運(yùn)用剛體的不形變特性 求解相關(guān)運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題

王偉民

(安徽省太和縣宮集鎮(zhèn)中心學(xué)校 236652)

例題1如圖1所示，細(xì)棒AB水平放置在地面，A端緊挨著墻面，C為AB棒的中點(diǎn).現(xiàn)讓棒的A端沿著墻面勻速上移，當(dāng)B端與C點(diǎn)的速度大小相等時(shí)，AB棒與水平地面的夾角為( ).

A.30° B.45° C.60 D.90°

圖1 圖2

分析在細(xì)棒AB按題目所給條件運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，棒的兩端點(diǎn)分別在豎直墻面和水平地面上運(yùn)動(dòng)，細(xì)棒與墻面和地面始終圍成一個(gè)直角三角形，因?yàn)橹苯侨切涡边叺闹芯€等于斜邊的一半，所以，棒AB的中點(diǎn)C到直角頂點(diǎn)O的距離始終等于AB長(zhǎng)度的一半，因此，在棒AB的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其中點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)為圓心，棒長(zhǎng)一半為半徑的四分之一圓弧.我們用多種方法對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行解析——

解法1——微元法

解析如圖2所示，設(shè)棒長(zhǎng)AB=L，在棒運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的某一時(shí)刻，棒AB與水平地面的夾角∠ABO=θ，此后在時(shí)間元內(nèi)，A端運(yùn)動(dòng)一段微元dL到E，與此同時(shí)，B端在水平地面運(yùn)動(dòng)到D，棒的中點(diǎn)C沿弧線運(yùn)動(dòng)到H.

先確定端點(diǎn)B速度的大小.

=dLtanθ

∴vB=vtanθ

再確定AB中點(diǎn)C的速度大小.

圖2中，分別過(guò)E和B作EF∥OB，BF∥DE，兩線相交于F，則四邊形EFBD為平行四邊形，∴BF=DE,∵DE=AB=L,∴BF=DE=L.

設(shè)∠HOC=dθ,則∠ABF=∠AGE=∠HDO-∠HBO=∠HOB-∠COB=dθ,

∴△OCH∽△BAF(同為等腰三角形),

故，本題的正確選項(xiàng)是A.

解法2——確定瞬心法

剛體轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題中，在剛體上取任意兩點(diǎn)，過(guò)這兩點(diǎn)分別作這兩點(diǎn)在某一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)方向的垂線，兩垂線的交點(diǎn)便是該時(shí)刻剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的速度瞬心.

解析如圖3所示，設(shè)棒AB在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的某一時(shí)刻，它與水平地面的夾角為θ，分別過(guò)A、B作AD⊥OA，BD⊥OB，兩線交于點(diǎn)D，則D為該時(shí)刻棒AB的瞬心，易知四邊形ADBO是矩形，其對(duì)角線的交點(diǎn)便是AB的中點(diǎn)C，當(dāng)B、C兩點(diǎn)的速度相等時(shí)，有DC=DB

∴∠DBC=60°,∴θ=30°

圖3 圖4

解法3——根據(jù)“剛體上任意兩點(diǎn)的速度在這兩點(diǎn)所確定直線方向上的分量相等”進(jìn)行求解

由于剛體不形變，所以，剛體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中(包含平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng))，剛體上任何兩點(diǎn)之間的距離保持不變，因此，剛體上任意兩點(diǎn)在任意時(shí)刻的速度在這兩點(diǎn)確定直線方向上的分量始終保持相等.

∵OC=CA=CB

∴∠COB=∠CBO=θ

∴∠2=∠3

∵∠2=∠1

∴∠1=∠2=∠3=60°

∴θ=30°

比較三種解法可以發(fā)現(xiàn)，后面的兩種解法比較簡(jiǎn)潔.我們不妨利用第三種方法對(duì)例題1的一個(gè)變式進(jìn)行求解.

例題2 如圖5所示，細(xì)棒AB水平放置在地面，A端緊挨著墻面，C為AB棒的中點(diǎn).現(xiàn)讓棒的A端沿著墻面勻速上移，當(dāng)C點(diǎn)速度大小是B端速度大小的n倍時(shí)，AB棒與水平地面的夾角是多大？(結(jié)果可以用反三角函數(shù)表示)

圖5

解析由上面解法三的分析可知，在圖5中α+β=90°，α=2θ.因?yàn)関B和vC在AB方向上的分量相等，所以有：

vBcosθ=vCcosβ

∵vC=nvB

∴cosθ=ncosβ

∴cosθ=nsinα

∴cosθ=nsin2θ

∴cosθ=2nsinθcosθ

實(shí)際上，例題1給出的問(wèn)題只是例題2問(wèn)題的一個(gè)特例，因此，例題2對(duì)應(yīng)的問(wèn)題是例題1對(duì)應(yīng)問(wèn)題的更具一般性的推廣.