Green函數(shù)法求解直井分層壓裂裂縫井的井底壓力

杜宗和,王金禮,咸玉席,俞天喜,曉 春,封 猛

(1.中國石油新疆油田分公司 勘探事業(yè)部,新疆 克拉瑪依 834000; 2.中國石油西部鉆探工程有限公司 試油公司,新疆 克拉瑪依 834000;3.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 工程科學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230027)

0 引 言

對于低滲透油氣藏儲層,采用常規(guī)開采技術(shù)難以達(dá)到工業(yè)產(chǎn)能,目前普遍采用直井多層壓裂和水平井多段壓裂技術(shù)進(jìn)行開發(fā)。油藏的動態(tài)測試資料是了解油藏動態(tài)開發(fā)、掌握油藏產(chǎn)能、流體性質(zhì)、井間干擾及井底壓力等數(shù)據(jù)的唯一手段。但由于低滲透儲層與常規(guī)高滲儲層的滲透機(jī)理和壓裂規(guī)模存在差異性,常規(guī)資料解釋方法已不能滿足分層動態(tài)測試解釋需求,無法準(zhǔn)確給出油藏的井底壓力參數(shù)。目前雖然已有很多用于解釋水平井多段壓裂的方法,但是直井與水平井在流動機(jī)理上不同,導(dǎo)致適用于水平井多段壓裂的理論不能直接應(yīng)用于直井分層壓裂動態(tài)測試資料的解釋。目前還沒有能夠應(yīng)用油藏動態(tài)測試資料對直井分層壓裂裂縫井進(jìn)行解釋的理論模型。因此,研究出一種適用于低滲透油藏直井分層壓裂的解釋方法十分重要。

國內(nèi)外研究者提出了很多分層油藏的模型。文獻(xiàn)[1-2]在文獻(xiàn)[3]提出的2層油藏體系模型基礎(chǔ)上對多層油藏進(jìn)行總結(jié)和分析,認(rèn)為無層間流的層狀油藏通常稱為層狀混合油藏;文獻(xiàn)[4]指出文獻(xiàn)[3]提出的模型難以求解,并且當(dāng)層數(shù)超過2個(gè)時(shí)適用性不強(qiáng);文獻(xiàn)[5-7]分別建立了考慮無串流和有串流情況下的多層油藏滲流模型,并求得井底壓力解析解,但是依據(jù)合試壓力資料不能準(zhǔn)確獲取各小層儲層參數(shù);文獻(xiàn)[8-9]利用多流量測試技術(shù)測量各小層產(chǎn)量和井底壓力數(shù)據(jù),同時(shí)根據(jù)各層流量與井底壓力、脈沖響應(yīng)的關(guān)系,獲得了多層油藏滲流井底壓力的一般表達(dá)式;文獻(xiàn)[10]針對多層油藏滲流模型,利用半解析方法求解井底壓力;文獻(xiàn)[11]研究非穩(wěn)態(tài)竄流多段壓裂水平井的井底壓力,建立了考慮啟動壓力梯度和應(yīng)力敏感性在壓裂區(qū)存在非穩(wěn)態(tài)竄流的五線性流數(shù)學(xué)模型,得到Laplace空間下的井底壓力解;文獻(xiàn)[12]建立存在3層地層串流情況下的井底壓力動態(tài)模型,推導(dǎo)得到各層流量與井底壓力的解;文獻(xiàn)[13]研究多層油藏在3種邊界下的井底動態(tài)壓力,建立滲流數(shù)學(xué)模型,并求解了多層油藏井底壓力的表達(dá)式;文獻(xiàn)[14]建立多層合采復(fù)合油藏滲流模型,繪制邊界為封閉邊界條件的井底壓力理論典型曲線,并分析曲線的敏感性特征;文獻(xiàn)[15]對垂直非均質(zhì)封閉邊界分層油藏進(jìn)行瞬態(tài)壓力分析,提出利用等效復(fù)合區(qū)域和等效影響邊界半徑確定外凸層的厚度和半徑。但是對于分層油層的壓力測量十分困難,因此反演油藏井底壓力具有重要的意義。

以上研究主要還是基于試井理論進(jìn)行地層參數(shù)反演,而利用生產(chǎn)過程中測試得到的動態(tài)資料并不能有效反演井底壓力,因此使用以上模型解釋動態(tài)資料時(shí)會出現(xiàn)解釋參數(shù)不準(zhǔn)確、解釋結(jié)果不合理等問題。利用生產(chǎn)動態(tài)資料反演得出的井底壓力是產(chǎn)能預(yù)測的關(guān)鍵參數(shù)之一。同樣在其他模式開發(fā)油氣藏過程中利用動態(tài)生產(chǎn)資料準(zhǔn)確反演得到井底壓力對試井也極為重要。文獻(xiàn)[16]提出利用基于反褶積的總體最小二乘法預(yù)測變流量條件下的井底壓力;文獻(xiàn)[17]提出波動和流動耦合的縫洞型油藏試井模型,并結(jié)合外部地層滲流方程求解出井底壓力。

本文提出一種適用于直井分層壓裂裂縫井的滲流模型,該模型在不考慮層間串流情況下能夠用于解釋垂直裂縫井的動態(tài)測試資料。首先建立直井分層壓裂裂縫井的數(shù)學(xué)模型,考慮各層表皮和井儲效應(yīng),通過Laplace變換并引入Green函數(shù),求解各層滲流偏微分方程,并獲得最終解,給出垂直裂縫井分層井底無量綱壓力及圖版;然后根據(jù)模型的典型曲線特征,對主要控制參數(shù)進(jìn)行敏感性分析,并通過應(yīng)用實(shí)例表明該模型的正確性。

1 分層滲流力學(xué)模型的建立

1.1 模型假設(shè)

油藏整體由斷層隔開,層與層相互之間沒有串流,即各層間不能通過斷層有任何形式的流體交換,各層的流體經(jīng)過滲流匯集到井筒,并且假設(shè):

(1) 每個(gè)分層是均質(zhì)油藏,具有等溫特點(diǎn)。

(2) 儲油層間的流體均是微可壓縮的。

(3) 各分儲油層的厚度一定,不因位置的不同而改變。

(4) 各儲油層同時(shí)開井,在開井前層與層之間不存在流體交換。

(5) 井筒中的流體在開井瞬間充分混合,各層井筒壓力在開井后相等。

(6) 各層因處于不同地層深度造成的壓力差不予考慮。

(7) 各層可以存在垂直裂縫。

1.2 數(shù)學(xué)模型

假設(shè)該模型由初始壓力不同的N層油藏組成的層間無竄流多層合組成,則第j層的壓力控制方程可表示為:

(1)

其中:Δpj為地層深度引起的壓力差,Δpj=p0-pj,p0為某層的井底壓力(下標(biāo)0表示參考值,一般取某層值),pj為第j層的地層壓力;qvj為第j層的源匯項(xiàng);K為滲透率;μ為流體黏度。

初始條件為:

Δpj(t=0)=Δpij

(2)

其中,下標(biāo)i表示初始時(shí)刻的參數(shù)值。

各層的井壁壓力被認(rèn)為各層相等,即

Δpwj=Δpw

(3)

其中,下標(biāo)w表示井壁處參數(shù)值。

各層滲流偏微分方程的解用Green函數(shù)Gj表示,則有:

Δpj=Δpij+

(4)

其中:Dj為集中源區(qū)域;φ為地層孔隙度;r為徑向矢量半徑;CT為綜合壓縮系數(shù)。

集中源在該域積分后有:

(5)

其中:qj為第j層的單位時(shí)間產(chǎn)量;βj=hj,hj為第j層的有效厚度。

將(5)式代入(4)式可得:

(6)

對于垂直裂縫井,Green函數(shù)在笛卡爾坐標(biāo)下的表達(dá)式為:

(7)

其中:χ為地層及流體的導(dǎo)壓系數(shù),即擴(kuò)散系數(shù),χ=K/(φμCT);xf為裂縫半長;(xw,yw)為井筒坐標(biāo);(x,y)為空間任一點(diǎn)的位置;erf(x)為誤差函數(shù)。

1.3 考慮各層表皮因子和井儲效應(yīng)

將表皮因子和井儲效應(yīng)加入到數(shù)學(xué)模型中。

(1) 考慮表皮因子Sj,內(nèi)邊界條件需要進(jìn)行修改,此時(shí)各層井筒壓力不再相等,有

(8)

其中,rw為井筒半徑。

則由(8)式可得井底壓力為:

(9)

(2) 考慮井儲效應(yīng)Cj,流量計(jì)算公式為:

(10)

其中:qj為第j層地層流入井筒的流體流量;qT為由井筒流出地面的流體流量。

2 模型求解

對(9)式作Laplace變換,可得:

(11)

因此,有

(12)

其中:u為Laplace變量;-表示該函數(shù)的Laplace變換。

對(10)式作Laplace變換,可得:

(13)

(14)

CT=∑Cj

(15)

(16)

(16)式表示井筒初始壓力。

由(12)式、(13)式可得:

(17)

(18)

(19)

下面利用Green函數(shù)方法得到井筒混合壓力和分層流量在Laplace空間內(nèi)的解。為方便計(jì)算,需要求解分層流量和井筒混合壓力在Laplace空間下的無量綱解,定義如下無量綱參數(shù):

(20)

其中:下標(biāo)a表示平均;qD為無量綱地層流量。

(21)

(22)

(23)

hT=∑hj

(24)

令流度比Kj、儲容比ωj分別為:

(25)

(26)

則應(yīng)有:

∑Kj=1

(27)

引入無量綱參數(shù)后,可以得到分層流量和井筒混合壓力在Laplace空間下的無量綱解為:

(28)

(29)

其中,uD為無量綱的Laplace變量。

對于垂直裂縫井,Laplace空間上的Green函數(shù)為:

(30)

u′=uD/χD

(31)

χD=Kj/ωj

(32)

其中:K0、K1分別為第2類零階、一階虛宗量Bessel函數(shù);L0(x)、L1(x)分別為零階、一階修正的Struve函數(shù)。

(33)

(34)

(35)

其中,Γ(x)為Γ函數(shù)。

沿用試井的思路,利用Stehfest數(shù)值反演算法進(jìn)行數(shù)值反演,可以得到真實(shí)空間下的井底壓力解。

3 典型曲線

根據(jù)井底壓力解得到垂直裂縫井分層井底無量綱壓力及圖版,如圖1所示。

圖1 垂直裂縫井分層典型曲線

從圖1可以看出,垂直裂縫井分層井底無量綱壓力及圖版中的典型曲線由4個(gè)部分組成,各段特點(diǎn)如下所述。

第Ⅰ部分,為井筒存儲段,由于受井筒存儲的影響,壓力及其導(dǎo)數(shù)雙對數(shù)曲線重合,并且為一條45°的直線段。

第Ⅱ部分,為由井筒存儲段向線性流段的過渡段,壓力導(dǎo)數(shù)出現(xiàn)峰值,其峰值的高低受機(jī)械表皮Sm值影響,Sm越大,其峰值越高。

第Ⅲ部分,為線性流段,壓力及其導(dǎo)數(shù)曲線近似平行,且其直線段斜率都為1/2,主要是由于垂直裂縫中的線性流動引起。

第Ⅳ部分,為地層徑向流段,從整個(gè)地層來看,垂直裂縫井相當(dāng)于一口直井,從而形成徑向流動。

雖然在理論上無限大地層中均勻流量型垂直裂縫井的典型曲線由4個(gè)部分組成,但實(shí)際均勻流量型垂直裂縫井的井底壓力實(shí)測數(shù)據(jù)往往只出現(xiàn)第Ⅲ部分和第Ⅳ部分。在大部分情況下垂直裂縫井的井底壓力只有在時(shí)間非常短的情況下才出現(xiàn)井筒存儲效應(yīng),而這個(gè)時(shí)間難以通過測量得到。

4 應(yīng)用實(shí)例

新疆油田某實(shí)測井,第1層3 840.00～3 844.00 m,厚度4.00 m,第2層3 812.00～3 818.00 m,厚度6.00 m,第3層3 782.00～3 787.00 m,厚度5.00 m,第4層3 737.00～3 742.00 m,厚度5.00 m。4層合計(jì)總厚度為20.00 m。因?yàn)檎麄€(gè)油藏段為98 m,物性參數(shù)差異性很小,所以孔隙度φ、壓縮系數(shù)CT、黏度μ可取均值,分別為8.74%、9.411×10-4MPa-1、0.468 mPa·s。每層表皮Sj大致相同,即Sm=Sj。利用本文方法反演該實(shí)測井4層的不同參數(shù),結(jié)果見表1所列。

表1 實(shí)測井基礎(chǔ)參數(shù)

表1中,滲透率通過測試得到,裂縫半長通過停泵壓力反演得到。

根據(jù)實(shí)測井的基本參數(shù),利用Green函數(shù)方法求解直井壓裂井的井底壓力,如圖2所示。從圖2可以看出,整體預(yù)測無量綱壓力與實(shí)測井底壓力吻合較好。在第Ⅰ部分,預(yù)測曲線是一條斜率為1的直線,具有明顯井儲特征。第Ⅱ部分具有井筒存儲段向線性流段的過渡特征,但預(yù)測的壓力導(dǎo)數(shù)變化與實(shí)測數(shù)據(jù)的壓力導(dǎo)數(shù)變化相比較小,可能是由于各層之間存在串流導(dǎo)致。第Ⅲ部分的無量綱壓力導(dǎo)數(shù)曲線是一條斜率為1/2的直線,具有明顯的垂直裂縫中線性流動特征。在生產(chǎn)一段時(shí)間后,地層流動特性發(fā)生改變,由線形流動轉(zhuǎn)變?yōu)閺较蛄鲃?可將垂直裂縫井近似認(rèn)為是直井,并具有壓力可傳導(dǎo)邊界,如第Ⅳ部分所示。

圖2 實(shí)測井預(yù)測無量綱井底壓力與實(shí)測壓力對比

5 結(jié) 論

(1) 直井進(jìn)行分層壓裂,每層產(chǎn)生垂直裂縫,各層的流體經(jīng)過滲流匯集到井筒。本文在假設(shè)各層不存在串流的情況下,建立滲流力學(xué)的控制模型并引入Green函數(shù)求解各層滲流偏微分方程,在Laplace空間求解得到直井的井底動態(tài)壓力。求解直井分層壓裂裂縫井滲流方程所得預(yù)測井底壓力與實(shí)測井底壓力吻合較好,可用于解釋地層中的流動特性變化。

(2) 本文提出的模型適用于多層壓裂垂直裂縫井的動態(tài)資料解釋,可以解釋層數(shù)大于2層的垂直裂縫井的動態(tài)資料。