緊抓基底 明辨真假“距離”
——一道向量題的解法質(zhì)疑與思考

劉穩(wěn)殿

(陜西省白河高級中學(xué) 725801)

在講解高三數(shù)學(xué)試卷時(shí)，用最簡單、最迅速的辦法解出小題是高三師生追求的共同目標(biāo)，教師在講解小題時(shí)慣性思維占去了部分思考空間，也為師生解題提供了簡便快捷的通道.教師帶領(lǐng)學(xué)生思考一個(gè)問題的多種解法，有利于學(xué)生思維的發(fā)散與知識的融合.但如果學(xué)生對問題的理解深度尚淺，學(xué)生自行鉆研可能因?yàn)楹雎詶l件走入誤區(qū)，那么，此時(shí)對于小題進(jìn)行大做不僅能夠發(fā)現(xiàn)學(xué)生錯(cuò)因，而且能發(fā)現(xiàn)本題精髓及解題奧秘，更能進(jìn)行拓展，開闊學(xué)生思維深度與廣度，做以適當(dāng)總結(jié)，即可明了知識點(diǎn)對應(yīng)的解題類型與解題方法.以下探討一道高三模擬的向量題：

圖1

則x2+(y-1)2表示點(diǎn)(0,1)到點(diǎn)(x,y)距離的平方.

圖2

所以，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A處時(shí)，x2+(y-1)2的值最大，為12+(0-1)2=2 .

圖3

則x2+(y-1)2表示點(diǎn)(0,1)到點(diǎn)(x,y)距離的平方.

所以，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B處時(shí)，x2+(y-1)2的值最大，為02+(-1-1)2=4 .

質(zhì)疑1兩種解法思路相同，為何答案不同？

學(xué)生解答出現(xiàn)的問題是：

本題一般解法如下：

方法1 如圖2所示，顯然有

所以點(diǎn)A坐標(biāo)為(1,0)，

點(diǎn)B坐標(biāo)為(0,1)，

點(diǎn)C坐標(biāo)為(x,y).

則x2+(y-1)2表示點(diǎn)B(0,1)到點(diǎn)C(x,y)距離的平方.

所以，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A處時(shí)，x2+(y-1)2的值最大，為12+(0-1)2=2 .

所以(x-1)2+y2=(cosθ-1)2+sin2θ

=2-2cosθ.

因?yàn)棣取蔥0°,90°]，

所以cosθ∈[0,1].

所以當(dāng)θ=90°時(shí)，cosθ=0,(x-1)2+y2取得最大值2.

質(zhì)疑2式子x2+(y-1)2是表示點(diǎn)(0,1)到點(diǎn)(x,y)距離的平方嗎？

圖4

所以點(diǎn)A坐標(biāo)為(1,0)，

點(diǎn)B坐標(biāo)為(0,1),

點(diǎn)C坐標(biāo)為(x,y).

則x2+(y-1)2表示點(diǎn)B(0,1)到點(diǎn)C(x,y)距離的平方.

所以，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A處時(shí)，x2+(y-1)2的值最大，為12+(0-1)2=2 .

圖5

所以x2+(y-1)2≥2.

即x2+(y-1)2的最大值為2 .