基于單級倒立擺的遺傳神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制研究*

周 勇

(荊州學(xué)院 信息工程學(xué)院，湖北 荊州 434020)

0 引言

倒立擺是一個高階次、多變量、非線性、自然不穩(wěn)定的快速系統(tǒng)，其控制目的是實現(xiàn)各擺桿之間的穩(wěn)定平衡，它是檢驗各種新的控制理論和方法的理想模型。RBF(徑向基函數(shù))神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是具有單隱層的一種三層前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)簡單、學(xué)習(xí)速度快、逼近能力強，在系統(tǒng)辨識、模式識別等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在學(xué)習(xí)過程中，其性能主要取決于隱層神經(jīng)元基函數(shù)中心、寬度和隱層節(jié)點到輸出層之間連接權(quán)值的整定，許多學(xué)者對其優(yōu)化整定方法進(jìn)行了研究，如Bishop[1]提出的期望最大法、Chen等[2]提出的正交最小二乘法、基于敏感度分析和混合優(yōu)化策略的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練方法、粒子群算法[3]、蟻群算法和遺傳算法等優(yōu)化算法。其中遺傳算法是一種高度并行的隨機優(yōu)化方法，具有很好的全局搜索能力和魯棒性，非常適用于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的優(yōu)化，也能較好地應(yīng)用于RBF參數(shù)優(yōu)化中[4]。但是，傳統(tǒng)遺傳算法在RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)優(yōu)化時，由于其隨機搜索的特點，常容易產(chǎn)生早熟(局部收斂)，存在進(jìn)化速度慢和局部收斂等問題。本文設(shè)計了一種基于改進(jìn)遺傳算法的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器，并結(jié)合單級倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行仿真實驗，以驗證其有效性。

1 單級倒立擺模型

單級(一級)倒立擺系統(tǒng)在忽略空氣阻力和各種摩擦之后，可將其抽象成由一個小車和勻質(zhì)桿組成，其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示，參數(shù)如表1所示。

圖1 單級倒立擺系統(tǒng)

表1 單級倒立擺參數(shù)

倒立擺系統(tǒng)建模主要有拉格朗日和牛頓-歐拉兩種方法。由于單級倒立擺系統(tǒng)模型比較簡單，故本文采用牛頓-歐拉方法建模。

對小車水平方向所受的合力以及擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析，系統(tǒng)線性化后的動力學(xué)方程組為：

(1)

其中：x為小車相對初始位置的位移；θ為擺桿與垂直方向的夾角；u為系統(tǒng)輸入。

(2)

其中：F(t)為輸入外力；Y為系統(tǒng)輸出；A為系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣；B為系統(tǒng)的控制矩陣；C為系統(tǒng)的輸出矩陣。

取平衡位置，進(jìn)行泰勒級數(shù)展開，線性化處理后得到的系統(tǒng)狀態(tài)方程為：

(3)

(4)

2 改進(jìn)遺傳算法優(yōu)化RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的實現(xiàn)

2.1 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)一般由三層構(gòu)成，即輸入層、隱含層和輸出層，如圖2所示。RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)包括兩部分：一是高斯函數(shù)中心和寬度的確定；另一個是輸出層權(quán)值的確定。給定網(wǎng)絡(luò)輸入X=(x1,x2,…,xn)T為n維向量，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入層到隱含層實現(xiàn)x→h(x)的非線性映射，即隱含層的變換函數(shù)h(x)為一個徑向基函數(shù)，其徑向基函數(shù)最常采用高斯函數(shù)，則RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱含層第j個節(jié)點的輸出為：

(5)

其中：cj和bj分別為第j個隱含層節(jié)點的高斯函數(shù)中心和基寬參數(shù)，bj為大于零的數(shù)，它決定了該基函數(shù)曲線圍繞中心點的寬度；q為隱含層節(jié)點的個數(shù)。

圖2 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

假設(shè)wj為第j個隱含層節(jié)點到輸出層的加權(quán)系數(shù)(權(quán)值)，則RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的隱含層到輸出層實現(xiàn)h(x)→yk的線性映射，即：

(6)

其中：p為輸出層的節(jié)點數(shù);yk為第k個節(jié)點的輸出。

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)過程是將采集到的數(shù)據(jù)樣本對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練，不斷調(diào)整基函數(shù)中心c、寬度b和權(quán)值w使網(wǎng)絡(luò)總均方誤差為最小，即對于N個訓(xùn)練樣本，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的希望輸出為d，則總均方誤差函數(shù)為：

(7)

其中：dlk為第k個輸出節(jié)點在第l個樣本的希望輸出;ylk為第k個輸出節(jié)點在第l個樣本的實際輸出。

2.2 基于改進(jìn)遺傳算法的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)優(yōu)化

遺傳算法(Genetic Algorithm,GA)是美國Holland教授于1975年首先提出來的一種借鑒生物進(jìn)化理論和門德爾基因遺傳理論的高度并行、隨機的優(yōu)化方法[5]。遺傳算法雖然應(yīng)用廣泛，但在解決復(fù)雜問題時由于其自身的隨機搜索特點也帶來了收斂速度慢和算法局部收斂(早熟)等問題[6]。結(jié)合文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[8],本文引入一種改進(jìn)的遺傳算法，使算法的適應(yīng)度值、交叉率Pc和變異率Pm分別按平均適應(yīng)度、Sigmoid函數(shù)和進(jìn)化代數(shù)變化，增加算法種群的多樣性，提高算法的全局搜索能力和收斂速度。

改進(jìn)遺傳算法實現(xiàn)步驟如下：

(1) 參數(shù)編碼及初始化群體生成。由式(5)和式(6)可知，優(yōu)化參數(shù)分別為c、b和w。根據(jù)工程實際，優(yōu)化參數(shù)的初始范圍均設(shè)為[-2,2]，采用實數(shù)編碼，進(jìn)化代數(shù)為G，種群規(guī)模為n，并根據(jù)種群規(guī)模隨機產(chǎn)生初始種群。

(2) 解碼，計算種群個體適應(yīng)度，確定適應(yīng)度函數(shù)F，評價是否滿足收斂條件。個體適應(yīng)度反映了個體在不同環(huán)境下的生存能力，為防止種群中個體適應(yīng)度過于偏大或偏小導(dǎo)致算法陷入局部收斂，改進(jìn)遺傳算法采用自適應(yīng)個體適應(yīng)度值改善算法性能。改進(jìn)的個體適應(yīng)度值調(diào)節(jié)公式為：

(8)

改進(jìn)遺傳算法的適應(yīng)度函數(shù)為f=1/J,J為均方誤差函數(shù)E，即f=1/E。

(3) 如果滿足要求(精度10-5或進(jìn)化代數(shù)T)，輸出結(jié)果；否則繼續(xù)步驟(4)。

(4) 設(shè)計遺傳算子。本設(shè)計采用輪盤賭選擇、算術(shù)交叉和均勻變異的遺傳算子。遺傳算法中，交叉和變異算子是算法進(jìn)化的核心，其交叉率和變異率是算法收斂和穩(wěn)定的關(guān)鍵參數(shù)。為了防止遺傳算法的早熟和收斂較差的問題出現(xiàn),采用改進(jìn)的自適應(yīng)交叉概率和變異概率,將S曲線變化模式和進(jìn)化代數(shù)用于交叉概率和變異概率，使個體的變異和交叉分別受進(jìn)化代數(shù)和適應(yīng)度的約束。改進(jìn)的交叉率和變異率自適應(yīng)調(diào)節(jié)公式為：

(9)

(10)

其中：fmax為種群中最大的個體適應(yīng)度值；f′為要交叉的兩個個體中較大的適應(yīng)度值；k1為曲線平滑參數(shù)，用來調(diào)節(jié)曲線的光滑程度；Pc max、Pc min分別為交叉率的最大和最小值；Gmax為最大進(jìn)化代數(shù)；Pm1、Pm2和Pm3均為正實數(shù)。

(5) 根據(jù)favg、個體適應(yīng)度和進(jìn)化代數(shù)，結(jié)合自適應(yīng)調(diào)節(jié)公式進(jìn)行交叉和變異操作。

(6) 返回步驟(2)，如達(dá)到指定要求，算法結(jié)束；否則繼續(xù)執(zhí)行操作。

3 仿真實驗及結(jié)果分析

為研究單級倒立擺改進(jìn)遺傳算法RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)性能，本文分別用線性二次型控制器(LQR)和改進(jìn)遺傳RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對單級倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析。

3.1 算法的參數(shù)選擇

3.2 仿真結(jié)果分析

搭建Simulink模塊，結(jié)合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱，將改進(jìn)遺傳算法得到的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基函數(shù)中心、寬度和權(quán)值加入到RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模塊中，與單級倒立擺系統(tǒng)相結(jié)合進(jìn)行仿真，繪制曲線，并與LQR控制器設(shè)計的參數(shù)矩陣進(jìn)行對比，其階躍響應(yīng)曲線如圖3和圖4所示。從仿真結(jié)果可知：LQR方法在前2.7 s內(nèi)，倒立擺擺桿在初始位置0 rad發(fā)生較大幅度的振蕩，2.7 s后達(dá)到穩(wěn)定；改進(jìn)遺傳算法優(yōu)化后的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制，擺桿的穩(wěn)定時間為2.5 s，但超調(diào)更小，其超調(diào)和穩(wěn)態(tài)誤差都小于LQR方法，穩(wěn)定性能得到了較大的提高。

圖3 兩種控制方法的小車位置響應(yīng)曲線

圖4 兩種控制方法的擺桿角度響應(yīng)曲線

4 結(jié)語

本文依據(jù)單級倒立擺的數(shù)學(xué)模型和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論，在對一般RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上設(shè)計了基于改進(jìn)遺傳算法的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器，利用改進(jìn)遺傳算法實現(xiàn)高斯函數(shù)的中心、基寬參數(shù)和連接權(quán)值的優(yōu)化選擇。通過仿真分析，基于單級倒立擺的改進(jìn)遺傳RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)能更有效地減小系統(tǒng)超調(diào)和穩(wěn)定時間，較好地提高了單級倒立擺性能。