高中數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)不良試題探究

馬滿芳

(廣東省梅州市豐順中學(xué) 514300)

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說過：問題是數(shù)學(xué)的心臟.問題可分為結(jié)構(gòu)良好問題和結(jié)構(gòu)不良問題，在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中大量出現(xiàn)的是結(jié)構(gòu)良好的數(shù)學(xué)問題，結(jié)構(gòu)良好是指提供的信息完整、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)理想、問題目標(biāo)明確、解決過程和答案穩(wěn)定.而結(jié)構(gòu)不良試題并不是這個(gè)問題本身有什么錯(cuò)誤或是不恰當(dāng)，而是指它沒有明確的結(jié)構(gòu)、要求或解決的途徑.

新時(shí)期高考內(nèi)容改革的重要特征就是從能力立意向素養(yǎng)導(dǎo)向轉(zhuǎn)變，而結(jié)構(gòu)不良試題適應(yīng)了素養(yǎng)導(dǎo)向的特點(diǎn)，考查學(xué)生的知識遷移能力和思維的轉(zhuǎn)化能力，真正體現(xiàn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，適應(yīng)高考改革的要求.對于一線教師而言，如何在課堂上引導(dǎo)學(xué)生探究理解結(jié)構(gòu)不良試題尤其重要，特別是在解三角形以及數(shù)列考查中比較常見，這種題型也可能成為考生獲取高分的攔路虎.

解決結(jié)構(gòu)良好與不良這兩類問題所需要的技巧和能力有所不同，也就是說可以出色地解決課堂上的結(jié)構(gòu)良好問題，并不能保證可以成功地解決現(xiàn)實(shí)生活中的結(jié)構(gòu)不良問題.因此，解決結(jié)構(gòu)不良問題對考查學(xué)生的素養(yǎng)和能力，發(fā)揮考試的選拔功能，促進(jìn)學(xué)生素養(yǎng)的養(yǎng)成和能力的提升具有深遠(yuǎn)的意義，本文分四類專題探究結(jié)構(gòu)不良試題.

1 解三角形中的結(jié)構(gòu)不良試題

由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC.

即a2+b2-ab=7，

所以(a-b)2=7-8=-1，

與(a-b)2≥0矛盾.

所以滿足條件的三角形不存在．

若選②：因?yàn)閍-b=1，

所以a2+b2-2ab=1.

又a2+b2-ab=7，所以ab=6.

故a2+b2+2ab=25.

即a+b=5.

若選③：因?yàn)閟inA=2sinB，所以a=2b.

聯(lián)立a2+b2-ab=7，

本題考查的是正弦定理、余弦定理及三角形的面積公式，在已知條件下再選擇一個(gè)條件來解，題目所給的三個(gè)可選擇的條件是平行的，即無論選擇哪個(gè)條件，都可解答題目，只是選擇不同的條件可能得到相同的解或不同的解，但只要推理嚴(yán)謹(jǐn)、過程規(guī)范，都會(huì)得滿分.

2 數(shù)列中的結(jié)構(gòu)不良試題

解析選①：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=2，

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n.

由S7=7a4=28a1=56，所以a1=2.

①②③均可求得

所以bn=2n(n∈N*).

3 立體幾何中的結(jié)構(gòu)不良試題

例3如圖1，已知等邊△ABC的邊長為3，點(diǎn)M，N分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，且BM=2MA，AN=2NC，如圖2，將△AMN沿MN折起到△A′MN的位置.

圖1 圖2

(1)求證：平面A′BM⊥平面BCNM；

解析(1)由已知得AM=1，AN=2，∠A=60°.

所以MN⊥AB.

所以MN⊥A′M，MN⊥MB.

又因?yàn)镸B∩A′M=M，所以MN⊥平面A′BM.

又因?yàn)镸N?平面BCNM，

所以平面A′BM⊥平面BCNM.

(2)選條件①:A′M⊥BC，由(1)得A′M⊥MN，BC和MN是兩條相交直線.

所以A′M⊥平面BCNM.

所以MB，MN，MA′兩兩垂直.

所以以點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)，MB，MN，MA′所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系M-xyz,則A′(0，0，1).

圖3

易得平面A′BM的一個(gè)法向量為n=(0，1，0).

設(shè)直線PA′與平面A′BM所成的角為θ，則

所以不存在點(diǎn)P滿足條件.

選條件②:二面角A′-MN-C的大小為60°，

由(1)得∠A′MB就是二面角A′-MN-C的平面角.

所以∠A′MB=60°.

如圖3，過點(diǎn)A′作A′O⊥BM，垂足為點(diǎn)O，連接OC，則A′O⊥平面BCNM.

而BC=3，所以O(shè)B⊥OC.

所以O(shè)B，OC，OA′兩兩垂直.

圖4

易得平面A′BM的一個(gè)法向量為n=(0，1，0).

設(shè)直線PA′與平面A′BM所成的角為θ，則

所以存在點(diǎn)P滿足條件，這時(shí)PB=3.

由余弦定理，得

所以∠A′MB=120°.

過點(diǎn)A′作A′O⊥BM，垂足為點(diǎn)O，則A′O⊥平面BCNM.

易得平面A′BM的一個(gè)法向量為n=(0，1，0).

設(shè)直線PA′與平面A′BM所成的角為θ，

所以不存在點(diǎn)P滿足條件.

選擇不同的條件，建系的方法不同，特別是選擇第三個(gè)條件，∠A′MB是鈍角，作垂線時(shí)要注意垂足的位置，這樣點(diǎn)P的坐標(biāo)才不會(huì)出錯(cuò)，還有要結(jié)合點(diǎn)P的位置注意a的范圍，從而判斷是否存在符合條件的點(diǎn)P，比較三個(gè)不同的選擇條件，選①應(yīng)該解題更簡單點(diǎn).

4 解析幾何中的結(jié)構(gòu)不良試題

例4 在平面直角坐標(biāo)系xOy中：

(1)在①②③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；

(注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分)

(2)記(1)中的軌跡為E，經(jīng)過點(diǎn)D(1，0)的直線l′交E于M，N兩點(diǎn)，若線段MN的垂直平分線與y軸相交于點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q縱坐標(biāo)的取值范圍.

若選②：設(shè)P(x，y)，直線l與圓相切于點(diǎn)H，則

由橢圓的定義，知點(diǎn)P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓.

若選③：設(shè)P(x，y)，S(x′，0)，T(0，y′)，

(*)

由上述解答我們可以看到，題目所給的三個(gè)可選擇的條件顯然①最直接，列出等量關(guān)系即可，只是運(yùn)算稍微復(fù)雜一點(diǎn);選②符合橢圓的定義，運(yùn)算簡單;選③利用相關(guān)點(diǎn)法，利用向量相等尋找數(shù)量關(guān)系，學(xué)生可能容易出錯(cuò).

在2021年的八省適應(yīng)性考試中，填空題15題：寫出一個(gè)最小正周期為2的奇函數(shù)f(x)=( ).開放題終于在考試中與同學(xué)見面了，更是考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.所以結(jié)構(gòu)不良試題的出現(xiàn)，是新高考題型的創(chuàng)新和改革，這是一種新的開放性試題的樣式，學(xué)生可以根據(jù)自己的理解選擇想要的條件，在解決問題中尋找各條件的關(guān)系.這種題型在解三角形以及數(shù)列考查中比較常見，因此，在復(fù)習(xí)的過程中，我們可以將解三角形和數(shù)列的結(jié)構(gòu)不良問題作為訓(xùn)練的重點(diǎn).

所以在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中對結(jié)構(gòu)不良試題的探究是非常必要的，能夠更全面地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，考查學(xué)生思維的系統(tǒng)性、靈活性和創(chuàng)造性.作為一線教師，要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)具體問題情境從多個(gè)角度分析，考慮多個(gè)可能，尋找不同途徑，歸納解決這類試題的應(yīng)對策略.