識(shí)的運(yùn)用規(guī)律是必不可少的。因此，教師在初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中滲透數(shù)形結(jié)合思想時(shí)，應(yīng)重視教材例題，注重用“結(jié)合”手段講授相關(guān)知識(shí)。

以北師大版七年級(jí)上冊(cè)《一元一次方程》為例，在講解應(yīng)用一元一次方程的過(guò)程中，參考教材中追趕小明的例題，深度闡述爸爸追趕小明時(shí)兩者距離相等的等量關(guān)系，并對(duì)爸爸追及過(guò)程與小明行進(jìn)過(guò)程進(jìn)行分段處理，并利用線(xiàn)段圖描述兩者之間存在的等量關(guān)系。在解決一元一次方程的過(guò)程中，利用線(xiàn)段圖此類(lèi)數(shù)形結(jié)合的方法，將等式兩端的未知數(shù)和已知數(shù)進(jìn)行對(duì)比，引導(dǎo)學(xué)生理解一元一次方程中的等量關(guān)系計(jì)算方法。

3.設(shè)計(jì)習(xí)題，組織練習(xí)。

數(shù)學(xué)自被發(fā)現(xiàn)以來(lái)，就承擔(dān)了解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的責(zé)任，尤其是在被設(shè)計(jì)為基礎(chǔ)教育的一門(mén)課程之后，其解決問(wèn)題的功能就在被不斷放大。因此，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，也成為了初中階段數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容。這也就意味著，將數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用在初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)當(dāng)中，教師必須提起對(duì)于習(xí)題訓(xùn)練的重視，積極組織相關(guān)的解題練習(xí)活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力和思維。

以北師大版七年級(jí)下冊(cè)《相交線(xiàn)與平行線(xiàn)》為例，在深度探討兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系過(guò)程中，部分學(xué)生在利用量角器測(cè)量直線(xiàn)夾角的過(guò)程中，很容易存在認(rèn)知偏差，從而影響到直線(xiàn)夾角的正確測(cè)量和解析過(guò)程。在詳細(xì)解析補(bǔ)角和余角的概念時(shí)，教師和學(xué)生都可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方式，驗(yàn)證同角或等角的補(bǔ)角相等，同角或等角的余角相等這個(gè)數(shù)學(xué)定理。數(shù)學(xué)教學(xué)還可以充分運(yùn)用物理學(xué)中的光線(xiàn)反射與折射原理，將直線(xiàn)方向與平面之間的夾角以及位置關(guān)系進(jìn)行深度解讀。數(shù)學(xué)教師還可以充分運(yùn)用虛擬現(xiàn)實(shí)設(shè)備，將比較簡(jiǎn)單的臺(tái)球游戲與直線(xiàn)位置關(guān)系進(jìn)行一一對(duì)應(yīng)，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思維發(fā)散，將互為補(bǔ)角以及互為余角的夾角進(jìn)行準(zhǔn)確分類(lèi)。部分學(xué)生會(huì)混淆補(bǔ)角與余角的相關(guān)概念，也會(huì)對(duì)補(bǔ)角余角的角度范圍產(chǎn)生疑慮，因此需要將銳角、直角以及鈍角的基本概念，與補(bǔ)角余角的基本概念進(jìn)行嚴(yán)格比對(duì)，并在幾何畫(huà)板軟件中進(jìn)行直觀(guān)展現(xiàn)，將數(shù)形結(jié)合思想與概念定理的區(qū)分過(guò)程進(jìn)行緊密結(jié)合。

4.利用技術(shù)，優(yōu)化教學(xué)。

在教學(xué)過(guò)程中，需要注意的是，初中生雖然能夠在數(shù)形結(jié)合思想的滲透中不斷深化思維水平，提高對(duì)于抽象幾何知識(shí)和復(fù)雜代數(shù)知識(shí)的理解、運(yùn)用能力，但他們的思維依然是不夠成熟的，一旦知識(shí)或題目難度有大幅提高，他們就極易陷入到認(rèn)知誤區(qū)當(dāng)中，甚至?xí)谙萑胝`區(qū)之后出現(xiàn)學(xué)習(xí)自信降低的消極表現(xiàn)，嚴(yán)重阻礙自身可持續(xù)發(fā)展。為規(guī)避這一問(wèn)題、將數(shù)形結(jié)合思想更好地滲透到初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)當(dāng)中，教師有必要將信息技術(shù)工具運(yùn)用起來(lái)，借助現(xiàn)代化教育技術(shù)將抽象內(nèi)容以更加直觀(guān)、具體的表現(xiàn)形式呈現(xiàn)出來(lái)，進(jìn)一步優(yōu)化教學(xué)結(jié)構(gòu)。

以北師大版八年級(jí)上冊(cè)《一次函數(shù)》為例，數(shù)學(xué)教師和學(xué)生都能夠在平面直角坐標(biāo)系中將一次函數(shù)進(jìn)行認(rèn)知和理解，并與一元一次函數(shù)的變式解析過(guò)程緊密關(guān)聯(lián)。數(shù)學(xué)教師可以充分運(yùn)用信息技術(shù)軟件，將一次函數(shù)與一元一次方程之間的聯(lián)系進(jìn)行深度解讀，并對(duì)一次函數(shù)圖像和性質(zhì)進(jìn)行發(fā)散性驗(yàn)證。對(duì)于一次函數(shù)的一般形式y(tǒng)=kx+b，k的取值范圍為不為0的實(shí)數(shù)，b的取值范圍是所有實(shí)數(shù)。在展示一次函數(shù)的數(shù)形結(jié)合形式時(shí)，在手動(dòng)繪制一次函數(shù)圖像時(shí)，需要按照列表、描點(diǎn)以及連線(xiàn)的順序，但是在幾何畫(huà)板以及其他信息技術(shù)軟件中，可以直接輸入函數(shù)類(lèi)型、k和b參數(shù)的具體取值，直接可以獲得函數(shù)圖像，對(duì)后續(xù)求解坐標(biāo)奠定良好的基礎(chǔ)。

此時(shí)，為保證他們對(duì)相關(guān)知識(shí)的深度把握和靈活運(yùn)用，教師還可以在多媒體展示、教學(xué)結(jié)束后，適當(dāng)布置一些拓展性作業(yè)任務(wù)。如：“已知一次函數(shù)解析式為y=kx+b，其圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，1）和點(diǎn)B（a，-2），點(diǎn)B在正比例函數(shù)圖象上，①求出一次函數(shù)解析式，②觀(guān)察圖象，請(qǐng)直接寫(xiě)出不等式的解集”。如此，將“一次函數(shù)”與“正比例函數(shù)”結(jié)合起來(lái)加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的能力訓(xùn)練，可以進(jìn)一步提高其相關(guān)知識(shí)的掌握與運(yùn)用能力，同時(shí)促進(jìn)其數(shù)形結(jié)合思維發(fā)展。

5.注重應(yīng)用，解決問(wèn)題。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在課程分學(xué)段目標(biāo)發(fā)展中要求：數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上的抽象與概括，如抽象、分類(lèi)、歸納、演繹、模型等。學(xué)生在積極參與數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中，通過(guò)獨(dú)立思考、合作交流，逐步感悟數(shù)學(xué)思想。所以學(xué)生要能從生產(chǎn)生活中發(fā)現(xiàn)、提出并解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。由此可見(jiàn)，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)注意學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，就應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生從日常生活、生產(chǎn)實(shí)踐中提出數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，讓學(xué)生帶著已有的生活經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)背景，去理解、去構(gòu)建走進(jìn)數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生依據(jù)情境獨(dú)立思考、自主探索、發(fā)現(xiàn)提出和解決問(wèn)題，這就要求學(xué)生能夠利用數(shù)形結(jié)合思想，把生活和生產(chǎn)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后進(jìn)行交流。

例如，小明在上周末游覽風(fēng)景區(qū)時(shí)，在一個(gè)寬闊的草地中間有一個(gè)美麗的湖，湖的邊上A、B兩點(diǎn)處各有一個(gè)美麗的亭子，他想知道這兩個(gè)亭子之間的直線(xiàn)距離，但是他沒(méi)有船，不能直接去測(cè)量。手里只有一根繩子和一把尺子，他怎樣才能大致測(cè)出A、B之間的距離呢？

分析：根據(jù)題意，可以如下操作：在湖邊的陸地上任選一點(diǎn)C，C點(diǎn)可以同時(shí)步行到達(dá)點(diǎn)A和點(diǎn)B，連接AC、BC，并延長(zhǎng)AC到D，使CD=AC，延長(zhǎng)BC到E，使CE=BC，連接DE，利用繩子和尺子測(cè)量出DE的長(zhǎng)度，AB的長(zhǎng)度就會(huì)等于DE的長(zhǎng)度。你知道為什么嗎？

解：依據(jù)操作過(guò)程，畫(huà)出圖形可知：

CA=CD，∠ACB=∠DCE，CB=CE，所以△ACB≌△DCE，

所以AB=DE。

由此，學(xué)生動(dòng)手畫(huà)圖，觀(guān)察圖形，分析數(shù)據(jù)，理清思路，利用數(shù)形結(jié)合思想，解決了問(wèn)題，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到：數(shù)學(xué)與我有關(guān)，我要學(xué)數(shù)學(xué)，我能用數(shù)學(xué)。感受數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值，初步獲得對(duì)數(shù)學(xué)的整體認(rèn)識(shí)，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，這不但提高了應(yīng)用能力還擴(kuò)大了知識(shí)面和視野，從而達(dá)到素質(zhì)教育的目的。

結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，對(duì)于初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，將數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用在“教”和“學(xué)”的過(guò)程當(dāng)中，不僅能夠大大提高理解知識(shí)和解決問(wèn)題的效率和質(zhì)量，還能在極大程度上促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深度發(fā)展，為他們?nèi)蘸笤跀?shù)學(xué)領(lǐng)域更加長(zhǎng)遠(yuǎn)的發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。教師需對(duì)此建立起正確的認(rèn)識(shí)，積極設(shè)計(jì)相關(guān)教學(xué)活動(dòng)并借助習(xí)題訓(xùn)練、課外實(shí)踐等多元活動(dòng)訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思維能力，以便更好地培養(yǎng)學(xué)生，同時(shí)保障數(shù)學(xué)教育事業(yè)的生生不息。