探析2021年全國高考新課標Ⅰ卷第19題

許順龍

(福建省漳州市臺商投資區(qū)角美中學 363107)

2021年三角函數(shù)試題形式略有創(chuàng)新，既考查了學生對基礎知識的理解和應用，又考查了學生化繁為簡的運算能力，以及數(shù)形結合、轉化與化歸等數(shù)學思想.試題重視對學科觀念、規(guī)律及學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的考查.因此，深入研究及進行適量的訓練，對學生來說必不可少.

1 試題呈現(xiàn)

題目記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a,b,c.已知b2=ac,點D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC.

(1)證明：BD=b.

(2)若AD=2DE,求cos∠ABC

2 試題解析

2.1 第(1)小題解析

思路1利用正弦定理將b2=ac中b和c的關系轉化為sinB和sinC的關系，再對比已知條件BDsin∠ABC=asinC，即可證得BD=b.

思路2利用正弦定理將BDsin∠ABC=asinC中的sin∠ABC和sinC關系轉化為b和c的關系，再利用已知條件b2=ac，即可證得BD=b.

思路4 利用正弦定理得到bsinC=csinB，兩邊同時乘以a，再利用已知條件b2=ac，轉化成bsin∠ABC=asinC，從而對比已知條件BDsin∠ABC=asinC，即可證得BD=b.

思路6將BDsin∠ABC=asinC中的sin∠ABC轉化成sin(A+C)，利用兩角和正弦公式展開，再利用余弦定理公式，也可得到BD·b=a·c，再利用已知條件b2=ac，即可證得BD=b.

思路7利用平面幾何知識，過點B作高構造直角三角形，得BDsin∠BDA=asinC，從而得到sin∠BDA=sin∠ABC，然后利用三角形相似來證明.

解法1由正弦定理(或“b2=ac”),得

bsin∠ABC=asinC.

又因為BDsin∠ABC=asinC，所以BD=b.

解法2 由正弦定理(或“BDsin∠ABC=asinC”)可得BD·b=ac.

因為b2=ac，所以BD=b.

解法3 在△ABC中，由正弦定理,得

所以BD=b.

解法4在△ABC中，由正弦定理,得

bsinC=csin∠ABC,

兩邊同時乘以a,得

absinC=acsin∠ABC.

又因為b2=ac，所以bsin∠ABC=asinC.

又因為BDsin∠ABC=asinC,

所以BD=b.

解法5由三角形面積,得

又因為b2=ac,所以bsin∠ABC=asinC.

又因為BDsin∠ABC=asinC，所以BD=b.

解法6因為BDsin∠ABC=asinC,

所以BDsin(A+C)=asinC.

所以BD(sinAcosC+cosAsinC)=asinC).

由正弦定理、余弦定理,得

整理,得BD·b=ac.

因為b2=ac, 所以BD=b.

解法7過點B作BE⊥AC,

在△ABC中，BE=asinC,

在△BDE中，BE=BDsin∠BDE,

所以BDsin∠BDE=asinC.

又因為BDsin∠ABC=asinC,

所以sin∠BDE=sin∠ABC,

所以∠BDE=∠ABC或∠BDE+∠ABC=π.

①當∠BDE=∠ABC時，得△BCD∽△ABC.

因為b2=ac,所以BD=b.

②同理，當∠BDE+∠ABC=π時，BD=b.

2.2第(2)小題解析

思路1在△ABC與△BCD中,分別求得cosC，得到6a2-11ac+3c2=0,從而得到a和c的關系式，再結合b2=ac，即可得到cos∠ABC.

思路2 不妨設BD=b，在△BCD和△ABD中運用余弦定理得出cos∠BDC與cos∠BDA,再由∠BDC+∠BDA=π，結合b2=ac，即可求出a和c，進而得到cos∠ABC.

思路3結合BD=b，在△BCD和△ABD中運用余弦定理得出cos∠BDC與cos∠BDA,再由∠BDC+∠BDA=π，得到6a2-11ac+3c2=0，從而得到a和c的關系式，再結合b2=ac，即可得到cos∠ABC.

因為b2=ac所以,6a2-11ac+3c2=0.

解法2 不妨設BD=3,則AD=2,DC=1,b=3.

在△BCD和△ABD中，由余弦定理,得

由于∠BDC+∠BDA=π,

所以2a2+c2=33.

解法3 由(1)得BD=b.

在△BCD和△ABD中，由余弦定理,得

由于∠BDC+∠BDA=π,b2=ac,

所以6a2-11ac+3c2=0

解法4 設θ=∠ABC，則

又在△ABC中，由余弦定理，得

b2=a2+c2-2accosθ.

因為b2=ac,所以6a2-11ac+3c2=0,

①

又在△ABC中，由余弦定理，得

b2=a2+c2-2accosθ.

②

3 教學啟示

本道試題所涉及到的知識點與求解方法體現(xiàn)了高考不回避熱點問題，不回避平時?？嫉目键c和常用的方法.這就啟發(fā)我們在高三復習時一定要講透這類題型及其相應的求解策略.讓學生把知識內化成自己的能力，從而精準得分.具體做法如下：

3.1 強化思想方法，提升數(shù)學能力

在三角函數(shù)模塊的復習中，尤其要重視函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、轉化與化歸思想的應用.在正余弦定理的教學中，不僅要深挖公式的正用、逆用、變用功能，更要挖掘等式中蘊含的數(shù)學思想——方程思想，還要樹立方程到不等式的模型，從而順利地解決一些有關周長、面積的最值或范圍問題.因此，在復習備考中，要特別重視數(shù)學思想和方法的滲透，不能只講題型，不講思想和方法，否則學生就只會套題型，不會自己獨立思考，當然也就不能提高能力.

3.2 關注新課標里向量工具性的作用

新課標在正弦定理和余弦定理部分是這樣說明的:借助向量的運算，探索三角形邊長與角度的關系，掌握余弦定理、正弦定理.而舊版課標是這樣說明的：通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題.從變化中可以看出，新課標凸顯了向量在解三角形中的工具性作用.

3.3 重視平面幾何知識點的滲透

本題第(1)小題解法7借助平面幾何知識，從而順利地解決問題.新高考刪除選考內容，意味著幾何證明選講部分內容不再單獨出現(xiàn)，但是很多的幾何圖形性質又能起到簡化運算的功能，體現(xiàn)多思少算的新高考理念，尤其是解析幾何等內容體現(xiàn)得尤為明顯.因些，在解三角形的教學中應重視平面幾何知識的滲透，提升學生的直觀想象與數(shù)學運算素養(yǎng)，從而達到事半功倍的效果.

3.4 潛心研討高考真題，領悟高考命題規(guī)律

高考真題是命題者依綱靠本、科學而精心設計的典型題目，它聚集了專家、優(yōu)秀老師的集體智慧，它不僅在一定程度上濃縮了課本上重要的基礎知識與基本技能，而且還蘊含著豐富的數(shù)學思想和方法，能夠折射出高考的基本走向和考查的深度與廣度.為了避免題海戰(zhàn)術，讓學生真正跳出題海，只有教師跳出題海，潛心研討高考歷年真題，方能領悟高考命題規(guī)律.