對(duì)2020年全國Ⅰ卷第20題的推廣探究

董 強(qiáng)

(陜西省西安市第八十五中學(xué) 710061)

1 真題呈現(xiàn)

(1)求E的方程；

(2)證明：直線CD過定點(diǎn).

2 真題解析

2.1 第(1)問解析

2.2 第(2)問解析

證法1設(shè)C(x1,y1)，D(x2,y2)，P(6,t).若t≠0，設(shè)直線CD的方程為x=my+n，由題意可知-3

可得3y1(x2-3)=y2(x1+3).

可得27y1y2=-(x1+3)(x2+3).

即(27+m2)y1y2+m(n+3)(y1+y2)+(n+3)2=0.

①

得(m2+9)y2+2mny+n2-9=0.

代入①式,得(27+m2)(n2-9)-2m(n+3)mn+(n+3)2(m2+9)=0.

(9+t2)x2+6t2x+9(t2-9)=0.

直線CD的方程為4tx+3(t2-3)y-6t=0.

3 剖析聯(lián)想

出于對(duì)解析幾何試題的敏感，筆者猜想第(2)問中直線所過的定點(diǎn)一定與題設(shè)中橢圓的相關(guān)參數(shù)及所給定的直線方程數(shù)據(jù)等有某種聯(lián)系，最后的定點(diǎn)在x軸上，且其橫坐標(biāo)恰好是橢圓長半軸長的一半，而此時(shí)也正好有題設(shè)中垂直于x軸的直線方程中的數(shù)值恰好是橢圓長軸長，這僅僅是一種巧合，還是可以進(jìn)行一般意義上的某種推廣？直覺是否可靠，能不能進(jìn)行更一般的推廣？

4 結(jié)論推廣

4.1 橢圓中一般情形

證明可以參考真題第(2)問證法，請(qǐng)讀者自證.由橢圓的對(duì)稱性易得下面的結(jié)論.

根據(jù)推理的等價(jià)性進(jìn)行逆向思考，會(huì)得到如下的結(jié)論.

具體證明過程請(qǐng)感興趣的讀者自己完成，以上三條對(duì)應(yīng)于y軸的相應(yīng)結(jié)論請(qǐng)讀者自己陳述.

4.2 雙曲線中相應(yīng)的結(jié)論

眾所周知，橢圓和雙曲線在很多時(shí)候具有相同或者相似的性質(zhì)，那么上述的結(jié)論對(duì)于雙曲線而言是否成立呢？

4.3 圓中相應(yīng)的結(jié)論

圓可以看作是特殊的橢圓，具有橢圓中很多相應(yīng)的性質(zhì)，上述三條結(jié)論在圓中同樣成立.

5 教學(xué)反思

2020年全國Ⅰ卷理科第20題證明過程較為繁瑣，但是圖形卻給人留下了深刻的印象，在課堂教學(xué)過程中，諸如此類的試題有很多，高中數(shù)學(xué)課本中的很多例習(xí)題(如文獻(xiàn)[1])都可進(jìn)行必要的探究.愛因斯坦說：提出一個(gè)問題比解決一個(gè)問題更加重要，充分利用這類試題可以很好地培育同學(xué)們大膽猜想的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，對(duì)數(shù)學(xué)直覺、數(shù)感和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升大有幫助.